WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 11 | 12 || 14 | 15 |   ...   | 54 |

И, и определенность, –– насколько важна кропотливая конкретная работа с примерами. По-моему, количество математиков, задохнувшихся от недостатка широты, превышает число тех, кого, напротив, сразил меч строгости. (К. Уленбек –– [7, c. 53].) Я бы хотел подвести некоторые итоги, внеся при этом и свой вклад в общую сумятицу.

Во-первых, с индивидуальной точки зрения построение приемлемых доказательств –– это умение, которым непросто овладеть. Человек, вынужденный делать что-то противоречащее его натуре, делает это с отвращением. Врожденное или благоприобретенное предпочтение, которое мы отдаем геометрическим рассуждениям или алгебраическим вычислениям, может предопределить нашу математическую карьеру. Когда мы философствуем, мы с неизбежностью рационализируем и обобщаем эти свои инстинктивные предпочтения; наше отношение к проблеме строгости можно вывести из тех чувств радости или неудовлетворенности, которые мы испытывали, сталкиваясь с теми интеллектуальными вызовами, которые ставит перед нами наша профессия.

Во-вторых, в социальном аспекте надо отметить, что нам приходится полагаться на своих современников и предшественников даже при написании совершенно строгого доказательства. Авторитет в математике играет двоякую роль: мы получаем от своих отцов и современников некоторую систему ценностей (какие вопросы стоит задавать, в каких областях стоит работать, какие задачи стоит решать), и кроме того, мы полагаемся на надежность опубликованных и принятых математическим сообществом доказательств и рассуждений.

Здесь нет ничего абсолютного, но неабсолютность никоим образом не отменяет важности.

В-третьих, с эпистемологической точки зрения следует отметить, что все те из нас, кто когда-либо об этом задумывался, хорошо знают, что такое строгое доказательство. У строгого доказательства имеется идеальное представление, структура которого была разработана специалистами по математической логике в XX веке, но само по себе строгое доказательство разве что большей подробностью отличается от доказательств в понимании Евклида (и в этом отношении Бурбаки совершенно прав). Идеальное представление доказательства –– это воображаемый текст, в котором наша теорема шаг за шагом выводится из аксиом, причем список аксиом и правил вывода фиксирован заранее –– скажем, в какой-нибудь из версий аксиоматической теории множеств.

86 Ч I. М Если этот идеальный образ доказательства вызывает у вас решительный протест, или если, по крайней мере, вы хотите быть реалистом, то вы можете сказать (и скажете), что идеал совершенно недостижим из-за фантастической длины даже простейших формальных выводов, а также из-за того, что чем ближе изложение к формальному доказательству, тем труднее его проверять. Более того, коль скоро формальные выводы стремятся к тому, чтобы освободиться от любых остатков смысла (в противном случае они недостаточно формальны), мы приходим к тому, что в итоге пропадает и сам смысл.

С другой стороны, если идеальный образ доказательства вас вдохновляет, или если вы, опять-таки, хотите быть реалистом, то вы согласитесь с тем, что математика по самой своей сути требует постоянного поддержания существующих стандартов строгости. Занимаемся ли мы математической поддержкой крупного технического проекта наподобие высадки на Луне, или же мы просто удовлетворяем естественное желание знать, какие утверждения верны, а какие нет, –– так или иначе, в конечном счете нам приходиться обращаться как к критерию к идеалу математического доказательства.

Даже использование математики «в нарративной моде», как изящно выразился Хирш, не является исключением, поскольку такое изложение все равно состоит из фрагментов «настоящей» математики, смонтированных по нормам нарратива.

Предположим, автор почувствовал, что история, которую он хочет рассказать, лучше всего выражается на языке математики.

Чтобы построить связное изложение, не затягивая дела надолго или до бесконечности, что может статься, если начать следить за строгостью, он прибегает к каким-то недоказанным предположениям, бездоказательным рассуждениям или утверждениям, принимаемым на веру: «Чтобы двигаться дальше, предположим, что этот ряд сходится (случайные величины независимы, равновесие устойчиво, определитель отличен от нуля...)». В таких случаях зачастую неважно, можно ли сделать математические утверждения строгими, поскольку цель автора состоит лишь в том, чтобы убедить читателя в приемлемости или пригодности приводимого им описания поведения какой-то системы, относящейся к реальному миру. Математика –– это язык, полный тонких и полезных метафор. Проверка утверждений осуществляется экспериментально (вполне возможно, что эксперимент будет компьютерным);

цель изложения может состоять в предложении поставить какойто конкретный эксперимент. Результаты такого нарратива будут И, не математическими, но это будет новое описание реальности (реальной реальности). (М. Хирш –– [7, c. 86–– 87].) Прекрасный недавний пример такого математического нарратива –– доклад Д. Мамфорда на первом Европейском математическом конгрессе [6]. По поводу математики как метафоры см. [5].

3. Материалы к обсуждению: три примера В этом параграфе я приведу три примера, связанных с нашей темой: гёделевское доказательство существования Бога ( 970), история о процессоре «Пентиум» с ошибкой ( 994) и результат Чайтина ( и ранее), согласно которому у совершенно строго и единообразно построенной последовательности математических вопросов может получиться «совершенно случайная» последовательность ответов. При всех своих различиях, эти примеры все представляют собой человеческие попытки заглянуть в бесконечность с помощью конечных лингвистических средств –– будь то бесконечность Бога, действительных чисел или самой математики.

Предоставляем читателю решить самостоятельно, какие моральные уроки можно (если можно) извлечь из этих примеров.

Гёделевское онтологическое доказательство. В третьем томе собрания сочинений Гёделя, недавно выпущенном издательством Oxford University Press, содержится заметка, датированная 970 годом. Она представляет собой формальное рассуждение, призванное доказать существование Бога как воплощения всех положительных свойств. В предисловии, написанном Р. М. Адамсом ([2, с. 388––402]), это доказательство рассматривается в исторической перспективе и сравнивается, в частности, с доказательством Лейбница; автор предисловия обсуждает возможное место этого доказательства в богословии.

Само по себе доказательство представляет собой страницу формул на языке модальной логики (с использованием, наряду с привычной символикой, кванторов необходимости и возможности). Оно подразделяется на пять аксиом и две теоремы. Для удобства читателей доказательство представлено на отдельной странице.

Что вычисляет компьютер, или истина в рекламе. Январский выпуск журнала «SIAM news» за 995 год открывался статьей под названием «Повесть о двух числах». Вот как она начинается.

Это повесть о двух числах и о том, как они через Интернет попали в праздничный день на первые страницы главных газет, к стыду главного производителя процессоров.

88 Ч I. М Ontological proof (* 970) Feb. 0, P() is positive (or P).

Axiom 1. P().P() P(.)a.

Axiom 2. P() P()b.

Definition 1. G(x) ()[P() (x)] (God) Definition 2. Ess. x ()[(x) N( y)[( y) ( y)]]. (Essence of x)c P N q = N(p q) Necessity P() NP(), Axiom 3.

P() NP() because it follows from the nature of the property. * Theorem. G(x) G Ess. x.

Definition. E(x) ()[ Ess x N(x)(x)]. (necessary Existence) Axiom 4. P(E) Theorem. G(x) N( y)G( y);

hence (x)(G(x)) N( y)G( y) hence M(x)G(x) MN( y)G( y). (M = possibility) M(x)G(x) N( y)G( y).

M(x)G(x) means the system of all positive properties is compatible. This is true because of:

Axiom 5. P(). N : P(), which implies x = x is positive x = x is negative.

a And for any number of summands.

b Exclusive or.

c Any two essences of x are necessarily equivalent.

* Гёдель дал номер «2» двум разным аксиомам; в собрании сочинений нумерация аксиом изменена.

Гёделевское онтологическое доказательство. В кн.: Kurt Gdel. Collected Works.

Vol. III: Unpublished Essyas and Lectures. Oxford University Press, И, Суть дела была в следующем. Выяснилось, что только что появившийся на рынке новый процессор корпорации Intel содержит ошибку в команде деления с плавающей точкой, в результате которой, например, при вычислении числа 4 195 r = 4 195 835 - · 3 145 3 145 получается ответ r = 256 вместо правильного r = 0.

Заметим, что ничего полностью неожиданного в этом не было. В любом компьютере так называемая арифметика с плавающей точкой запрограммирована таким образом, что она систематически дает неверные ответы (за счет так называемых ошибок округления). В описываемом случае всеобщее возмущение (отчасти искусственно подогретое) было вызвано тем, что в некоторых случаях ошибка оказывалась больше, чем обещал производитель (достигалась «одинарная точность» вместо разрекламированной двойной).

Можно в принципе запрограммировать абсолютно точные вычисления с рациональными числами произвольной величины (и для некоторых специальных целей так действительно делают), но это требует большого объема ресурсов компьютера, а в некоторых случаях –– и специальных устройств ввода-вывода. Реализация идеальной машины Тьюринга на практике очень неудобна, и при проектировании реальных компьютеров никто не ставит себе задачу эту реализацию облегчить.

Нетрудно представить себе компьютеризированную систему принятия решений, являющуюся неустойчивой к маленьким ошибкам вычислений. Например, таковы приложения компьютеров к военным задачам или к анализу ситуации на бирже. Вот еще один пример.

Проведенное недавно в США исследование сексуального поведения, целью которого была подготовка эпидемиологических моделей распространения СПИДа, обошло вниманием 3 % американцев, не живущих в домах или квартирах (т. е. находящихся в тюрьмах, в приютах для бездомных или живущих на улице). Один из критиков этого исследования (Lewontin R. C. New York Review of Books. 20 April 995) резонно замечает следующее.

Хотя авторы не обсуждают (а может быть, и не сознают) эту проблему, надо заметить, что предсказания математических и компьютерных моделей распространения эпидемий, учитывающих реальную сложность проблемы, часто оказываются очень чувствительными к значениям переменных. Очень малые изменения 90 Ч I. М начальных данных могут повлечь коренное изменение вывода о том, остановится эпидемия или же начнет катастрофически разрастаться. Поэтому планирование противоэпидемических мероприятий, основанное на неточных данных, может принести больше вреда, чем полное незнание.

Проблема понимания того, что, собственно говоря, вычисляет компьютер, становится все более важной и в связи с распространением математических доказательств, полученных с помощью компьютера. Процитируем еще раз Хирша [7, c. 88].

Оскар Ланфорд отмечает, что для того, чтобы обосновать применение компьютерного вычисления как составной части доказательства (как у него в первом доказательстве гипотезы Фейгенбаума о каскаде), необходимо не только доказывать, что программа правильна (часто ли это делается), но и понимать, как в компьютере происходит округление и как работает операционная система, в том числе система разделения времени.

Случайность математической истины. После открытия А.Н. Колмогоровым, Р. Соломоновым и Г. Чайтином понятия сложности и основанного на нем нового определения случайности Чайтин [ ] построил пример экспоненциального диофантова уравнения F(t; x1, …, xn) = 0, обладающего следующим свойством. Положим (t0) = 0 (соответственно, 1), если при t = t0 это уравнение имеет конечное (соответственно, бесконечное) количество решений в целых положительных числах xi. Так вот, последовательность (1), (2), (3), … является случайной. (Чайтин написал также программу, генерирующую выражение F. Уравнение занимает 200 страниц и содержит около 17 000 неизвестных.) Это воистину тонкая математическая конструкция, использующая, помимо прочего, представление рекурсивно перечислимых множеств по Дэвису––Патнэму––Робинсон––Матиясевичу. С точки зрения эпистемологии тут важно то, что случайность можно определить безо всяких отсылок к физической реальности (осмысленность этого определения оправдывается тем, что у «математической» случайности имеются все свойства случайности «физической») таким образом, что необходимость провести бесконечный поиск для решения последовательности задач приводит к ответам, случайным в техническом смысле.

И, Некоторым трудно себе представить, что в столь жестко определенной науке, как элементарная арифметика, могут возникать такие явления. Заметим, что «хаос» в духе Мандельброта представляет собой значительно менее изощренную модель случайного поведения.

Литература. Chaitin G. Information, randomness and incompleteness. Papers on algorithmic information theory. Singapore: World scientific, 992.

2. Gdel K. Ontological proof // Kurt Gdel: collected works / Ed. S. Feferman, J. W. Dawson, Jr., S. C. Kleene, G. H. Moore, R. M. Soloway, and J. van Heenoort. Vol. 3. New York: Oxford University Press, 995. P. 403.

3. Hildebrandt S. Wahrheit und Wert mathematischer Erkenntnis. Carl Friedrich von Siemens Stiftung. Mnchen, 995.

4. Jaffe A., Quinn F. Theoretical mathematics: toward a cultural synthesis of mathematics and theoretical physics // Bull. Amer. Math. Soc. 993. Vol. 29.

P. –– 3.

5. Manin Yu. Mathematics as metaphor // Proceedings of the International Congress of Mathematicians. Vol. 2. Tokio: Mathematical Society of Japan and Springer-Verlag, 99. P. 665–– 67. (См. перевод в наст. изд.) 6. Mumford D. Pattern theory: a unifying perspective // First European Congress of Mathematics (Paris 992). Vol.. Basel: Birkhuser, 994. P. 87––224.

7. Responses to ‘Theoretical mathematics etc.’ by A. Jaffe and F. Quinn // Bull.

Amer. Math. Soc. 994. Vol. 30. P. 6 –– 77.

8. Weil A. Collected papers. Berlin: Springer-Verlag, 980. Vol. 2.

Теорема Геделя. Введение Математика XX века не пользуется популярностью: школьное и техническое образование просто не успевает до нее добраться. Среди немногих ее достижений, известных более широко хотя бы понаслышке, первенство принадлежит, вероятно, теореме Г Автору еделя.

как-то попалось упоминание о ней в современном американском романе.

Речь идет о так называемой теореме о неполноте арифметики, опубликованной 25-летним австрийцем Куртом Гёделем в 93 году.

Строго говоря, эта теорема является «высоко техническим» утверждением о специальном и весьма сложном комбинаторном объекте –– формальном языке арифметики первого порядка. Однако и формулировка, и доказательство Гёделя допускают целый спектр расширительных толкований, которым и определяется общефилософское значение результата.

Pages:     | 1 |   ...   | 11 | 12 || 14 | 15 |   ...   | 54 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.