WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 10 | 11 || 13 | 14 |   ...   | 54 |

И дело тут не только в том, что вычисление на время прерывает процесс размышлений: в конечном счете, всякое вычисление оправдано тем, что оно заменяет мыслительный акт (или какой-то из его этапов) на по существу механический процесс –– с тем, чтобы обрести опору для следующего мыслительного акта, на гораздо более высоком уровне. Если мысль –– это интериоризованное и ищущее действие, то вычисление –– это экстериоризованная мысль, причем степень экстериоризации, достигнутая с помощью современных компьютеров, поражает воображение.

Это похоже на то, как в предыдущую эру биологической эволюции зарождающееся сознательное мышление служило тормозом инстинктивных действий и замещало их планируемым поведением. Мозг жиШопенгауэр А. Собрание сочинений: В 6 т. Т.3: Малые философские сочинения / Пер. с нем.; Общ. ред. и сост. А. Чанышева. М., 200. С. 60.

И, вотного производит вычисления, чтобы тело животного оставалось живым и могло бегать, прыгать, летать, видеть и слышать. Мозг человека занят тем же самым, и эта деятельность составляет основное содержание (не-фрейдистского) подсознания индивида; любое вмешательство сознания в этот процесс разрушило бы сложную архитектуру этих вычислений; в противном случае нельзя было бы гарантировать правильные (биологически оптимальные) результаты.

В каком-то смысле возникновение языка и сознательных рассуждений позволило человеку повысить уровень бессознательных вычислений до уровня здравого смысла, а в дальнейшем –– до уровня теоретического мышления. Цена, которую пришлось за это заплатить, состояла в потере спонтанности действий и в появлении все менее и менее биологических моделей индивидуального и коллективного поведения –– короче говоря, смогла появиться цивилизация.

Дополнительность между действием, мыслью и вычислением имеет тенденцию воспроизводиться на различных уровнях.

Новое отчуждение мышления в компьютерных системах обработки информации –– это гротескная материализация коллективного бессознательного (не-юнговского). Выход таких систем из-под контроля, наряду с проблемами обеспечения их эффективного функционирования –– постоянный кошмар современного общества.

Абстрактный характер современной математики, понимаемый не как ее эпистемологическая черта, а как психологический факт, поддерживает нашу метафору. Пропасть, зияющая между нашим повседневным мышлением и нормами математического рассуждения, должна оставаться неприкосновенной, если мы хотим, чтобы математика выполняла свои функции.

Продолжавшиеся в течение нескольких десятилетий XX века жаркие схватки по поводу оснований математики не привели к решению ни одной из обсуждавшихся эпистемологических проблем. Позвольте мне напомнить, что основным объектом обсуждения и критики в этих дискуссиях была канторовская теория бесконечного.

Замечательный вклад Кантора в математику XX века имел два аспекта. Первый и главный состоит в том, что Кантор создал чрезвычайно экономичный и универсальный язык множеств, который, как выяснилось впоследствии, оказался способен выразить семантику всех существующих и потенциально возможных математических конструкций. Понимание этого обстоятельства пришло постепенно (окончательно –– в середине прошедшего века). Я имею в виду картину бурбакистского типа: всякое отдельное понятие математики, или даже метаматематики, будь то вероятность, морфизм Фробени80 Ч I. М уса или правило вывода, представляет собой пример «структуры», представляющей собой конструкцию, рекурсивно строящуюся из множеств с помощью небольшого количества элементарных операций.

Сам по себе формальный язык математики также является структурой в этом смысле (иногда –– например, в категорных конструкциях, –– наряду с множествами используются и классы; для наших нынешних целей это уточнение несущественно).

Думаю, что Гильберт, предсказывавший «канторовский рай», имел перед своим мысленным взором именно эту грандиозную картину.

Во-вторых, однако, Кантор получил глубокие и необычные математические результаты о порядках бесконечности, положившие начало длительным и жарким дебатам. Сегодня мы понимаем, что он открыл, вероятно, наиболее простую и естественную неразрешимую проблему из всех, что можно себе представить –– гипотезу континуума. (Глубокое обсуждение того, что в данном контексте означает неразрешимость, см. у Гёделя [2, c. 62].) Суровый пустынный мир бесструктурных бесконечных множеств различных порядков бесконечности обладает, несомненно, своеобразным магическим очарованием; размышления об этом мире по очереди то отталкивали, то привлекали философски настроенных математиков и математически настроенных философов на протяжении нескольких десятилетий. Знаменитое коэновское доказательство непротиворечивости отрицания гипотезы континуума, дополняющее более раннее гёделевское доказательство непротиворечивости самой гипотезы континуума, появилось в тот момент, когда увлеченность тайнами бесконечности уже начала спадать –– несомненно, по той причине, что к тому времени язык множеств был принят практически всеми математиками.

Когда я заново продумываю эти старые рассуждения, когда я вспоминаю, как возникли интуиционизм и конструктивизм, меня поражает абсолютно классический строй мышления у некоторых из критиков Кантора. Значительная часть дискуссии была посвящена тому, как следует думать о бесконечных множествах. Аксиома выбора рассматривалась в основном как широкое до нелепости обобщение бытового опыта случайного выбора предмета из кучи ему подобных. Как конструктивистский, так и интуиционистский подход к этой проблематике демонстрирует глубокое эмоциональное неприятие такой процедуры применительно к бесконечным множествам (в возникшем позднее декадентском ультраинтуиционистском мире Есенина-Вольпина невыносимым стало и представление даже о конечных и относительно небольших наборах предметов).

И, Разумеется, представление о наборе различимых и неизменных объектов принадлежит к «наивной физике». Кажется, многие действующие лица великой драмы оснований математики были убеждены, что аксиоматику теории множеств следует понимать как прямое обобщение этой наивной физики.

То обстоятельство, что даже маленькие совокупности квантовых объектов ведут себя совсем не так, принято во внимание не было (возможно, его и не следует принимать во внимание). Тот факт, что работающие бесконечности работающих математиков (действительные числа, комплексные числа, спектры операторов и т. п.) были эффективно использованы для описания реального мира, был признан несущественным для оснований (возможно, так оно и есть).

Как бы то ни было, споры по поводу рассуждений Кантора вдохновили Гильберта на то, что он предпринял глубокое формальное исследование синтаксиса (но не семантики) языка математики, что подготовило почву для работ Тарского, Чёрча и Гёделя (а также породило философские пошлости наподобие карнаповского взгляда на математику как на «системы вспомогательных утверждений без предмета и без содержания» –– [2, c. 335]).

То, что мы получили в результате этих исследований, представляет собой высокотехническую картину взаимосвязей между структурой формальных выводов, их наивными (или формальными) теоретико-множественными моделями и степенями (не)разрешимости и (не)выразимости соответствующих точно определенных формальных версий математической истины. В популярных (и огрубленных) изложениях работ Гёделя редко удается передать всю сложность этой картины, поскольку в таких изложения невозможно передать богатство ее математического (в отличие от эпистемологического) контекста.

Именно это богатство восхищает нас больше всего.

2. Истина для работающего математика Афоризм Бурбаки из начала предыдущего раздела не означает, что на протяжении двух тысячелетий все одинаково понимали, что такое доказательство. Более того, приводимая ниже цитата из доклада А. Вейля на Амстердамском международном математическом конгрессе 954 года оставляет впечатление, что само понятие «строгого» доказательства появилось совсем незадолго, может быть даже как раз в результате деятельности Бурбаки.

Строгость перестала рассматриваться как неудобное формальное платье, которое надевают для официальных приемов и со 82 Ч I. М вздохом облегчения сбрасывают, придя домой. Теперь мы уже не спрашиваем, строго ли доказана теорема: мы спрашиваем, доказана она или нет [8, c. 80].

Увы, похоже, что желаемое здесь принималось за действительное.

Понимание того, что такое доказательство и какова его роль в математике, значительно разнится и в разные моменты индивидуального развития математика, и в разные периоды социальной истории математики.

Ниже я привожу подборку высказанных совсем недавно мнений (взятых из [4] и [7]) шести активно работающих математиков. Призываю читателя ознакомиться и со всей дискуссией: это весьма поучительно. Сама дискуссия началась с появившегося в 993 году письма А. Джаффе и Ф. Квинна, озаглавленного «Теоретическая математика: к культурному синтезу математики и теоретической физики».

Авторы были обеспокоены ситуацией, сложившейся в очень активном разделе математики, пограничном с математической физикой.

Им представлялось, что распространение требований к строгости, принятых в физических рассуждениях (существенно более низких, чем в математике) отрицательно влияют на состояние современных математических исследований. При этом они полностью признавали плодотворность взаимодействия математиков с физиками и предлагали принять правила поведения, обязательные для всех игроков, в частности, правила признания академических заслуг. Слово «теоретический» в заголовке письма было употреблено в нетрадиционном смысле, что не слишком удачно; авторы имели в виду смесь из спекулятивных рассуждений, примеров и результатов компьютерных вычислений, в противоположность теоремам со сверкающими в формулировках кванторами.

А. Когда я начинал учиться в аспирантуре в Беркли, мне было трудно представить, как это я смогу «доказать» новую и интересную теорему математики: я тогда и не понимал, что такое доказательство.

Посещая семинары, читая статьи и беседуя с другими аспирантами, я постепенно начал понимать, в чем дело. В рамках каждого раздела математики есть некоторые теоремы и технические приемы, которые всем известны и всеми признаются. Когда ты пишешь статью, ты ссылаешься на них без доказательства. Глядя на другие статьи, ты видишь, на какие факты их авторы ссылаются без доказательства и что за работы присутствуют в списках литературы.

И, От других людей ты получаешь какое-то представление о доказательствах этих фактов. После этого ты можешь пользоваться теми же теоремами и ссылаться на те же работы. Совершенно не обязательно полностью прочитать книги и статьи, входящие в твой список литературы. Для многого из того, что всем известно, может не существовать вообще никакого письменного источника. Пока математики из данной области верят в то, что некая идея работоспособна, формальные письменные источники для нее не нужны.

(У. Тэрстон, филдсовский медалист 982 года –– [7, с. 68].) Тэрстон красноречиво защищает ту точку зрения, что основная цель доказательства –– понимание и коммуникация, и что эффективнее всего она достигается в личных контактах. Его оппоненты отмечают, в частности, что межпоколенческие контакты возможны только через достаточно аккуратно написанные тексты и напоминают о судьбе итальянской алгебраической геометрии.

Б. Необходимо делать различие между современными спекулятивными текстами и теми статьями, написанными сто лет назад, которые сейчас мы рассматриваем как недостаточно строгие, но которые были абсолютно строгими по меркам своего времени.

Пуанкаре в своих работах по «analysis situs» был строг настолько, насколько в то время это было возможно, и он заведомо не занимался сознательными бездоказательными рассуждениями. При этом я ни разу не замечал, чтобы современные математики называли эти работы «небрежными» или «излишне теоретическими» (в смысле Джаффе и Квинна. –– Ю. М.). Когда в 898 году молодой Хегор в своей диссертации дерзко указал мэтру на его заблуждения, Пуанкаре, назвавший работу Хегора «trs remarquable»3, признал свои ошибки и исправил их. Напротив, в своей работе 9 2 года об отображениях кольца (доказательство основного результата было позднее получено Биркгофом) Пуанкаре, ссылаясь на возраст, извинялся за то, что публикует гипотезу. (М. Хирш –– [7, с. 87].) В. Интуиция –– это прекрасно, но чтобы попасть в математический рай, требуется много больше. … В теологических терминах можно сказать, что мы спасаемся не одной только верой, но верой и делами. Благодаря физике в математике появилось множество изящных идей и новых проектов, но математикам незачем копиВесьма замечательной (фр.).

84 Ч I. М ровать стиль работы физиков-экспериментаторов. Математика основывается на доказательстве, и доказательство пребудет вовеки.

(С. Маклейн –– [7, c. 90–– 93].) Г. Филипп Андерсон отзывается о математической строгости как о «неуместной и невозможной». Я бы смягчил удар, сказав, что она не по делу и что от сути дела она, как правило, отвлекает, –– даже в тех случаях, когда она возможна. (Б. Мандельброт –– [7, с. 94].) Ответ Мандельброта полон яростной критики не только абстрактного понятия «строгое доказательство», но и значительной части американского математического сообщества («математиков с Чарльзстрит4», как он их называет), которое, по мнению автора, тоталитарно, сосредоточено на должностях и званиях и стремится изолировать свободомыслящих исследователей.

Д. До 958 года я жил в математической среде, состоящей в основном из бурбакистов; даже тогда, когда я бывал нестрог, эти люди –– А. Картан, Ж.-П. Серр и потенциальный бурбакист Х. Уитни –– помогали мне поддерживать вполне приемлемый уровень строгости. Только после того, как в 958 году я получил филдсовскую медаль, я дал волю своим вкусам, с известными результатами –– в конечном счете катастрофическими. Более того, через несколько лет после медали я стал коллегой Александра Гротендика по IHES, благодаря чему я стал рассматривать строгость как в высшей степени маловажную часть математического мышления (Рене Том –– [7, c. 53].) Ироничные слова Тома требуют внимательного прочтения. Как надо понимать утверждение, что следование его вкусам привело в конечном счете к катастрофе Как именно работа в одном институте с Гротендиком повлияла на томовское мышление Посторонний читатель, возможно, так и не сможет понять, разделял Гротендик томовские взгляды или все было как раз наоборот. Далее в том же тексте Том пишет, что математическая строгость (rigor) напоминает ему rigor mortis (трупное окоченение).

Е. Мне бывает трудно убедить студентов, которых зачастую в математику привело то же, что и меня –– абстрактная красота На этой улице расположен офис Американского математического общества.

Pages:     | 1 |   ...   | 10 | 11 || 13 | 14 |   ...   | 54 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.