WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 13 | 14 || 16 | 17 |   ...   | 93 |

1. Основные понятия уравнений с параметрами. Уравнение с двумя переменными, множество его решений. Параметрический способ решения уравнения с двумя переменными. Уравнение с параметрами a и b и переменой x. Область допустимых значений параметра уравнения с параметром a и переменной x. Область определения уравнения с параметром a и переменной x. Понятие общего решения уравнения с одним и двумя параметрами. Область общего решения и ее моделирование в уравнениях с одним и двумя параметрами. Типы особых частных уравнений. Типы неособых частных уравнений. Классификация неособых частных уравнений на модели общих решений. Области однотипности. Характеристики всех типов частных уравнений в уравнениях с одним и двумя параметрами. Понятие решения уравнения с параметрами. Контрольные значения параметра в уравнении с параметром a и переменной x, линии контрольных значений параметров в уравнении с двумя параметрами. Характеристическое свойство контрольных 112 ГОРБАЧЕВ В. И.

значений параметров в уравнениях. Общий метод решения уравнения с параметром a и переменной x. Логическая структура общего метода решения.

2. Основные понятия неравенств с параметрами. Неравенство с двумя переменными, множество его решений. Параметрический способ решения неравенства с двумя переменными. Неравенство с параметрами a и b и переменой x. Область допустимых значений параметров, область определения неравенства с параметрами. Понятие общего решения неравенства с параметром a и переменной x. Связь общего решения неравенства и соответствующего ему уравнения с параметром a и переменной x. Общие решения в неравенствах с двумя параметрами. Типы особых частных неравенств. Типы неособых частных неравенств. Области однотипности в неравенствах с параметрами. Характеристики всех типов частных неравенств в неравенствах параметрами. Понятие решения неравенства с параметрами. Контрольные значения параметра в неравенстве с параметром a и переменной x, линии контрольных значений параметров в неравенстве с двумя параметрами. Характеристическое свойство контрольных значений параметра в неравенстве. Связь контрольных значений параметра в неравенстве. Понятия нулей и точек разрыва функции в неравенствах с параметрами. Размещения нулей и точек разрыва, перестановки нулей и точек разрыва. Геометрический смысл размещений и перестановок нулей и точек разрыва. Метод интервалов в решении неравенства с параметром a и переменной x. Табличная форма метода интервалов. Общий метод решения неравенства с параметром a и переменной x. Логическая структура общего метода решения неравенств с двумя параметрами.

3. Методы решения уравнений и неравенств с параметрами не выше n-й степени. Уравнение не выше первой степени с параметром a и переменной x. Типы частных уравнений в уравнении с параметром не выше первой степени. Общий метод решения уравнений не выше первой степени, его логическая структура. Неравенство не выше первой степени с параметром a и переменной x. Типы частных неравенств в неравенстве с параметром не выше первой степени. Общий метод решения неравенств не выше первой степени, его логическая структура.

Уравнение не выше второй степени с параметром a и переменной x.

Типы частных уравнений в уравнении с параметром не выше второй степени. Общий метод решения уравнений не выше второй степени, его логическая структура. Исследование взаимного расположения действительного числа и общих решений уравнения не выше второй степени с параметром. Неравенство не выше второй степени с параметром a и переменной x. Типы частных неравенств в неравенствах с параметрами не выше второй степени. Общий метод решения неравенств не ФАКУЛЬТАТИВНЫЙ КУРС УГЛУБЛЕННОГО ИЗУЧЕНИЯ... выше второй степени, его логическая структура. Исследование общих решений неравенства с параметром не выше второй степени. Уравнение не выше n-й степени (n = 3, 4). Способы разложения многочлена не выше n-й степени в произведение сомножителей не выше первой, второй степеней. Модель общих решений уравнения не выше n-й степени и классификация неособых частных уравнений. Неравенство не выше n-й степени (n = 3, 4), метод интервалов. Общий метод решения уравнений не выше n-й степени, его логическая структура.

4. Методы решения рациональных, иррациональных уравнений и неравенств с параметрами. Рациональное уравнение с параметром a и переменной x, его стандартный вид. Область определения рационального уравнения. Общие решения рационального уравнения с параметром и области общих решений. Общий метод решения рациональных уравнений, его логическая структура. Рациональное неравенство с параметром a и переменной x, его связь с уравнением. Нули и точки разрыва рациональной функции. Метод интервалов в рациональных неравенствах. Общий метод решения рациональных неравенств, его логическая структура. Иррациональное уравнение с параметром a и переменой x, его стандартный вид. Область определения иррационального неравенства, ее связь с областями общих решений. Общий метод решения иррациональных уравнений стандартного вида, его логическая структура. Иррациональное неравенство с параметром a и переменной x, его стандартный вид. Метод интервалов в решении иррациональных неравенств. Общий метод решения иррациональных неравенств с параметром стандартного вида, его логическая структура.

5. Методы решения показательных и логарифмических уравнений и неравенств с параметрами. Показательное уравнение с параметром a и переменной x, его стандартный вид. Элементарные показательные уравнения. Область допустимых значений параметра показательного уравнения. Общий метод решения показательных уравнений стандартного вида, его логическая структура. Показательное неравенство с параметром a и переменной x, его стандартный вид. Элементарные показательные неравенства. Область допустимых значений параметра и области монотонности показательного неравенства с параметром. Общий метод решения показательных неравенств стандартного вида, его логическая структура. Логарифмическое уравнение с параметром a и переменной x.

Совокупность стандартных логарифмических уравнений с параметром.

Область допустимых значений параметра и область определения логарифмического уравнения с параметром. Общие методы решения логарифмических уравнений стандартных видов, их логические структуры.

Логарифмическое неравенство с параметром a и переменной x. Область допустимых значений параметра, области монотонности в логарифми114 ГОРБАЧЕВ В. И.

ческом неравенстве с параметром. Область определения логарифмического неравенства. Совокупность стандартных видов логарифмических неравенств с параметрами. Общие методы решения логарифмических неравенств стандартных видов, их логические структуры.

6. Методы решения уравнений и неравенств с параметрами и переменной под знаком модуля. Уравнения с параметром, содержащие переменную под знаком модуля. Стандартный вид уравнения с параметром и переменной под знаком модуля. Области знакопостоянства подмодульных функций уравнения. Метод интервалов как механизм выделения областей знакопостоянства. Промежуточное уравнение, общее решение промежуточного уравнения. Области общих решений на области знакопостоянства. Общий метод решения уравнений с параметром и переменной под знаком модуля, логическая структура метода.

Неравенство с параметром, содержащее переменную под знаком модуля, его стандартный вид. Области знакопостоянства подмодульных функций. Промежуточные неравенства на областях знакопостоянства и их общие решения.

ИЗ ОПЫТА ПРЕПОДАВАНИЯ ГЕОМЕТРИИ В МАТЕМАТИЧЕСКИХ КЛАССАХ ШКОЛЫ 57 Г. МОСКВЫ ГОРДИН РАФАИЛ КАЛМАНОВИЧ АЛЬТШУЛЕР ЛЕВ ДАВЫДОВИЧ Школа №57, г. Москва 1. О математических классах школы 57. Математические классы в школе 57 существуют более 30 лет. В последние 10 лет школа набирает два класса в год: восьмой (на четыре года) и 9 (на три года).

Распределение часов: математический анализ — 4 часа, алгебра — 2 часа, геометрия — 2 часа в 8-м и 3 часа в 9–11 классах. Математический анализ (спецматематика) ведёт группа преподавателей (команда). Чаще всего, это студенты, аспиранты, научные сотрудники — бывшие ученики 57 школы или аналогичных школ Москвы. Алгебру и геометрию ведут штатные учителя школы — Л. Д. Альтшулер, Р. К. Гордин, Б. М. Давидович (алгебра). Эти уроки проходят в традиционной школьной форме.

2. О роли школьной геометрии. За многие годы совместной работы у нас сложилась общая точка зрения на преподавание геометрии в математических классах. Прежде всего, мы исходим из того, что синтетическая геометрия — важнейший элемент математического образования школьников. Фактически, кроме школы, этот раздел больше нигде изучаться не будет. Традиционные задачи школьной геометрии — задачи на вычисление, на построение, на доказательство, на максимум и минимум (геометрические неравенства) — развивают математическое мышление школьников ещё и потому, что они интересны и увлекательны для детей такого возраста. Задачи на построение, которые, к сожалению, постепенно исчезают из школьного курса геометрии, по замечанию Н. Я. Виленкина формируют у школьников понятие алгоритма, что очень важно для будущих программистов.

3. О подборе задач. Особое значение мы придаём подбору задач. Богатая традиция преподавания школьной геометрии (особенно во Франции и в России) позволяет использовать для обучения геометрии красивые, яркие задачи. Это — и хорошо известные задачи прошлых веков, и задачи, появившиеся в самое последнее время, например, на математических олимпиадах разных уровней, задачи из журналов «Квант», «Математика в школе» и т. п. Очень полезны прекрасные задачники, 116 ГОРДИН Р. К., АЛЬТШУЛЕР Л. Д.

которые издавались и издаются в России. Это старые известные задачники: Е. Пржевальского, И. И. Александрова, Ю. Петерсена, М. Рыбкина и т. п., а также задачники, изданные в недавнее время: задачники И. Ф. Шарыгина, В. В. Прасолова. Кроме того, много красивых задач появляется на конкурсных экзаменах в различных вузах страны, особенно в МГУ и МФТИ.

4. Структура заданий по изучаемым темам. По каждой теме школьник получает набор задач (от 30 до 60). Задачи расположены по возрастанию сложности. Тема считается пройденной, если все задачи (за исключением, может быть, нескольких дополнительных) решены. Решения большинства задач разбираются в классе. Этому посвящена большая часть урока. В начале такого набора (листка) формулируются определения и основные теоремы данной темы. Ключевые задачи выделяются каким-нибудь значком. Мы стараемся перемежать задачи на вычисление, на доказательство, на построение и т. д.

5. Об аксиоматическом подходе. Мы считаем, что подробное обсуждение системы аксиом планиметрии должно завершать курс геометрии 9 класса. Практически в самом начале курса объявляются известными признаки равенства треугольников и неравенство треугольника. Это делается для того, чтобы как можно быстрее перейти к содержательным геометрическим задачам, не увязнув в попытках строго вывести из конкретной системы аксиом каждое новое утверждение.

6. О геометрических преобразованиях. К сожалению, за отведенное программой время нам, как правило, не удаётся изучить геометрические преобразования, особенно в классах, набранных с девятого. Мы оставляем этот материал на 10-й, а иногда и на 11-й класс.

7. Зачеты и экзамены. После каждой темы проводится контрольная работа (чаще всего — двухчасовая). В конце четверти или полугодия проводится зачет. На первых нескольких зачетов даются только уже известные решенные в течение учебного времени задачи. На экзаменах предлагаются новые для школьников задачи.

8. Дополнительный материал. Дополнительный материал состоит не только из дополнительных задач, которые есть в конце каждого листка.

Некоторые темы изучается на уроках математического анализа или на кружках во внеучебное время. Чаще всего — это материал, связанный с геометрическими преобразованиями: теорема Шаля, элементы проективной геометрии, классические задачи, неразрешимость некоторых известных задач на построение с помощью циркуля и линейки и т. п.

ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА В ЗАДАЧАХ ДЛЯ ШКОЛЬНИКОВ И СТУДЕНТОВ ГРОМАКОВСКАЯ ЛАРИСА АЛЕКСАНДРОВНА Карельский государственный педагогический университет кафедра математического анализа и алгебры, г. Петрозаводск Мы подготовили и опробовали на занятиях со старшеклассниками и студентами наборы задач, которые относим к линии экспериментальной математики в обучении. Задачи предполагают проведение небольших исследований, в которых можно использовать компьютер. Наличие эксперимента не заменяет доказательства там, где оно должно быть, а способствует, на наш взгляд, прояснению ситуации и выдвижению гипотезы, а также стимулирует поиск доказательства. В частности, среди прочих мы предлагали задачи на классификацию, где нужно обосновывать ее полноту или отнесение исследуемого объекта к соответствующему классу.

Мы не ограничиваем своих учеников в выборе языка программирования или системы компьютерной математики для выполнения исследования. Но со своей стороны показываем богатые возможности среды программирования КуМир (http://www.infomir.ru). Она обладает подходящими встроенными исполнителями, достаточными графическими возможностями и, в частности, поддерживает работу с комплексными числами. Кроме того, она позволяет преподавателю готовить свои исполнители под предлагаемые им задачи, что на порядок повышает методическую эффективность занятий.

Опишем наши основные циклы задач. Цикл «Последовательности и итерации» посвящен исследованиям поведения последовательностей, заданных рекуррентно. Это поиск закономерностей, анализ устойчивости и возникновения хаотического поведения, наглядная работа с последовательностями комплексных чисел, в том числе с геометрической прогрессией с комплексным знаменателем, исследования фракталов.

Цикл «Прямые и кривые» посвящен задачам из одноименной книги Н. Б. Васильева и В. Л. Гутенмахера. Это прежде всего исследования параметрически заданных кривых и огибающих семейств прямых или окружностей.

118 ГРОМАКОВСКАЯ Л. А.

Цикл «Фазовые портреты» посвящен исследованиям разнообразных моделей, описываемых обыкновенными дифференциальными уравнениями, изучению их свойств, в том числе в зависимости от меняющегося параметра. Мы опираемся здесь на популяризацию этого раздела математики, сделанную В. И. Арнольдом.

ИЗ ИСТОРИИ РЕФОРМ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ В РОССИИ В НАЧАЛЕ XX СТОЛЕТИЯ ГУШЕЛЬ РЕВЕККА ЗАЛМАНОВНА Ярославский государственный педагогический университет К концу XIX столетия многие европейские педагоги пришли к выводу о необходимости замены классической системы образования на другую модель, в большей степени учитывающую запросы общества. И в начале XX века прошли серьезные реформы средней школы во Франции, Германии и ряде других стран.

Pages:     | 1 |   ...   | 13 | 14 || 16 | 17 |   ...   | 93 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.