WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 55 | 56 || 58 | 59 |   ...   | 93 |

Строгость в обучении призвана разъяснять смысл доказываемого утверждения, убеждать обучаемого в истинности его и призвана воспитывать и развивать логическое мышление. Убедительное объяснение факта не всегда совпадает с формально-логическим доказательством.

Процедура такого доказательства не является строго математической и выводит за пределы математики, вступает в различные области эмпирического, чувственного. Доказательства в обучении должны быть интуитивно-логическими с психологической окраской. Если принять такое понимание доказательства, то адекватная методическая система обучения в отношении понятия доказательства должна включать и более широкую аргументацию, расширяя тем самым границы математической строгости. Речь, таким образом, в преподавании должна идти не о полной строгости, а о методически целесообразном уровне строгости. Этот уровень строгости можно назвать учебным.

Для определения оптимального уровня строгости при построении и отборе содержания предмета и в процессе обучения необходимо учитывать ряд факторов, которые можно назвать методическими критериями. К ним мы отнесли: согласованность, педагогическую целесообразность, ясность и простоту языка, естественность, учет индукции навыков.

РЕКУРСИЯ И РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ЕСАЯН АЛЬБЕРТ РУБЕНОВИЧ Тульский государственный педагогический университет В докладе рассматривается серия простых учебных демонстрационных задач, решения которых получаются с помощью рекурсивно определенных алгоритмов. Детально обсуждаются описанные ниже схематические приемы поиска этих алгоритмов. В основном все программыфункции написаны на языке программирования вычислительной среды Mathcad. Часть программ написана на языке Object Pascal 5.0 системы объектного визуального программирования Delphi 5. Для некоторых задач предлагается несколько вариантов программ. Приводятся контрольные примеры. Заметим, что, ввиду разноплановости предложенных задач, многие из них могут служить отдельными темами, собирающими вокруг себя родственный содержательный материал по рекурсии для отработки техники решения задач в рамках определенного направления.

Как для конкретной задачи построить рекурсивный алгоритм её решения — готовых рецептов не существует. Некоторые практические рекомендации на этот счет приведены в [1, с. 144]. Однако лишь ознакомление с достаточным количеством учебных рекурсивных алгоритмов позволяет выработать определенную интуицию в выборе тактики и стратегии поиска и обнаружения спасательной рекурсии в незнакомой обстановке и заложить фундамент для освоения, совершенствования и отработки техники рекурсивного программирования. Общие рекомендации здесь могли бы быть такими. Пытаясь искать рекурсивное решение какой-либо задачи, следует опираться на одну из предлагаемых ниже именованных схем.

Схема 1 — «увидеть». Увидеть непосредственную рекурсию в определении объекта. Во многих задачах условия не просто задают её постановку, но делают это рекурсивно. Отсюда и рекурсивные программы, являющиеся точной копией условий задачи.

Схема 2 — «переформулировать». Часто в условиях задачи не только не проглядывается рекурсия, но и сама задача не является алгоритмически сформулированной. Иногда её простая перефразировка, а чаще построение математической модели позволяют вдруг обнаружить первоначально скрытую рекурсию.

РЕКУРСИЯ И РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ Схема 3 — «обобщить (погрузить, вложить)». Если из постановки задачи рекурсию извлечь не удаётся, то за счет перехода к её некоторому обобщению иногда это сделать можно. При этом предполагается, что из решения обобщенной задачи без особого труда может быть получено решение исходной задачи. Как правило, переход к обобщенной задаче происходит за счет введения дополнительных параметров. В некоторых случаях рассматриваемая схема может быть использована для перехода от одного типа рекурсии к другому.

Схема 4 — «найти родственника». Иногда к исходной задаче удается найти одну или несколько вспомогательных родственных к ней задач так, что в совокупности, взаимно дополняя друг друга, они уже будут определять вполне просматриваемую косвенную рекурсию.

Схема 5 — «обнаружить характеристическое свойство». Пусть совокупность всех или части условий задачи оформлена в виде предиката над наборами входных данных и возможных результатов. Такой предикат определяет некоторое характеристическое свойство задачи. Формальная запись предиката с одной стороны позволяет проводить независимую «экспертную» проверку правильности работы ранее разработанных алгоритмов решения данной задачи, а с другой стороны, может оказать существенную помощь для отыскания новых рекурсивных алгоритмов её решения. При этом иногда целесообразно преобразовать предикат, то есть переформулировать характеристическое свойство задачи так, чтобы из него можно было извлечь какой-либо иной алгоритм.

В любом случае, следует помнить, что характеристические свойства не всегда определяют исходную задачу однозначно.

Схема 6 — «перенести часть условий в проверку». Иногда при рассмотрении всех условий задачи рекурсия в явном виде сразу не обнаруживается, но удаление части условий приводит к новой вспомогательной задаче, рекурсивный алгоритм решения которой строится без особых затруднений. В этом случае, чтобы узнать, является ли полученный для новой задачи ответ (ответы) решением исходной задачи, необходимо проверить выполняются ли для него ранее удаленные условия или нет. Если решение задачи сводится к вычислению значения истинности некоторого предиката, непосредственно построенного из конъюнкции условий задачи на наборах входных данных, то описанная схема допускает возможность проверки выполнимости удаляемых условий как до использования рекурсивного алгоритма решения вспомогательной задачи, так и после этого.

Остановимся еще на одном важном моменте. Последовательность рекурсивных обращений за конечное число шагов обязательно должна приводить нас к одному из индикаторов завершения вычислений, расположенных в базе. Этим рекурсивные вычисления по существу отлича438 ЕСАЯН А. Р.

ются от метода последовательных приближений. Однако нельзя всегда рассчитывать на окончание рекурсивного алгоритма за конечное число шагов, как на нечто само собой разумеющееся. Иногда установление этого свойства для определенного подмножества значений пространства параметров требует значительных усилий в проведении подчас непростых рассуждений.

Рассмотрим один конкретный пример.

Составить рекурсивную программу-функцию вычисления суммы S n факториалов целых чисел от 0 до n включительно: S = k!.

k=Решение. Поскольку n k! = 1 + 1(1 + 2(1 + 3(1 +... + (n - 1)(1 + n)... ))), k=то искомая функция sum_fa() могла бы, например, выглядеть так:

sum_fa(k, S) := S if k = sum_fa(k - 1, 1 + Sk) otherwise где S — вспомогательный параметр, в котором формируется значение требуемой суммы факториалов, а k — переменная, управляющая рекурсивными вызовами. Начальные значения S и k при обращении к sum_fa() должны быть равны соответственно единице и n. Трудоемкость вычислений по функции sum_fa() равна O(n) арифметических операций умножения и сложения.

Контрольные примеры:

sum_fa(4, 1) = 34, sum_fa(40, 1) 836850334330315506193242641144055892504420940314.

Литература [1] Бауэр Ф.Л., Гооз Г. Информатика. В 2 т. М.: Мир, 1990. т. 1.

МАТЕМАТИКА В ГУМАНИТАРНЫХ ОБРАЗОВАТЕЛЬНЫХ ПРОГРАММАХ ЖОЛКОВ СЕРГЕЙ ЮРЬЕВИЧ Российский государственный университет нефти и газа, г. Москва Вопрос о необходимости или даже целесообразности математического образования для студентов гуманитарных профессий относится к числу принципиальных. Зачем нужна математика гуманитарию и какие особенности математики делают необходимой ее изучение, что именно из математики следует знать специалисту гуманитарных профессий, на какой уровень подготовки рассчитан курс обучения Вот основные вопросы, требующие аргументированного ответа (объем курса математики, излагаемые технические приемы и способ их изложения будут лишь следствием).

Сначала кратко ответим на поставленные вопросы.

Математика — это не набор формул и технических приемов, как часто полагают, а универсальный образец рационалистического анализа и построения концепций в любом знании, математика — это культура исследований. Удивительная особенность человеческой культуры — единство структуры знаний самой различной природы [исходные понятия — концепции и допущения — правила логического вывода (доказательств) — техника — результаты и их интерпретация(ции)] и сходство путей их развития — вот почему столь значим математический опыт.

«Числа не управляют миром, но показывают, как управляется мир», — писал Гете.

Важность математики как общезначимого метода анализа довольно очевидна, но следует обратить внимание на то, что математика является также и образцом видения предмета исследований, а формализация проблемы, представленная математическим опытом, — важная возможность полного и точного видения проблемы, часто являющаяся ключом к ее разрешению. Это первый элемент знания любой природы.

Второй (и важнейший) элемент — построение концепций. Постановка проблемы, прочность и стройность фундамента будущей концепции (теории), корректность рассуждений (обоснований), достоверность и однозначность заключений — вот вопросы, представляющие особый интерес для специалистов гуманитарных профессий. Понимание законов построения концепций — барьер от непрофессионализма.

440 ЖОЛКОВ С. Ю.

Можно выделить две составляющих любого знания: декларативную часть и ее обоснование — созидательную часть знания. Глубина и последовательность обоснования в высшей степени важны для любого знания, любой гуманитарной концепции. Это третий общезначимый элемент знаний; математический опыт играет здесь исключительную роль.

Целостная концепция (модель) исследуемого явления станет основой для анализа и принятия решения. Адекватность, точность и целостность (непротиворечивость) концепции будут иметь при этом решающую роль. Математические знания и опыт будут при этом незаменимы.

Все это показывает, что математика является неотъемлемой частью культурного наследия, хотя вопреки традиции, идущей от Древней Эллады, в настоящее время в минимум культурных знаний редко включаются знания из области современной математики, которые считаются специальными. Это заблуждение (далеко не очевидное). Как писал Герман Вейль, — «В природе существует внутренне присущая ей скрытая гармония, отражающаяся в наших умах в виде простых математических законов». В соответствии со всем вышесказанным предлагается учебник, в котором математика предстает как единая цельная наука, тесно связанная с другими знаниями, как необходимое звено человеческой культуры.

Предлагаемый способ построения и преподавания курса математики соответствует историческому пути развития математики во взаимосвязи с развитием всей цивилизации. Такое развитие математики в динамике со всеми ее временными несовершенствами и проблемами демонстрирует читателю или студенту, что математика — не собрание догм, а живая наука, которую создавали живые люди. Читатель видит, как возникали проблемы и как математика их решала, видит, что развивалась она подобно другим знаниям в спорах, поисках и сомнениях.

Круг обязательных технических приемов сужен: отобраны только методы, имеющие принципиальный для понимания предмета характер. Математическая техника, которую традиционно принято излагать, содержится в разделах, предназначенных для экономистов и т.п.

специальностей, структура книги дает такую возможность и позволяет свободно выбирать размеры курса математики: от минимального (например, для филологов) до полноценного (для экономистов, статистиков и т.п.), при этом, учитывая здоровый консерватизм преподавательского корпуса, учебник построен так, что дает возможность выбора: излагать традиционные разделы математики или изменить акценты в пользу нетрадиционных материалов или стиля изложения. Полнота предмета видится не в полноте доказательств и обилии технических приемов, а в целостности и последовательности изложения, но всегда есть ссылка на литературу, где при желании можно МАТЕМАТИКА В ГУМАНИТАРНЫХ ОБРАЗОВАТЕЛЬНЫХ ПРОГРАММАХ увидеть полное доказательство или необходимый метод решения. В данном учебнике математика является скорее не целью, а методом, необходимым инструментом для решения многих гуманитарных задач, поскольку носит не профессионально-математический, а общезначимый характер.

В предлагаемом курсе постоянно подчеркивается предметная основа математики — связь с естественнонаучными знаниями. В этом мы прямо следуем Ньютону, придававшему исключительную важность естественнонаучным основаниям математических конструкций и методов:

«Главная обязанность натуральной философии — делать заключения из явлений, не измышляя гипотез, и выводить причины из действий...» — писал он в «Оптике» (1704).

Удивительно также то, что замечательные достижения математики XX в. не нашли никакого отражения в учебниках (исключая учебники для математиков и физиков), словно эти открытия нужны только для пары тысяч людей из каждого поколения. На самом же деле все наоборот — многие результаты именно XX в. имеют исключительно важный общезначимый характер и их присутствие в образовательных программах обязательно. Эти результаты (касающиеся, прежде всего, антиномий, недоказуемых утверждений и неразрешимых проблем, алгоритмов и конструктивизма) изложены в учебнике, при этом ясно показано, что в математике так же, как и в гуманитарной деятельности, и в жизни, есть и недоказуемые, и неопровержимые утверждения, и неразрешимые проблемы. В современной математике истина неединственна, и это ничуть не противоречит репутации математики как наиболее безупречного метода достижения достоверного знания о мире.

Каждая глава доводится до пары (по крайней мере) содержательных прикладных (предметных) задач, все требуемые технические приемы изложены. Примеры и теоретический материал отобраны так, чтобы читатель при желании имел возможность достигнуть некоторой вершины или подняться на вершину более значительную. По стилю учебник — не набор скучных «математических гамм», а приглашение к размышлению и исследованию.

Учебник может служить основой для курсов математики разных гуманитарных специальностей. Создание курса математики для конкретной специальности равносильно направленной селекции в соответствии с особенностями данной специальности и нахождению точки баланса между объемом декларируемых утверждений и глубиной их обоснования — техникой, в данном случае математической. Это отдельная и тонкая задача.

Опыт преподавания последних четырех лет по предлагаемому учебнику (и в соответствии с указанными принципами) относится к студен442 ЖОЛКОВ С. Ю.

там юридических и экономических специальностей.

МЕЖПРЕДМЕТНЫЕ СВЯЗИ КОНКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКИ НА ПОДГОТОВИТЕЛЬНОМ ОТДЕЛЕНИИ МГУ ЗАЙЦЕВА М. М. КОКОРЕВА А. В. ЛУЖИНА Л. М.

Pages:     | 1 |   ...   | 55 | 56 || 58 | 59 |   ...   | 93 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.