WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 6 | 7 || 9 | 10 |   ...   | 16 |

Задача. (а) Проверьте, что инверсия является взаимно однознач(в) Постройте на данной прямой l такую точку M, что сумма расным преобразованием плоскости без точки O. Доопределите ее так, стояний от нее до данных точек A и B, не лежащих на l, равна заданной чтобы она стала взаимно однозначным преобразованием пополненной величине a.

плоскости.

Задача. (а) Докажите, что любую пару непересекающихся окруж(б) Дайте определение инверсии в терминах плоской геометрии.

ностей можно инверсией перевести в пару концентрических окружно(в) Что представляет из себя -1 Inv N :

N стей, а можно — в пару окружностей равного радиуса.

(б) Пусть окружность R1 лежит внутри окружности R2 и S1, …, Sn — S2 - S-- цепочка окружностей, каждая из которых касается R1 и R2 (внешним N N и внутренним образом соответственно) и двух соседних. Докажите, что любую окружность T1, внешне касающуюся R1 и внутренне — R2, можInv xOy - xOy --но включить в аналогичную цепочку, при этом точки касания окружностей цепочки друг с другом лежат на одной окружности.

Задача. Во что переходят при инверсии с центром в начале коорЗадача (построения циркулем). Постройте, пользуясь одним динат и радиусом только циркулем:

(а) точки (0; 0), (1; 0), (0; 4), (3; 4), (-1; 6), (0,01; -0,01), (а) отрезок, в два раза больший данного, (2 sin ; 2 cos );

(б) отрезок, в n раз больший данного, (б) прямые: x + y = 2, y = 3x + 1;

(в) середину данного отрезка, (в) треугольник с вершинами в точках (0; 2), (4; 0) и (5; 1);

(г) часть данного отрезка, (г) описанные и вписанные окружности четырех единичных квадn (д) образ данной точки при инверсии относительно заданной окружратов на бумаге в клетку с вершиной в начале координат;

ности, (д) окружность с центром в (-3; 4) радиусом 5 и ее диаметр, зада(е) центр окружности по данным трем ее точкам, ющийся уравнением y = 4;

(ж) точку пересечения данной окружности и прямой AB, (е) «правая половинка» круга с центром (3; 1) и радиусом 3;

(з) точку пересечения прямых AB и CD.

(ж) координатные линии x = const и y = const Задача. Рассмотрим инверсию относительно окружности с цен- Задача (теорема Мора—Маскерони). Докажите, что любое потром в точке O. Что произойдет с прямыми и окружностями, строение, выполнимое с помощью циркуля и линейки, можно выпол(а) проходящими через O; нить одним циркулем. (Мы считаем, что построить прямую — значит (б) не проходящими через O построить пару точек на ней, построить отрезок — значит построить (в) Какие окружности перейдут в себя его концы.) Задача. Окружность P1 с диаметром AB = b касается внутренним образом в точке A окружности P2 с диаметром AC = c. Окружность SАр-. Основная теорема арифметики с центром на BC диаметра c - b касается P1 и P2. Проводятся окруж( января г.) ности S1, S2, … так, что Sn касается P1, P2 и Sn-1. Найдите отношение радиуса Sn к расстоянию от ее центра до AC.

Определение. Целое число p = ±1 называется простым, если из Определение. «Окружностями» на пополненной плоскости назыp = ab (a, b ) следует, что либо a, либо b равно ±1.

ваются как обычные окружности, так и прямые с добавленной точкой.

Задача (Евклид).

Задача. Докажите, что (а) Докажите, что простых чисел бесконечно много.

(а) стереографическая проекция является ограничением подходяДокажите, что существует бесконечно много положительных прощей инверсии в пространстве на сферу;

стых чисел (б) при стереографической проекции «окружностям» на пополнен(б) вида 4n + 3; (в) не оканчивающихся на ; (г) вида 4n + 1.

ной плоскости соответствуют окружности на обычной сфере;

Эти утверждения являются частными случаями замечательной теоремы (в) стереографическая проекция сохраняет углы.

Дирихле, которая утверждает, что в любой целочисленной арифметической Задача. В пространстве даны три черных попарно касающихся прогрессии со взаимно простыми a0 и d встречается бесконечно много простых чисел.

сферы и последовательность цветных сфер, каждая из которых касается всех черных и предыдущей цветной. Докажите, что эта последоваЗадача. Найдите все такие простые p, что (а) p + 57;

тельность периодична.

(б) p + 4 и p + 14; (в) p4 + 4 — тоже простое (простые).

Если числа p и p + 2 — простые, то они называются числами-близнецами.

Бесконечно ли много чисел-близнецов, — до сих пор не решенная проблема теории чисел.

Задача. (а) Докажите, что промежутки между соседними простыми числами могут быть сколь угодно велики.

(б) Придумайте алгоритм, находящий все простые положительные числа, меньшие n, использующий только операции сложения и вычитания.

(в) Придумайте алгоритм для определения простоты числа n, ко торый требует не более чем O( n) арифметических действий.

Задача. Пусть a, n, a, n 2.

(а) Докажите, что если an - 1 — простое (a, n 2), то a = 2 и n — простое. Простые числа такого вида называются числами Мерсенна.

.

.

(б) Докажите, что если an + 1 — простое (a, n 2), то a 2 и n = 2k.

.

k Числа вида 22 + 1 называются числами Ферма.

(в) Все ли числа Ферма простые До сих пор неизвестно, бесконечно ли много простых чисел среди чисел Мерсенна или чисел Ферма.

Определение. Целые числа a и b называются взаимно простыми, если у них нет других общих делителей, кроме ±1.

Задача. Пусть a и b — взаимно просты. Докажите, что (а) найдутся такие x, y, что ax + by = 1;

..

..

(б) (a · c) b c b; дывать (покоэффициентно) и перемножать (раскрывая скобки по пра..

...

...

(в) если p — простое, то (c · d) p (c p) (d p). вилу mxnx = (mn)x). Их придумал Дирихле для доказательства своей...

теоремы (см. выше).

Задача (ОТА). Докажите, что 1 Самый важный из этих рядов: (x) = 1 + 1/2x + 1/3x + 1/4x + … (а) любое ненулевое целое число n представимо в виде n=±p1 p2 … k называется дзета-функцией Римана.

…pk, где pi — различные положительные простые числа, i, а знак произведения совпадает со знаком n; Задача *. Вычислите первые десять коэффициентов рядов (б) такое представление единственно (с точностью до порядка со- (а) 2(x);

множителей). Соответствующее разложение мы будем называть кано- (б) (x) · (x - 1);

1 1 ническим.

(в) L(x) · (x), где L(x) = 1 - + - ± …;

3x 5x 7x Задача. (а) Сколько положительных делителей у числа (г) -1(x).

1 2 k (б) Дано каноническое разложение числа n = ±p1 p2 …pk. СкольЗадача *. Докажите, что ко положительных делителей у числа n (а) 2(x)= (n)/nx, где (n) — число положительных делителей n;

Задача. (а) Найдите выражения для НОД и НОК двух целых чисел (б) (x) · (x - 1) = (n)/nx, где (n) — сумма положительных через их каноническое разложение. Как быстрее вычислять НОД — по делителей n;

этой формуле или с помощью АЕ (в) 4L(x)(x) = M(n)/nx, где M(n) — число целых точек на ок (б) Докажите, что в натуральных числах НОД(a, b) · НОК(a, b) = a · b.

ружности радиуса n.

Задача. Докажите, что (г) Выведите из предыдущего пункта формулу для количества пред m (а) 2 — число иррациональное (т. е. 2 =, где n — натуральное ставлений числа n в виде суммы двух квадратов.

n и m — целое); Числа n, которые равны сумме своих положительных делителей (за исклю k (б) a (a, k ) — число рациональное тогда и только тогда, когда чением самого числа n), т. е. для которых (n) = 2n, называются совершенными. Например, таковы числа 6, 28, 496. Четные совершенные числа просто опиa = bk, где b.

сываются в терминах чисел Мерсенна, а существование нечетных совершен(в) Пусть xn = ym (x, y, n, m ), n и m — взаимно просты. Докажиных чисел остается нерешенной проблемой теории чисел.

те, что найдется t, такое что x = tm, y = tn.

y (г) Решите в уравнение x = yx. Задача *. Докажите, что (а) (формула Эйлера) Задача. (а) Докажите, что (положительное) простое p входит в (x) = 1/(1 - p-x) = (1 + 1/px + 1/p2x + 1/p3x + …), каноническое разложение числа n! ровно [n/p] + [n/p2] + [n/p3] + … p p … + [n/pk] + … раз.

где произведение берется по всем положительным простым p;

(б) Найдите число нулей на конце числа 2003!.

.

. (б) L(x) = 1/(1 - 1/px) 1/(1 + 1/px).

(в) Докажите, что n! 2n.

.

p=4k+1 p=4k+(г) Проведите теоретико-числовое доказательство того, что Формула Эйлера эквивалентна ОТА. Когда мы получше познакомимся с n n! = мультипликативными функциями, мы научимся раскладывать в эйлерово проk (n - k)! k! изведение еще много других рядов Дирихле.

— целое число.

p.

.

(д) Докажите, что p, где p — простое. Верно ли это, когда p —.

k Георг Фридрих Бернхард Риман (Riemann), —, — выдающийся немецкий масоставное тематик, внесший огоромный вклад в развитие комплексного анализа, аналитической Определение. Выражения вида k1 + k2/2x + k3/3x + k4/4x + … натеории чисел, дифференциальной геометрии и пр. Отметим, впрочем, что придумал дзета-функцию вовсе не Риман, а Эйлер. Зато Риман сформулировал свою знаменитую зываются (формальными) рядами Дирихле. Ряды Дирихле можно склагипотезу о том, что все нетривиальные комплексные нули дзета-функции лежат на пря Как всегда, произведение нулевого числа сомножителей полагается равным 1. мой Re z = 1/2, которая до сих пор не подтверждена и не опровергнута.

Задача. Решите уравнения (z, w [i]) и изобразите решения на плоскости:

Ар-. Гауссовы числа (а) z = (б) z = N(z); (в) z · (2 + 3i) = 3 - 2i;

z;

( февраля г.) (г) z + w = zw = 2; (д) N(z) = 49, N(z) = 57, N(z) = 55.

Задача. (а) Докажите (используя свойства нормы), что произвеОпределение. Гауссовым числом называется пара (a, b) (a, b ).

дение двух чисел, представимых в виде x2 + y2 тоже представимо в таПоложим по определению ком виде. Верно ли это для сумм (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) и (a, b) · (c, d) = (ac - bd, ad + bc).

(б) трех; (в) четырех квадратов Верно ли это для чисел, представимых в виде Множество гауссовых чисел обозначается через [i].

(г) x2 + 2 y2, (д) x2 + 5 y2 Задача. (а) Проверьте, что (0, 1)2 = (-1, 0). Пару (0, 1) мы будем Задача. Докажите, что обозначать через i, а пару (a, b) — через a + bi.

(а) при фиксированном v все z = vk (k [i]) лежат в вершинах (б) Проверьте, что это обозначение корректно, т. е. умножение гауссетки из одинаковых квадратиков;

совых чисел соответствует обычному умножению чисел a + bi с услови(б) площадь одного квадратика равна N(v).

ем i2 = -1.

(в) Закрасим один из таких квадратиков (как красить стороны). До= Определение. Пусть z = a + bi. Число a - bi называется сопряz кажите, что для любого гауссового числа z найдется ровно одно покраженным к z, а число N(z) = a2 + b2 — нормой z..

.

шенное число q такое, что (z - q) v.

.

Задача. Вычислите: (а) in и (-i)n; (б) N((1 + i)n) и N((1 - i)n).

Задача. Докажите, что в [i] можно делить с остатком, т. е. для любых u, v [i], v = 0, найдутся гауссовы w и r такие, что u = vw + r, Задача. Докажите свойства:

где N(r) < N(v). Однозначно ли деление с остатком в [i] + · (а) z + w = w; z · w = w;

z z.

..

.

(б) если z w, то w;

z..

Задача. Сформулируйте и докажите ОТА в [i].

(в) N(zw) = N(z)N(w); N(z) = z z;

Наравне с [i] — числами вида a + bi — можно для любого n рассмат — (г) z + и z целые.

z z ривать [ -n] — числа вида a + b -n.

(д) Выведите признак делимости на 1 + i в [i].

Задача. (а) Дайте (формальное) определение [ -n].

(е) Найдите все обратимые элементы в [i].

(б) Определите здесь норму и сопряженный элемент.

Задача. Что происходит с плоскостью при преобразованиях (в) Для каждого n найдите все обратимые элементы.

(а) z (б) z iz z;

(г) Найдите все разложения на простые сомножители числа в [i], [ -2], [ -5] (с точностью до умножения на обратимые).

Определение. Необратимое гауссово число z называется прос(д) Можно ли делить с тым, если из z = ab (a, b [i]) следует, что либо a, либо b обратимо.

остатком (с выше определенной нормой) и (е) верна ли ОТА в [ -2], [ -3], [ -5] Задача. Являются ли простыми в [i]:

(а) i; (б) ; (в) 5i; (г) 3 + 2i; (д) ; (е) 7 + i; (ж) 7 + 8i Задача. Докажите, что:

(а) если N(z) — простое (целое) число, то z — простое (гауссово) число. Верно ли обратное — (б) z [i] — простое простое. Верно ли обратное z Если считать a, b, мы получим определение компл чисел, но они нам ексных пока не нужны.

Напомним, что u K называется обратимым в K, если существует такой v K, что u · v = v · u = 1.

(д) среди любых гауссовых чисел найдутся два, разность которых делится на 17i - 41, несколько чисел, сумма которых делится на Ар-. Сравнения 27 - 35i.

( марта г.) Когда числа интересуют только с точностью до сравнения по модулю некоторого фиксированного числа m (как в задаче и др.), полезно «склеить» сравЗадача. (а) Чтобы решить, кто будет нести каны в алтайском пон числа. Для этого достаточно рассмотреть множество классов эквиваимые ходе, Саша Л., Саша М., Саша Р. и Саша Ч. решили встать в круг и про- лентности относительно отношения сравнения по данному модулю. Эти классы можно описать явно с помощью следующего выбора представителей.

читать (в этом порядке) по слогам считалку «Долго ль мне гулять на свете», начав с Саши Л. На ком закончится — тому и нести. Кто это Определение. Пусть m — натуральное число, m > 1. Обозначим будет через m множество {0, 1, 2, …, m - 1} остатков от деления на m, а че(б) Сколько будет времени через часов после сдачи этой задарез — остаток от деления n на m. Для a, b m определим «сумму» n чи и «произведение»: a + b = a + b, a · b = a · b.

Определение. Числа a и b называются сравнимыми по модулю m, Задача. (а) Проверьте, что b a b (mod m).

=.

.

если (a - b) m. Обозначение: a b (mod m).

. Нарисуйте таблицы сложения и умножения в (б) 4; (в) 7; (г) 8; (д) 9.

Задача. Нарисуйте Задача. Докажите, что существует бесконечно много натураль(а) на числовой прямой целые a, для которых a -2 (mod 7);

ных чисел, не представимых в виде суммы (а) трех квадратов; (б) трех a 1000 (mod 24); a 256 (mod (-4));

кубов.

(б) на плоскости гауссовы u такие, что u -i (mod 1 + 2i); u 2 - 3i (mod i).

Задача. Докажите, что.

.

Опишите все (а) (n5 - 5n3 + 4n) 120 (n );

.

.

.

(в) многочлены, (б) (55552222 + 22225555) 7;

.

.

.

(г) ряды P(x) такие, что P 2004 (mod x2); P x + 1 (mod (x + 1)).

(в) (52n+1 · 2n+2 + 3n+2 · 22n+1) 19 (n );

.

.

(г) 157 + 257 + … + 100057. 1001;

.

Задача. Докажите свойства сравнений:

..

..

(д) (a2 + b2) 7 (a, b ) (a2 + b2) 49 (a, b );

..

(а) сравнение — отношение эквивалентности;

Pages:     | 1 |   ...   | 6 | 7 || 9 | 10 |   ...   | 16 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.