WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 47 | 48 || 50 | 51 |   ...   | 93 |

Методические средства ориентируют студента на самостоятельное совершенствование этих миров и создание новых — численные методы, таким образом, изучаются не как отвлеченная дисциплина, а в непосредственной связи с будущей областью деятельности специалиста. Особенностью программ является визуальный (графический) стиль представления данных и организация интерфейса с пользователем. Этот стиль опирается на «картинно ориентированность» мозга человека, особенности его мышления и восприятия.

Преимущества графического стиля зависят от хорошо известной способности человеческого мозга к быстрому и точному анализу даже неполной фрагментарной графической информации. Картинка (график) отражает реальный мир, тогда как текст указывает на объекты реального мира. Хорошо выполняемые картинки (графики) реализуют богатые метафоры, а использование одного текста заставляет 376 ВЕРЕТЕННИКОВ В. Н.

нас опираться на свои внутренние образы. Компьютерные изображения включают в себя ввод и обработку (изображение-изображение), анализ (изображение-структура) и синтез (структура-изображение).

Представление изображения, как объектной структуры, позволяет организовать взаимодействие человека с компьютером на естественном языке указания и действия с использованием устройств графического диалога.

В настоящее время реализована одномерная графика представления функций в декартовой системе координат. В программах учитывается одновременное изображение нескольких функций, графические атрибуты: цвет, тип линии, штриховка и др., аннотирующие элементы графика: изображение и оцифровка осей, масштабные линейки.

Цели и задачи пакета — овладение практическими навыками численного решения задач; закрепление теоретических знаний в области численных методов; проведение вычислительных экспериментов; использование графических средств визуализации.

Современная технология программного обеспечения позволяет значительно повысить сложность математических моделей, приблизить их к реальности, что дает студентам-исследователям новую информацию и способствует более глубокому пониманию сути явлений.

Рисунки и графики позволяют наглядно показать результативность таких моделей, существенно связанных с выбором того или иного алгоритма, познакомить студентов с принципами, на основе которых осуществляется наиболее рациональная стратегия численного решения задач. Этому невозможно научиться прочитав учебник или несколько специальных книг по вычислительной математике. Только прямое общение студента с конкретными задачами может дать общее представление и выработать необходимую интуицию для нахождения действенных путей решения задач вычислительной математики.

Графическое моделирование реальных вычислительных ситуаций позволяет провести детальное исследование процесса в рамках принятой модели: выявить основные закономерности, оценить влияние различных факторов, наглядно (а не в виде таблиц чисел) сравнить различные виды аппроксимации производных, входящих в дифференциальные уравнения и граничные условия. Использование графического компьютерного эксперимента дает возможность повысить точность расчетов, добиться совпадения смоделированного процесса и экспериментальных данных. Студент имеет реальную возможность наглядно (а не абстрактно) убедиться в таких понятиях, как аппроксимация, устойчивость, сходимость.

Графические изображения на экране дисплея полезны при объяснении материала в учебной фудитории, при проверке знаний и самоподгоИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ В ПРЕПОДАВАНИИ МАТЕМАТИКИ товке. Сформулируем основные причины, обосновывающие использование компьютерной графики при проведении практикума по численным методам:

– дает возможность наглядно иллюстрировать основные теоретические концепции;

– предоставляет студенту возможность проверить на практике свои вычислительные представления, освобождает от рутинных вычислений;

– позволяет работать с большими объемами данных;

– может использоваться как обучающая машина.

В заключение приведем типовой расчет по теме «Численное решение смешанной задачи для уравнения параболического типа».

Цели и задачи. Овладение практическими навыками численного решения краевых задач для уравнений параболического типа методом сеток. Закрепление теоретических знаний. Проведение вычислительных экспериментов с двухслойными схемами. Использование средств графической визуализации.

Постановка задачи. Решить уравнение теплопроводности u 2u = + f(x, t), 0 x 1, 0 t T t xудовлетворяющее условиям u(x, 0) = (x), 0 x 1, u(0, t) = 1(t); u(1, t) = 2(t), 0 t T, с использованием двухслойной разностной схемы в узлах сетки с шагом h = 1/n по координате x и по времени t:

uk+1 - uk uk-1 - 2uk + uk uk+1 - 2uk+1 + uk+j j j j j+1 j-1 j j+k = s + (1 - s) + fj h2 hгде s — произвольный вещественный параметр 0 s 1, k uk = u(jh, k), fj = f(jh, k), 0 j n - 1, 0 k n - 1.

j План работы. 1) Изучение численных методов решения смешанной задачи для параболических уравнений. 2) Анализ аппроксимационных свойств и устойчивости схемы в зависимости от значений величин h,, s. 3) Проведение вычислительных экспериментов при заданных значениях величин h,, s. 4) Вывод графической информации по решению задачи на заданных линиях. 5) Анализ полученных результатов.

Форма отчетности. Студент обязан подготовить и защитить отчет, обратив внимание на соответствие или несоответствие результатов аналитических исследований и численных результатов (аппроксимации для известного решения и устойчивости).

УПОРЯДОЧЕННЫЕ СТРУКТУРЫ В КУРСЕ МАТЕМАТИКИ ВЕЧТОМОВ ЕВГЕНИЙ МИХАЙЛОВИЧ Вятский государственный педагогический университет кафедра алгебры Порядковая структура — один из основных типов математических структур, наряду с алгебраической и топологической структурами, имеющий общенаучное и прикладное значение. Сравнение объектов по величине, являющееся очень важным инструментом и методом практики и теории, формализуется в понятиях отношения порядка и упорядоченного множества. Эти понятия (вместе с числами) отражают в математике фундаментальную категорию количества. Отношение порядка определяется тремя простыми условиями: рефлексивности (сравнимость с самим собой), транзитивности (транзитом через общий элемент) и антисимметричности (двойное неравенство есть равенство). В математической науке существует порядковый подход, при котором акцентируется внимание на порядковой структуре исследуемого объекта, и свойства объекта выражаются в терминах отношения порядка. Отметим и теоретико-решеточный способ мышления, когда математический объект изучается с помощью решетки его подобъектов. Во многих конкретных упорядоченных структурах (натуральный ряд, числовая прямая) присутствуют также алгебраические операции (возможно, и топология), согласованные с порядком. Так возникают упорядоченные системы.

Соответственно в вузовском курсе математики упорядоченные структуры должны занимать подобающее место. Однако этого не происходит (или не достаточно). В новом государственном образовательном стандарте по специальности «032100 Математика» предусмотрено изучение тем «Отношение порядка» (Введение в математику) и «Упорядоченные множества и системы» (Числовые системы) — на уровне определений упорядоченного множества и линейно упорядоченных кольца и поля и их простейших свойств. Изучение решеток и булевых алгебр не предполагается, несмотря на то, что они широко применяются как в самой математике, так и в приложениях. В Вятском госпедуниверситете в курсе алгебры мы рассматриваем начала теории булевых алгебр, в частности доказываем теорему Стоуна о строении конечных булевых алгебр.

УПОРЯДОЧЕННЫЕ СТРУКТУРЫ В КУРСЕ МАТЕМАТИКИ Что следует, на наш взгляд, знать студенту-математику об упорядоченных структурах Во-первых, исходные порядковые понятия: виды элементов упорядоченных множеств, точные грани, линейно упорядоченное множество (цепь) и сечение, вполне упорядоченное множество, решетка, дистрибутивность, изотонное отображение и гомоморфизм, дополнение, атом, булева алгебра (решетка), упорядоченные группа, кольцо и поле.

Во-вторых, модельные примеры: цепь действительных чисел с обычным порядком; булеан — булева решетка B(M) всех подмножеств данного множества M относительно включения; решетка N натуральных чисел с отношением делимости. Эти примеры хорошо иллюстрируют обобщающий характер порядкового подхода. Так, точными верхней и нижней гранями нескольких элементов в них служат соответственно:

максимум и минимум, объединение и пересечение, НОК и НОД. Полезно показать представление конечных упорядоченных множеств в B(M) и N и их изображение диаграммами Хассе, что особенно важно в дискретной математике, в компьютерной алгебре.

В-третьих, некий минимум фактов: простейшие свойства различных упорядоченных структур, принцип двойственности, эквивалентность порядкового и алгебраического определений решетки, отмеченная теорема Стоуна, теорема Тарского о неподвижной точке, лемма Кенига, формулировки леммы Цорна и теорем Цермело и Гельдера, абстрактная характеризация булеанов как полных атомных булевых алгебр, структурные свойства основных числовых систем.

При обучении студентов математике желательно систематически использовать порядковый язык, применять сведения об упорядоченных структурах. За счет наглядности порядковых понятий и интерпретаций это способствует усвоению абстрактного материала. Полезно иметь в виду, что алгебры высказываний, множеств и событий являются булевыми алгебрами, а множество всех действительнозначных функций, заданных на произвольном множестве, образует дистрибутивную решетку с поточечно определенным отношением порядка. Наряду с покоординатной упорядоченностью числовые последовательности (конечные или бесконечные) можно и линейно упорядочить — лексикографически.

Подчеркнем, что модельные примеры развивают математическую интуицию. Интуиция базируется на знании и образном мышлении и возбуждается наглядным созерцанием. Модельные примеры осязаемы, отражают суть данного понятия и иллюстрируют его основные свойства. Скажем, при изучении булевых алгебр или булевых колец их элементы и операции можно представлять себе как подмножества некоторого множества с соответствующими операциями над ними. Подобные представления служат хорошей мотивировкой при изучении 380 ВЕЧТОМОВ Е.В.

известных вещей и надежным путеводителем в научных исследованиях.

Упорядоченные структуры дают богатый материал для спецкурсов и дипломных работ. Назовем некоторые темы: упорядоченные множества и решетки малых порядков; упорядоченные множества с условием минимальности и нетерова индукция: аксиома выбора и эквивалентные формулировки: строение цепей; описание множества неподвижных точек изотонных отображений полной решетки; представления дистрибутивных решеток; дистрибутивные решетки как полукольца; характеризации булевых решеток; двойственность Стоуна для булевых алгебр;

булевы кольца: теорема Диксона о минимальных n-ках натуральных чисел и ее обобщения: гауссовы полугруппы с нулем как полные атомные дистрибутивные решетки с отношением «делит», порядковый подход к проективной геометрии, и т.д.

Отметим принципиальный результат об изоморфности категорий конечных упорядоченных множеств с изотонными отображениями в качестве морфизмов, конечных дистрибутивных решеток и их гомоморфизмов, сохраняющих наибольший и наименьший элементы, и конечных T0-пространств и непрерывных отображений. Тем самым устанавливается тесная связь (по крайней мере, в конечной математике) трех основных типов математических структур (по Бурбаки) — порядкового, алгебраического и топологического, что свидетельствует о единстве современной математики.

Следующий важный момент. Всякий взаимно однозначный гомоморфизм любой алгебраической структуры (алгебры) на однотипную структуру является изоморфизмом, т.е. обратное отображение тоже сохраняет операции. Для изотонных отображений упорядоченных множеств (как и для непрерывных отображений топологических пространств) это, вообще говоря, неверно. Однако изотонные биекции цепей или конечных упорядоченных множеств — порядковые изоморфизмы. Изотонное отображение решеток не обязано быть их гомоморфизмом. С другой стороны, все непустые подмножества упорядоченных множеств сами являются упорядоченными множествами относительно индуцированного порядка, что неверно для алгебраических структур.

Студенты должны уметь строить соответствующие контрпримеры.

Индуктивные рассуждения в математике основаны на порядковой структуре. Доказательства, определения и построения по трансфинитной индукции широко используются в теории множеств, абстрактной алгебре, общей топологии, функциональном анализе. Применяется также результат о линейной доупорядочиваемости любого отношения порядка на множестве. Вызывает интерес тот факт, что принцип линейной доупорядочиваемости слабее аксиомы выбора.

УПОРЯДОЧЕННЫЕ СТРУКТУРЫ В КУРСЕ МАТЕМАТИКИ Начала комбинаторики связаны с перебором, имеющим порядковый характер (дерево перебора). Линейное программирование — это анализ систем линейных неравенств.

Нельзя не сказать об элементарной математике. Тема неравенств — одна из важнейших в элементарной алгебре. Классические неравенства (Коши, Буняковского, Минковского, Гельдера, Йенсена) связывают различные арифметические и алгебраические выражения. Некоторые из этих неравенства можно обобщить, учитывая сохранение неравенств при предельном переходе. Многие геометрические соотношения, изучаемые в школе, выражаются неравенствами. В основе лежит естественное отношение порядка на множестве действительных чисел.

Мы очень кратко рассмотрели некоторые методологические, математические, прикладные и методические аспекты теории упорядоченных структур. Они показывают роль порядковой структуры в математике, необходимость серьезного изучения важнейших упорядоченных структур (упорядоченные множества, упорядоченные системы, решетки, булевы алгебры) в курсе математики педвузов и университетов.

Упорядоченные структуры и порядковые методы — неотъемлемая составная часть высшего математического образования нашего времени.

О ВОЗМОЖНЫХ НАПРАВЛЕНИЯХ КУРСА МАТЕМАТИКИ ДЛЯ БУДУЩИХ ПЕДАГОГОВ ГУМАНИТАРНЫХ СПЕЦИАЛЬНОСТЕЙ ГАВАЗА ТАТЬЯНА АНАТОЛЬЕВНА Псковский государственный педагогический институт В последнее время в связи с проводимой реформой в сфере образования, введением новых государственных стандартов все чаще говорят об инновациях или инновационных технологиях. Одним из новшеств в профессионально-педагогическом образовании мы считаем введение курса математики на гуманитарных факультетах педагогических вузов. Это связано не только с фактом введения курса, что несомненно является новшеством, но и с «новым взглядом» на цели, содержание и методы обучения, то есть на методику преподавания данного предмета.

Pages:     | 1 |   ...   | 47 | 48 || 50 | 51 |   ...   | 93 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.