WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 8 | 9 || 11 | 12 |   ...   | 54 |

Уже построены конструктивные варианты анализа и фрагментов других теорий. Можно надеяться, что предрассудки философского порядка, связывающие эти идеи с устаревшими концепциями «обоснования математики», будут постепенно отходить в тень и общематематическая роль полученных результатов будет осознаваться яснее. Конструктивная математика призвана не заменить классическую, а стать ее полноправной частью. В частности, задача характеризации рекурсивных структур в более обычных терминах, образцами которой служат теоремы Матиясевича (гл. II) и Хигмэна (гл. VI), вероятно, даст еще много замечательных результатов. Пример гораздо менее прямолинейной связи рекурсивности с классической математикой представляют глубокие идеи А. Н. Колмогорова в теории сложности и теории вероятностей, введению в которые посвящена гл. III. Формально говоря, одна из задач, решенных Колмогоровым и его учениками, состоит в точной математической характеризации случайных последовательностей. Но по существу Колмогоров сделал предметом глубокой теории интуитивное ощущение того, что степень организованности больших структур (в противовес их случайности и хаотичности) проявляется в ходе алгоритмического взаимодействия с ними, далеко не сводящегося к простым процедурам подсчета частот (см. §3, гл.III).

Поэтому теорию Колмогорова [4], [5], [6] можно с равным правом отнести к третьему направлению развития идей вычислимости, направлению, где теория алгоритмов рассматривается как формализованная модель алгоритмической деятельности и алгоритмических процессов в широком понимании. К таким процессам относится, скажем, перевод текстов на естественных языках или разворачивание В генотипа в фенотип, происходящее в процессе развития живого организма.

Такая точка зрения на алгоритмы позволяет увидеть неожиданные аналогии и постановки задач, заслуживающие обдумывания. Опишем вкратце два круга идей, относящихся к лингвистике и физике соответственно.

5. Язык в широком плане есть структура управляющих воздействий в сложной системе; речь –– конкретный фрагмент таких воздействий. Соотношение текст / значение текста подобно не соотношению фотография/реальность, а соотношению программа/выдачи или программа / вычислительный процесс.

В результате многолетней работы над проблемой автоматического перевода выкристаллизовалась одна из значительных общих концепций современной лингвистики: известная модель «смысл текст» (см. [ ], [2]). В этой модели язык представляется как соответствие между двумя бесконечными множествами: «текстов» и «смыслов».

Элементами первого множества являются тексты на том или ином естественном языке; элементами второго –– также тексты, но на искусственном семантическом языке, подлежащем конструированию.

Соответствие сопоставляет каждый естественный текст с набором его возможных смыслов, а каждый смысл –– с набором его возможных выражений на естественном языке. Семантический язык в принципе должен быть универсальным по разным параметрам, в частности, не зависящим от исходного естественного языка. Лингвистика есть теория перевода «смысл текст». Перевод должен осуществляться через ряд промежуточных этапов, называемых уровнями представления предложений естественного языка. К этим уровням относятся:

фонетический (или орфографический), фонологический, поверхностно-морфологический, глубинно-морфологический, поверхностно-синтаксический, глубинно-синтаксический и семантический. «Каждый из уровней, за исключением, может быть, орфографического, задается своим формальным языком; на каждом из уровней исходное предложение имеет формальный образ, называемый представлением предложения –– фонологическим,поверхностно-морфологическим,глубинно-морфологическим и т. д.» [2, c. 4].

«Модель „смысл текст“, таким образом, является инструментом, который делает возможным овладение смыслом большого круга текстов на естественном языке. Поэтому представляется заманчивой реализация этой модели на ЭВМ и ее использование для решения задач, возникающих в различных автоматических и автоматизированных системах обработки текстовой информации» [2, с. 5].

66 Ч I. М Рис.

Разработка детализированной модели –– долгое и кропотливое дело. Анализ даже простых образцов бытовой речи приводит к довольно сложным комбинаторным структурам на уровне семантического представления (см. рис., где приведено семантическое представление фразы «Косте удалось победить», взятое из [, с. 67 ]). В исследовании оказываются запутанными проблемы анализа семантики и создания языка смыслов и собственно перевода в обе стороны. Неясно, какой максимальный уровень структурированности может быть достигнут и каково происхождение «неалгоритмизуемого остатка»: является ли он следствием исторических случайностей и прихотливости естественного языка или есть более глубокие причины его существования.

Некоторый свет на этот вопрос проливает попытка рассмотреть упрощенные варианты модели «смысл текст». В частности, удобно выбрать такую ограниченную область смыслов, чтобы ее семантическое представление имело возможно более простую и фиксированную структуру. Выберем в качестве этой области «натуральные числа», семантически представляя их последовательностями палочек:

I, II, III, IIII, … История ее представления средствами естественных языков относится к описательной лингвистике; одновременно она доставляет ценные свидетельства о ранних стадиях математического мышления.

В В частности, «предматематический» период отражен в следующих чертах системы названий чисел в различные естественных языках.

В некоторых примитивных языках имеются названия лишь для малых натуральных чисел, остальные обозначаются единым словом «много». Так, в папуасских языках генде, кати, каморо имеется два собственно числительных 1 и 2, далее до 20 счет идет по пальцам рук и ног, на 20 натуральный ряд «кончается». Разумеется, система {1, …, 20, много} может быть без труда оформлена как непротиворечивый «малый универсум» математики. Более того, такой и аналогичные натуральные ряды заново рассматриваются в одной из школ оснований математики («ультраинтуиционизм») на равных или даже преимущественных правах со стандартным натуральным рядом классической математики. Однако нельзя переоценивать значения этого рафинированного возвращения сознания к архаичным стадиям и отказываться от могущественной идеи потенциально или даже актуально бесконечной продолжимости ряда целых чисел.

В некоторых языках сохранились разные серии названий числительных для счета предметов разной природы (длинных, круглых, одушевленных, неодушевленных и т. п.). Это свидетельствует о долгом периоде формирования идеи о числе как об инструменте, пригодном для счета «чего угодно». Сознание человека довольно долго не было готово к объединению в один «класс эквивалентности» произвольных (хотя бы и малых конечных) равномощных множеств; эта же идея в применении к бесконечным множествам стала достоянием математики лишь после работ Г. Кантора. Следы таких разных типов счета сохранились в современном китайском языке, где хотя и имеется единая система числительных, но она дополняется развитой системой счетных частиц, употребляемых с существительными разных классов типа kui («кусок»), g («штука»), bn («корешок») и т. д.

В ряде языков отмечается различие корней, от которых образуются соответствующие порядковые и количественные числительные (ср. uno/primo, duo/secundo в латыни). В этих свидетельствах можно усмотреть весьма раннее зарождение идеи порядка (в отличие от идеи количества), оформившейся в качестве самостоятельного математического понятия удивительно поздно («кардиналы» и «ординалы» Кантора и структуры порядка Н. Бурбаки).

Первые дошедшие до нас тексты (Вавилон, Египет) отражают уже картину развитых математических знаний, в частности, зарождение языка математических обозначений, достаточно четко отдаленного от естественного языка. Основное место в нем занимает система обозначений чисел и операций над ними. Предыстория позиционной 68 Ч I. М системы обозначений современного типа основана на идее счета все более крупными единицами. Эти единицы могут быть степенями одного и того же числа (основание позиционной системы), но это не обязательно. Так, в хронологической системе майя единицы счета суть 1, 18, 360 и далее 18, 20 (ср. следы архаического счета двадцатками во французских числительных типа quatre-vingt-six). Число единиц очередного разряда обозначается специальным символом, который поначалу может зависеть и от номера разряда (у египтян, греков, римлян). Когда этот символ перестает зависеть от номера разряда и последний определяется лишь положением символа в цепочке, для недвусмысленного прочтения записи становится необходимым символ нуля. Его появление задерживается довольно надолго; к концу вавилонской традиции отсутствие единиц данного разряда отмечается нулем лишь в середине записи. Идея о том, что символ нуля является не просто значком, но обозначением самостоятельного числа, имеет еще более позднее происхождение и приписывается индусам, у которых она была заимствована европейской математикой под арабским влиянием. Сама позиционная запись содержит уже зачатки теории алгебраических операций над числами: прочтение записи требует умножения единицы очередного разряда на число этих единиц и сложения результатов. Правила выполнения действий над целыми числами в позиционной записи были даны аль-Хорезми, имя которого фонетически трансформировалось в современное слово алгоритм.

На этом уровне система названий чисел в естественном языке перестает быть лингвистическим материалом: «тысяча девятьсот восемьдесят четыре» есть собственно название десятичной записи 1984, а не числа, изображаемого этой записью, т. е. некоторое вторичное явление. (Число 1000 в двоичной записи психологически трудно прочесть, «восемь» воспринимается сейчас скорее как имя цифры, чем имя числа.) Поэтому откажемся от рассмотрения наименований чисел в естественном языке и попытаемся представить себе характерные черты любой мыслимой системы наименований: десятичной, двоичной или даже не обязательно позиционной. Очевидно, минимальные требования должны быть такими: наименования должны быть конечными текстами; способ восстановления числа по наименованию должен быть вычислимой функцией, т. е.

задаваться алгоритмом. Если бы дело этим ограничивалось, нечего было бы заменять наименования I, II, III,... другими. Позиционная система реализует фундаментальное открытие: число N можно записать log N знаками вместо палочек; даже очень большие числа В имеют короткие записи. Смысл записи воплощен в алгоритме ее переработки в последовательность палочек. Правила аль-Хорезми суть алгоритмы переработки записи двух чисел в записи их суммы и произведения.

Но тогда в качестве модели системы наименований чисел мы можем взять любую вычислимую функцию f от натуральных чисел (вспомним, что тексты можно заменять их номерами Г приниеделя), мающую все натуральные значения. Оставив в стороне вычислимость операций, сосредоточимся на идее экономии: нас интересует функция f, такая, чтобы имя n каждого числа N, т.е. значение аргумента f, для которого f (n) = N было настолько малым, насколько это вообще …возможно (в двоичной записи числа «1010 (1000 раз)» очень много бит, но мы сумели записать его совсем коротко. См. также сведения о функции Рамсея в § 6 гл. V). Как доказал А. Н. Колмогоров, такие функции f существуют и могут быть построены явно: каждая из них позволяет назвать число N настолько коротким именем, насколько позволяет любая другая система наименований g, возможно, с потерей некоторого числа бит, зависящего от f и g, но не от N.

Однако это условие оптимальности неизбежно влечет за собой следующие свойства функции f. В любой оптимальной системе наименований:

а) каждое число имеет бесконечно много наименований;

б) не все целые числа n являются наименованиями: функция f лишь частично рекурсивна, но не общерекурсивна, и не может быть продолжена до общерекурсивной;

в) восстановление числа по его наименованию в оптимальной системе требует работы сложного алгоритма:оптимальные функции строятся с помощью универсальных вычислимых функций, которые в некотором смысле настолько сложны, насколько это вообще возможно;

г) проблема отыскания по числу его наиболее короткого наименования алгоритмически неразрешима, анализ большого числа на предмет обнаружения структурированности, позволяющей назвать его коротко, есть творческая задача.

Сопоставим этот список свойств оптимальной системы наименований чисел со следующими свойствами естественного языка:

А. Обилие синонимии: каждый смысл может быть выражен огромным количеством текстов на естественном языке. (Для фразы «Смит не сумел перевести этот текст только из-за того, что в нем оказалось много специальных терминов» по оценке [ ] имеется более миллиона перефразировок);

70 Ч I. М Б. Открытость языка: на каждый момент времени не все грамматически правильные тексты осмыслены. (Эта краткая констатация нуждается в тщательном обсуждении. В модели «Смысл Текст» полагается, что любой правильный текст может быть переведен в правильный текст на языке смыслов, но среди последних есть «бессмысленные» в неформальном понимании этого слова: интересующая нас категория, стало быть, переводится на другой уровень.) Эта открытость естественного языка является исключительно важным резервом его творческого использования не только в поэзии и философии, но и в науке. Для выражения вновь возникающего смысла может быть использован ранее неосмысленный текст («волна вероятности» в квантовой механике или более прозаический «пакет молока»). Еще интереснее факты рождения нового смысла из ранее неосмысляемых, хотя и грамматически допустимых языковых выражений (поэтические метафоры; континуальные интегралы Фейнмана);

В. Перевод «Текст Смысл» требует многоступенчатой работы системы сложных алгоритмов, выявляющих огромную структурированность языковых конструкций;

Г. Во всех разработках перевод «Смысл Текст» оказывается еще гораздо более трудным, чем обратный.

Сопоставление свойств а)––г) и А––Г показывает их удивительный параллелизм. Это побуждает высказать гипотезу о том, что многие черты естественных языков, обычно относимые за счет исторических случайностей, хотя бы частично отражают свойства экономичности языка: его возможности кратко выразить сложный смысл, который такое выражение вообще допускает. Обилие синонимических способов выражения и бессмысленных текстов кажется противоречащим этой гипотезе, но если считать нашу модель адекватной, то это обилие парадоксальным образом оказывается неизбежным следствием экономичности.

Pages:     | 1 |   ...   | 8 | 9 || 11 | 12 |   ...   | 54 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.