WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 12 | 13 || 15 | 16 |   ...   | 93 |

В 1999–2000 годах нами в рамках централизованного тестирования, проводимого Центром тестирования выпускников общеобразовательных учреждений РФ, разработаны гетерогенные тесты для итоговой аттестации выпускников 9 классов по алгебре и (отдельно) по геометрии, в которых включены задания двух форм: закрытой и открытой, причем открытые задания были двух видов: требующие только ответа, выраженного целым числом, и задания, при выполнении которых ученик должен написать текст решения задачи или доказательства теоремы. В ходе статистической обработки результатов тестирования правильный ответ к каждому закрытому заданию оценивался в 1 балл, каждый верный ответ — число к открытому заданию — в 1 балл, а текст решения или доказательства в 1–2 балла. Соответственно пришлось разрабатывать и критерии оценки результата выполнения всего теста. Проверка текстов решений выполнялась группами экспертов в соответствии со специально разработанными инструкциями, после чего бланки ответов сканировались и результаты тестирования подвергались компьютерной обработке.

При разработке заданий тщательно учитывались требования проекта школьного стандарта к минимальному уровню обученности по математике. Однако тестирование показало, что не смогли решить половины заданий по геометрии 25% из 20 000 девятиклассников, а по алгебре — 20% из 25 000 тестируемых. То есть около четверти выпускников 9-х классов не имеют даже обязательного минимума математических знаний.

ТЕСТОВЫЙ КОНТРОЛЬ РЕЗУЛЬТАТОВ ОБУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКЕ... Таким образом, нами разработаны тесты, процедуры тестирования и критерии оценки уровня обученности выпускников 9-х классов средней школы, которые могут быть использованы для организации массового тестирования школьников.

АПОЛОГИЯ ЗАДАЧНИКА ГОЛОВАНОВ АЛЕКСАНДР СЕРГЕЕВИЧ ФМШ №239, г. Санкт-Петербург Среди людей, причастных (и еще более среди непричастных) к обучению школьников, ориентированных на профессиональные занятия математикой, распространено представление о двух видах обучения таких школьников. Первый — обучение «настоящей математике» в форме, по преимуществу, лекций о различных разделах математики; второй — решение задач, осведомленными людьми определяемое как «натаскивание олимпиадников».

Мы постараемся показать, что это представление ошибочно.

Проще всего сказать, что оно не выдерживает сопоставления с любым списком математически успешных старшеклассников или младшекурсников, о которых известно, как их учили. Однако возможность объявления любой деятельности таких школьников «олимпиадной» делает необходимой и теоретическую аргументацию.

Мы рассмотрим систему обучения школьника, в основе которой лежит систематическое самостоятельное решение задач с последующим логическим контролем со стороны преподавателя. Разумеется, и в такой системе присутствует лекционная часть, удельный вес которой растет вместе со школьником; но первичность «задачника» определяет характерные особенности такой системы и характерные нападки на нее.

Первое и главное свойство такой системы — это исключительно активный путь обучения. Целые разделы математики вместе с их основными теоремами, например, элементарная проективная геометрия, могут быть получены школьником в виде последовательности задач для самостоятельного решения.

Независимо от способа изучения теории критерием ее усвоения в такой системе оказывается не сдача экзамена или зачета, а способность применения этой теории к решению задач. Это — «локальное» преимущество.

«Глобальные» преимущества относятся ко всему математическому образованию школьника в целом. Если посмотреть на это образование с очень большого расстояния, оно окажется историей последовательного АПОЛОГИЯ ЗАДАЧНИКА усвоения идей со все более высоким уровнем абстракции. Трудность современного математического образования — в нехватке времени на последовательное введение этих идей (последовательность которых, увы, не поддается произвольному изменению) и в необходимости их мотивировки.

К счастью, для весьма обширного круга математических идей и понятий существуют задачи, естественно подводящие к этим понятиям даже совсем неопытного ученика. Последовательная выдача таких задач в течение длительного времени позволяет к моменту появления формального определения рассчитывать на слушателя, психологически уже подготовленного к этому определению. Да и само определение гораздо легче «продать» слушателю в комплекте с задачей, в которой это определение дает существенную экономию мышления.

Кроме того, в лекционном курсе трудно одновременно с определением какого-то понятия указывать на его взаимосвязи с другими разделами математики. В задачах же — и учебных, и настоящих исследовательских — такая взаимосвязь практически неизбежна.

Разумеется, обучение посредством решения задач — «ресурсоемкий» путь. Для полной реализации его возможностей необходимо выслушивать все появляющиеся решения. Но благодаря таким затратам усилий учащиеся приобретают навыки правильного рассуждения и изложения, не формирующиеся ни при каком пассивном способе обучения. Это «исправление стиля» относится как к общим логическим дефектам вроде смешения необходимого и достаточного условий, так и к более специальным идеям: ничто так не убеждает в оправданности общего определения целого алгебраического числа, как самостоятельное повторение известной ошибки Эйлера при решении конкретной задачи.

(Кстати, это означает, что предлагаемый универсальный экзамен типа multiple-choice test будет в действительности шагом не к правильному мышлению, а от него — с историко-математической точки зрения возвращением из Греции в Египет.) Вообще, самостоятельность — редкий дар математического образования. Не только популярная литература, но и лекционные курсы способствуют восприятию информации на уровне «такой-то математик получил такой-то результат». Представляется, что ощущение способности самому получить такой результат, формирующееся при «задачной» системе обучения, куда полезнее.

Наконец, обучение путем решения задач способствует естественному отбору сюжетов. Всем нам известно из собственного печального опыта, что сколь угодно бессмысленный вопрос может быть предметом правильно построенного лекционного курса; подобрать разумные задачи в этом случае гораздо сложнее. Таким образом, задачник оказывает106 ГОЛОВАНОВ А. С.

ся пробным камнем необходимости того или иного раздела в обучении математике. Возможно, в ситуации, когда обсуждение математического образования в стране оказывается обсуждением его продолжительности, а не содержания, это достоинство рассматриваемой системы — самое важное.

O ПОЛЬЗЕ ИСКУССТВА СОСТАВЛЯТЬ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА НА ЗАДАННУЮ «ТЕМУ» ГОМОНОВ СЕРГЕЙ АНАТОЛЬЕВИЧ Смоленский государственный педагогический университет кафедра алгебры и геометрии 1. Научные изыскания с применением уравнений и неравенств очень часто укладываются в следующую трёхзвенную схему:

Очевидно, что математика «работает» прежде всего на третьем этапе, когда главное — это уметь решать уравнения и неравенства, их системы и совокупности. Для всего этого нужны соответствующие навыки, для выработки которых в школьном курсе математики присутствуют многочисленные тренировочные, «этюдные» упражнения и задачи соответствующего содержания. Однако в школьном курсе математики можно обнаружить и задачи, так сказать, «обратного хода», когда для наперёд заданного множества (образно говоря, на заданную «тему») надо придумать уравнение или неравенство (их систему или совокупность), для которого это множество как раз и является совокупностью всех решений (или, по крайней мере, объемлется ею). Правда иногда бывает достаточно доказать лишь существование соответствующего уравнения или неравенства, тем более, что к виду последних часто предъявляют дополнительные требования. Вот типичные школьные задачи «обратного хода».

Задача 1. Определите, являются ли две данные фигуры X и Y гомотетичными (подобными и т.п.).

Решить данную задачу — значит, выяснить, существует ли уравнение вида f(X) = Y где f — отображение из класса гомотетий (подобий и т.п.), для которого пара (X, Y ) — решение.

Задача 2. Исследовать функцию f(x) на периодичность.

Решить эту задачу — значит, доказать или опровергнуть существование функционального уравнения в классе уравнений периодичности, то есть вида F (x + T ) = F (x) ( — ненулевой параметр), чьим решением является данная функция f(x).

И, наконец, самая типичная задача школьного курса математики.

108 ГОМОНОВ С. А.

Задача 3. Найдите аналитическое задание множества точек плоскости (прямой, пространства) в виде уравнения или неравенства (системы, совокупности уравнений или неравенств), чьим множеством решений является совокупность.

2. Остановимся на третьей задаче. Общего алгоритма для её решения нет — слишком прихотливо может быть устроено множество, а вот некоторые общие соображения, делающие поиск решения более целенаправленным, имеются. Причём без знания этих весьма элементарных приёмов например решить следующую простую задачу весьма непросто.

Задача 4. Найдите уравнение, чьим множеством решений является совокупность, если: а) = N;

б) M = {(x, y, z) | 0 x 1, 0 y 1, 0 z 1}.

Опыт чтения спецкурсов учащимся и студентам показывает, что в обучении азам искусства «ваяния» уравнений и неравенств «по заказу» можно выделить следующие три этапа:

1) Создание «банка-хранилища» «строительного материала» — перечисление наиболее важных уравнений и неравенств и в пару каждому из них — множестве его решений. Например:

a + b |a - b| |x - a| + |x - b| = |a - b| a x b x - [a; b], a b 2 2) Перечисление и «табулирование» приёмов, позволяющих, имея уравнение f1 = 0 со множеством решений M1 и областью определения D1 и уравнение f2 = 0 со множеством решений M2 и областью определения D2, получать новые уравнения с легко выражающимися через M1, M2, D1, D2 множествами решений:

Множество решений Уравнение, система, если совокупность в общем случае M1, M2 D1 Df1 = 0, 1. f1 · f2 = 0 (M1 M2) D1 D2 M1 Mf2 = 2 2. f1 + f2 = M1 M2 M1 Mf1 = 0, |f1| + |f2| = f2 = 3. f1/f2 (M1 \ M2) D (M1 \ M2) O ПОЛЬЗЕ ИСКУССТВА СОСТАВЛЯТЬ УРАВНЕНИЯ... Вот теперь легко доказать, что любое неравенство, система или совокупность уравнений или неравенств равносильна некоторому уравнению.

3) Перечисление основных способов получения из данного уравнения f(x) = 0, D(f) R со множеством решений новых подстановки путём вместо таких выражений, как x + ; x; = 0; ; x; sin x; {x} и т.п., x с указанием множеств их решений: { x - | x M }; { x/ | x M } и т.д.

3. Ценность задач типа задачи 3 безусловна: процесс их решения даёт ощущение настоящего творчества, дарит опыт «композитора», развивает логическое мышление. А элементы игры и соревновательности на уроке! Но при этом очень важно избежать опасности «пересолить» однообразием.

ФАКУЛЬТАТИВНЫЙ КУРС УГЛУБЛЕННОГО ИЗУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКИ СРЕДНЕЙ ШКОЛЫ ГОРБАЧЕВ ВАСИЛИЙ ИВАНОВИЧ Брянский государственный педагогический университет В дополнительных разделах математики общеобразовательных учреждений, нацеленных на ее углубленное изучение через систему факультативных курсов, уравнения и неравенства с параметрами включаются в качестве фрагментов повторения соответствующих видов уравнений и неравенств с переменной. Как правило, предлагаемые примеры носят конкурсный характер, способы их решения лишь косвенно связаны с изучаемыми в основном курсе алгебры методами решения уравнений и неравенств с одной переменной.

Знакомство учащихся с решением приведенных примеров, как основная цель их включения, не удовлетворяет учителей математики, выпускников, поскольку в итоговой аттестации учащихся, вступительных экзаменах задачи с параметрами стали обязательным компонентом.

Другая, более существенная значимость уравнений и неравенств с параметрами, связанная с формированием у учащихся теоретического типа мышления, устойчивых исследовательских навыков, не только не реализуется в дополнительных разделах учебных пособий по математике, но и в должной степени многими учителями математики, методистами не осознается. Разрабатываемый автором факультативный курс углубленного изучения уравнений и неравенств с параметрами направлен на реализацию следующих целей:

– сформировать у учащихся теоретический тип мышления установлением ими общих методов решения различных видов уравнений и неравенств с параметрами на основе содержательного абстрагирования, восхождением от абстрактного к конкретному в рамках определенной формальной целостности;

– комплексным использованием в процессе решения свойств изучаемых в школьном курсе классов элементарных функций обеспечить интеграцию в уравнениях и неравенствах с параметрами нескольких содержательно-методический линий (функциональной, уравнений и неравенств и др.);

– целенаправленное развитие исследовательских способностей учащихся осуществить в ходе развертывания алгоритмической линии от ФАКУЛЬТАТИВНЫЙ КУРС УГЛУБЛЕННОГО ИЗУЧЕНИЯ... пошаговых алгоритмов решения уравнений не выше первой, второй степеней, к алгоритмам исследования рациональных, иррациональных уравнений и неравенств с учебными действиями эвристического характера и далее — к алгоритмическим схемам исследования показательных, логарифмических, уравнений и неравенств с переменной под знаком модуля. В теоретическом плане разработка предлагаемого курса основана на системном использовании теории развивающего обучения Д. Б. Эльконина и В. В. Давыдова — метода восхождения от абстрактного к конкретному, выделения системы понятий, характеризующей уравнения и неравенства с параметрами как исходную формальную целостность, построения общих методов решения, конкретизирующихся в методы решения стандартных видов уравнений и неравенств. Учебная деятельность учащихся по исследованию такого обширного класса уравнений и неравенств организуется в рамках III типа учения в классификации П. Я. Гальперина:

– на первом этапе изучения осуществляется формирование у учащихся основных понятий уравнений и неравенств с параметрами, общих методов решения как инвариантов последующего исследования уравнений и неравенств данного вида;

– на основе характеристики класса уравнений, неравенств стандартного вида учащиеся самостоятельно строят полную ориентировочную основу его исследования;

– в процессе исследования уравнений и неравенств с одним и двумя параметрами через развернутые материализованные действия, понятийную внешнюю роль осуществляется переход с свернутым формам мыслительной деятельности. В краткой форме представим программу факультативного курса.

Pages:     | 1 |   ...   | 12 | 13 || 15 | 16 |   ...   | 93 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.