WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 9 | 10 || 12 | 13 |   ...   | 54 |

6. В посленьютоновской физике основным выражением идеи детерминированности служит принцип, согласно которому развитие изолированной физической системы в пространстве –– времени определяется дифференциальными уравнениями («законы природы») и граничными (начальными) условиями. Этот принцип принимается и в квантовой идеологии: вероятностный аспект квантовой теории существен для описания взаимодействий, в частности, с измерительным устройством, но не для теории изолированной системы.

Вычислительный процесс можно рассматривать как другую модель идеи детерминированности. Она во многом параллельна перВ вой: «закон» отвечает структуре вычислительного устройства, начальные условия –– программам. Разбиение вычислительного процесса на элементарные шаги, включающие, в частности, простейшие малые изменения содержимого памяти (как стирание или вписывание символа на ленте машины Тьюринга), можно сопоставить с идеей дифференцирования. В таких процедурах, как решение уравнения теплопроводности методом сеток, мы совершаем довольно прямолинейную имитацию непрерывной детерминированности с помощью дискретной, но, вообще говоря, сопоставление этих двух моделей далеко не тривиально.

Молекулярная биология доставляет образцы поведения естественных (не сконструированных человеком) систем, которое мы вынуждены описывать в терминах, близких к принятым в теории дискретных автоматов. На рис. 2 изображена схема синтеза белка на информационной РНК: она очень похожа на изображение машины Тьюринга, копирующей информацию с одной ленты на другую.

Классические непрерывные системы, управляемые дифференциальными уравнениями, могут имитировать дискретные автоматы лишь при исключительно сложной структуре своего фазового пространства: обилии областей устойчивости, разделенных невысокими энергетическими барьерами. Ввод программы проделывает изощренную систему проходов в этих барьерах, предопределяя движение фазовой траектории по этому лабиринту. Как физическая система вычислитель должен быть очень неустойчив, ибо ошибка в один знак в программе, вообще говоря, приводит к совершенно другой траектории. Но сам процесс вычисления должен быть беспримерно стабильным, т. е. самопроизвольные ошибки (переход траектории через барьер, который должен быть закрыт, в результате флуктуации) должны иметь весьма малую вероятность. Хорошо известно, что эти требования (в сочетании с медленностью работы и экспоненциальным ростом диссипируемой энергии при увеличении сложности) поставили барьер перед развитием механических компьютеров.

Между тем действие «генетических автоматов» мы пытаемся часто описывать именно такими механическими терминами. К самым известным парадоксам, к которым приводит такое описание, относится гипотетическая картина разворачивания двойной спирали в процессе репликации. В этой картине двойная спираль бактериальной хромосомы закручена примерно на 300 000 оборотов. Так как ее удвоение в благоприятных обстоятельствах занимает 20 мин, согласно механической модели репликации, при разворачивании спирали часть хромосомы должна вращаться со скоростью, не меньшей 125 оборотов 72 Ч I. М Рис. в секунду. Параллельно должна происходить сложная сеть безошибочных биохимических превращений.

Возможно, для прогресса в понимании таких явлений нам недостает математической теории квантовых автоматов. Такие объекты могли бы показать нам математические модели детерминированных процессов с совершенно непривычными свойствами. Одна из причин этого в том, что квантовое пространство состояний обладает гораздо большей емкостью, чем классическое: там, где в классике имеется N В дискретных состояний, в квантовой теории, допускающей их суперпозицию, имеется cN планковских ячеек. При объединении классических систем их числа состояний N1 и N2 перемножаются, а в квантовом варианте получается cN N2.

Эти грубые подсчеты показывают гораздо большую потенциальную сложность квантового поведения системы по сравнению с его классической имитацией. В частности, из-за отсутствия однозначного разделения системы на элементы состояние квантового автомата может рассматриваться многими способами, как состояние совершенно разных виртуальных классических автоматов. (Ср. со следующим поучительным подсчетом в конце работы [3]. «Для квантовомеханического расчета молекулы метана требуется провести вычисления по методу сеток в 1042 точках. Если считать, что в каждой точке следует выполнить всего 10 элементарных операций, и предположить, что все вычисления производятся при сверхнизкой температуре (T = 3 · 10-3 К), то и при этом расчет молекулы метана потребует израсходовать энергию, производимую на Земле примерно за столетие».) Первая трудность при проведении этой программы состоит в выборе правильного баланса между математическими и физическими принципами. Квантовый автомат должен быть абстрактным: его математическая модель должна использовать лишь самые общие квантовые принципы, не предрешая физических реализаций. Тогда модель эволюции есть унитарное вращение в конечномерном гильбертовом пространстве, а модель виртуального разделения на подсистемы отвечает разложению пространства в тензорное произведение.

Где-то в этой картине должно найти место взаимодействие, описываемое по традиции эрмитовыми операторами и вероятностями.

Литература. Мельчук И. А. Опыт лингвистических моделей «Смысл Текст». М.: Наука, 974.

2. Апресян Ю. Д., Богуславский И. М., Иомдин Л. Л., Крысин Л. П., Лазурский А. В., Перцов Н. В., Санников В. З. Лингвистическое обеспечение в системе автоматического перевода третьего поколения. М.: Научный Совет по комплексной проблеме «Кибернетика» при Президиуме АН СССР, 978.

3. Поплавский Р. П. Термодинамические модели информационных процессов // УФН. 975. Т. 5. Вып. 3. С. 465––50.

4. Колмогоров А. Н. Три подхода к определению понятия «количество информации» // Проблемы передачи информации. 965. Т.. Вып.. С. 3––7.

74 Ч I. М 5. Колмогоров А. Н. К логическим основам теории информации и теории вероятностей // Проблемы передачи информации. 969. Т. 5. Вып. 3. С. 3––7.

6. Звонкин А. К., Левин Л. А. Сложность конечных объектов и обоснование понятий информации и случайности с помощью теории алгоритмов // УМН. 970. Т. 25. Вып. 6. С. 85–– 27.

Истина, строгость и здравый смысл Мише Савельеву к пятидесятилетию На мой взгляд, в 995 году главная трудность с обсуждением природы математической истины состоит в том, что после эпохи глубоких открытий в конце тридцатых годов, увенчавшейся результатами Гёделя и Тарского, никаких новых идей не возникло.

Чтобы не повторяться и оживить обсуждение, можно попробовать рассмотреть вопрос в более широком контексте или добавить к обсуждению немного личного. В обоих случаях возникает опасность, что внимание читателя переключится на темы, лишь отчасти связанные с исходной; приношу извинения за то, что я выбрал столь сомнительную тактику.

Этот доклад делится на три части.

(а) Размышления об истории математики как одного из жанров символических (или семиотических) игр.

(б) Обсуждение проблем доказательства и математической истины в контексте современных исследований (в связи с недавними спорами вокруг письма А. Джаффе и Ф. Квинна [4]).

(в) Три примера (анализ которых предоставлен читателю).

Мы будем базироваться на весьма наивной философской основе.

С наивной точки зрения истинное утверждение –– это утверждение, которое можно подвергнуть верификации с тем, что оно эту верификацию пройдет. Верификация –– это процедура, включающая какое-то сравнение утверждения с реальностью; тем самым подразумевается, что верифицируемым утверждениям приписывается какой-то смысл (это в равной мере относится и к «очевидным» утверждениям, проверка которых опускается). Реальность, о которой идет здесь речь, может быть произвольным мыслительным конструктом, от «свободно падающего тела» до «трансфинитных кардиналов». Мы обойдем молчанием вопрос о том, как верифицировать утверждения о трансфинитных кардиналах, который, несомненно, будет рассмотрен другими докладчиками.

Впервые опубликовано: Truth, rigor and common sense // Truth in Mathematics / Еd. by H. G. Dales and G. Olivieri. Oxford: Clarendon Press, 998. P. 47–– 59. Перевод с английского С. М. Львовского.

76 Ч I. М Утверждение как таковое является лингвистическим конструктом.

Перед тем как подвергнуть его процедуре верификации, необходимо удостовериться, что оно является грамматически правильным вопервых и осмысленным во-вторых.

Логика учит нас, что некоторые формальные конструкции переводят истинные утверждения в истинные же (первым примером такого рода были силлогизмы). В математике такого рода конструкции используются рекурсивно. Непосредственное сопоставление с реальностью сводится к сравнительно редким приложениям математики и, возможно, к исследованию оснований. Основная часть математического знания выглядит как обширная игра ума, подчиненная строгим правилам.

Можно также попробовать применить понятие истинности не к отдельным утверждениям, но к таким объектам, как роман, научная теория или теологическая доктрина. Понятия «грамматическая правильность», «смысл», «реальность» и «верификация» при этом приобретут новые измерения, но, похоже, не потеряют своего эвристического значения. Новое явление, которое можно назвать нелокальностью, состоит в том, что осмысленность или истинность теории при этом будут основываться не только на составляющих ее утверждениях, но и на доктрине в целом.

Все упомянутые выше общежитейские понятия подвергались тонкому теоретическому анализу во множестве философских трудов. Все эти понятия, включая «реальность», подвергались и разносторонней критике вплоть до полного разрушения. Например, стоит вспомнить, какая судьба постигла идею верификации теорий: приводились доводы в пользу того, что ни одну теорию верифицировать нельзя и что возможна только фальсификация.

В дальнейшем я постараюсь держаться здравого смысла и избегать крайних взглядов. Какие-то крупицы истины могут проникнуть даже в самую дикую деконструкцию этого понятия, но слабость такого рода подходов обычно проявляется, стоит только начать судить этот подход по его собственным стандартам.

. Математическая истина в истории Современное понятие математической истины восходит к древней Греции. Бурбаки кратко выражает эту мысль так: «Depuis les Grecs, qui dit Mathmatiques, dit dmonstration». При этом для математики нужны именно доказательства, понимаемые как цепочки хорошо органи Со времен древних греков «математика» значит «доказательство» (фр.).

И, зованных стандартных шагов, а не как акты демонстрации (вопреки этимологии слова «доказательство»).

Помимо всего прочего, это означает, что современная математика представляет собой по существу лингвистическую деятельность, опирающуюся на язык, обозначения и манипуляции с символами как на средство убеждения собеседника даже в тех случаях, когда речь идет о реальности (геометрической, физической или еще какой-либо).

Связность рассуждения, не содержащего противоречий и избегающего пробелов, играет важную роль в установлении того обстоятельства, что то или иное высказывание действительно доказывает то, на доказательство чего оно претендует. Строго говоря, статус постулатов P, на которых основывается доказательство утверждения S, не обязан быть предметом обсуждения в математике: она отвечает главным образом за структуру вывода.

У этой идеализированной картины имеется длинная предыстория;

опишем вкратце некоторые архаические типы протоматематического поведения.

Экономическая и военная жизнь ранних человеческих коллективов была сопряжена с учетом продовольствия, размера племени, времен года и т. п. Элементарная арифметика, которую мы знаем, возникла только постепенно как диалект языка, обслуживающий нужды такого учета.

В то время как основной (а на протяжении тысячелетий –– и единственной) формой существования естественных языков была устная речь, устный, а затем и письменный язык элементарной арифметики лишь постепенно выделялся из многочисленных архаических форм, включающих в себя счет на пальцах и других частях тела, собирание камешков и палочек, завязывание узелков (в наши дни, когда электронная арифметика теснит письменную, можно наблюдать, как этот процесс идет в противоположном направлении).

Математик, склонный подчеркивать «изоморфизм» всевозможных упомянутых реализаций универсума натуральных чисел и операций над ними, должен сознавать, что такой подход является очень существенной модернизацией.

В терминах классической соссюровской дихотомии языка как системы и речи как деятельности можно сказать, что мы наблюдаем медленное и трудное вычленение «языка» из «речи», включающей в себя непосредственные манипуляции с предметами и частями тела как символами. Какое бы понятие истины ни использовалось при интерпретации такой деятельности, в конечном счете оно должно апеллировать к эффективности социального поведения, на этой дея78 Ч I. М тельности основывающегося. Классическими примерами могут служить обмен и торговля. Попросту говоря, если считать правильно, то обмен будет справедливым, а торговля прибыльной.

Этим, однако, дело не ограничивается. Важно сознавать, что не только материальная выгода сама по себе, но практически любая форма организованного поведения может иметь особый смысл для индивида или коллектива. В свете этого соображения архаическая арифметика получает тот же статус, что ритуалы, музыка, танцы и все формы магии. Свидетельства о таком восприятии математики как одной из форм магии можно проследить и в сравнительно недавней истории.

Тот, кто способен предсказать затмение или еще какое-нибудь неочевидное явление, может оказаться не мудрецом, а чародеем, а «предсказанное» им событие, возможно, произошло из-за его манипуляций с символами, это событие представляющими.

Многие философы пытались демифологизировать образ математики как интеллектуальной в первую очередь деятельности. Например, уже в то время, когда существовала современная институциализированная математика, Шопенгауэр писал: «Вычисления определяют количество и величину и потому необходимы на практике. Можно даже сказать: где начинается вычисление, там кончается понимание»2.

С. Хильдебрандт [3, c. 3], приводя эту цитату, отмечает: «Задетый читатель может лишь изумиться этому суждению и умозаключить, что Шопенгауэр даже не заглядывал в работы Эйлера, Лагранжа и Гаусса».

Тем не менее, Шопенгауэр прав, если понимать его буквально.

Pages:     | 1 |   ...   | 9 | 10 || 12 | 13 |   ...   | 54 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.