WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 5 | 6 || 8 | 9 |   ...   | 16 |

ледку — в Белом. Как следует ему выбрать кратчайший путь с началом и концом на станции Хибины, если Кольский полуостров имеет форму (а) острого угла; (б) тупого угла Задача. (а) Покажите, что если f — движение, то обратное отоб-ражение f (почему оно определено) — тоже движение.

Задача. Докажите, что (б) Если g — еще одно движение, то композиция f g — снова дви(а) осевая симметрия — движение;

жение.

(б) если некоторое движение оставляет все точки прямой неподвиж(в) Выведите основные свойства движений: движения переводят ными, то это либо тождественное отображение, либо симметрия отнопрямые в прямые, окружности — в окружности, движения сохраняют сительно этой прямой;

параллельность и углы между прямыми и окружностями.

(в) угол между двумя осями симметрии многоугольника имеет ра(г) Докажите, что условие взаимной однозначности в определении циональную градусную меру.

является излишним.

Задача. По одну сторону от прямой l расположены точки A и B.

Определение. Центральная симметрия с центром в точке O — Постройте такую точку X на прямой l, что углы между AX и BX и пряэто такое отображение плоскости на себя, при котором точка O перемой l ходит в себя, а всякая другая точка X переходит в такую точку X, что (а) равны; (б) отличаются в два раза.

O есть середина отрезка XX.

Задача. (а) Докажите, что площадь любого выпуклого четырехЗадача. Двое игроков выкладывают по очереди на прямоугольугольника не превосходит полусуммы произведений противоположных ный стол пятаки. Монету разрешается класть только на свободное месторон.

сто. Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Кто выиграет при пра(б) Когда достигается равенство вильной игре На самом деле движение сохраняет углы между любыми гладкими кривыми, но у нас Фигурой в геометрии принято называть произвольное множество точек на плоскопока что нет определения кривой. сти.

Задача. (а) Может ли луч света «застрять» в угле, образованном двумя зеркалами Геом-. Движения плоскости —. Теорема Шаля (б) Две прямые пересекаются под углом. Кузнечик прыгает с од( сентября г.) ной прямой на другую; длина каждого прыжка равна, и кузнечик не прыгает обратно, если только это возможно. Докажите, что последовательность прыжков периодична тогда и только тогда, когда рацио- Определение. Поворотом R относительно точки O на (0 < O нально. < 180) называется такое отображение плоскости на себя, которое переводит O в O, а любую другую точку X переводит в такую точку X, Определение. Параллельный перенос TAB на вектор AB — это тачто OX = OX, XOX = и луч OX находится в направлении против кое отображение плоскости на себя, при котором всякая точка X печасовой стрелки относительно луча OX.

реходит в такую точку X, что середины отрезков AX и BX совпадают.

(Уточните это определение для случаев, когда точки B и X совпадают Задача. (а) Постройте правильный треугольник, одна из вершин или точка A является серединой BX.) которого задана, а другие две лежат на данной окружности.

(б) Дан отрезок AB. Найдите геометрическое место таких точек C, Задача. В каком месте следует построить мост MN через реку, что сторона AC треугольника ABC и высота, проведенная к этой сторазделяющую деревни A и B, чтобы путь AMNB из A в B был кратчайроне, равны.

шим (Берега реки считаются параллельными прямыми, мост перпендикулярен берегам.) Задача. (а) Определите поворот на произвольное (в том числе Задача. Докажите, что отрицательное) число градусов.

(а) параллельный перенос — движение; (б) Докажите, что поворот — движение плоскости.

(б) композиция параллельных переносов на векторы AB и BC есть (в) Докажите, что если некоторое движение плоскости имеет ровно параллельный перенос на вектор AC; одну неподвижную точку, то это — поворот.

(в) дайте определение вектора. (г) Что значит фраза «луч … находится в направлении против часовой стрелки …» в определении Задача. В квадрате со стороной 1 расположена фигура, расстояние между любыми двумя точками которой не равно 0,001. Докажите, Задача. Дан треугольник ABC. На его сторонах AB и BC построечто площадь этой фигуры не превосходит ны внешним образом квадраты ABMN и BCPQ. Докажите, что центры (а) 0,34; (б) 0,287.

этих квадратов и середины отрезков MQ и AC образуют квадрат.

(в) Приведите пример такой фигуры площадью не менее 0,22.

Задача (точка Торричелли). На сторонах треугольника ABC, углы которого не превышают 120, внешним образом построены правильные треугольники ABC, ABC и ABC. Докажите, что:

(а) AA, BB и CC пересекаются в одной точке T и стороны треугольника видны из нее под равными углами;

(б) в точке T достигается минимум величины AX + BX + CX;

(в) если P и Q — середины отрезков AB и AC, то треугольник APQ правильный;

(г) центры построенных в условии задачи треугольников образуют правильный треугольник.

Задача. Пусть углы, и таковы, что и 0 <,, 180 и + + + = 180, а точки A, B и C не лежат на одной прямой. Докажите, что если композиция поворотов R2 R2 R2 является тождественным C B A преобразованием, то углы треугольника ABC равны, и.

Задача. (а) На сторонах AB и BC треугольника ABC внешним об- (б) Впишите в данную окружность 57-угольник, стороны которого разом построены квадраты с центрами P и Q. Пусть M — середина AC. параллельны заданным 57 прямым.

Найдите углы треугольника PQM. (в) В условиях задачи о точке Торричелли постройте исходный тре(б) На сторонах произвольного выпуклого четырехугольника внеш- угольник по точкам A, B, C.

ним образом построены квадраты. Докажите, что отрезки, соединяюЗадача (группы симметрий). Найдите все движения, переводящие центры противоположных квадратов, равны и перпендикулярны.

щие в себя Определение. Скользящей симметрией называется композиция (а) прямоугольник; (б) правильный треугольник;

симметрии и параллельного переноса на вектор, параллельный оси сим- (в) правильный шестиугольник; (г) круг.

метрии. (д) Постройте такую фигуру, что существует ровно 57 движений, переводящих ее в себя.

Задача. (а) Докажите, что если A — образ точки A при скользя(е) Компостер прокалывает некоторые из клеток квадрата 3 3.

щей симметрии относительно прямой l, то середина отрезка AA лежит Сколько существует различных (с точностью до сохраняющих ориенна прямой l.

тацию движений) отметок такого компостера (б) Пусть ABC и A1B1C1 — равные треугольники, притом вершины ABC расположены по часовой стрелке, а A1B1C1 — против. Пусть A2, B2 и C2 — середины отрезков AA1, BB1 и CC1. Докажите, что A2, B2 и Cлежат на одной прямой.

Рассмотрим три типа движений: параллельный перенос TAB на век тор AB, осевую симметрию Sl относительно прямой l и поворот R O на угол относительно точки O. Составим таблицу умножения этих движений. Например, TCD TAB = TAE, где E = TCD(B).

Задача (таблица умножения). Заполните остальные восемь клеток таблицы и укажите, в каких случаях порядок существен.

TAB Sl1 R OTCD TAE SlR OЗадача. Докажите, что (а) если некоторое движение оставляет на месте вершины данного треугольника, то оно тождественно;

(б) любое движение есть композиция не более трех симметрий.

Задача (теорема Шаля). Любое движение есть поворот, параллельный перенос или скользящая симметрия.

Задача *. (а) Восстановите 2003-угольник по серединам его сторон.

Задача. От прямоугольника со сторонами a и b (a > b) разрешается отрезать квадрат со стороной b. Если получившийся после отрезаАр-. НОД и АЕ ния прямоугольник не квадрат, то с ним проделывают ту же операцию.

( октября г.) (а) На какие квадраты будет разрезан прямоугольник 6188 4709 (б) Докажите, что любой прямоугольник с целочисленными стороОпределение. Пусть a, b, причем a и b не равны нулю одновренами будет разрезан на квадраты. Найдите площадь наименьшего из менно. Наибольшим Общим Делителем a и b называется наибольшее них.

целое число, делящее a и b. Обозначение: НОД(a, b).

(в) Какие прямоугольники можно таким образом разрезать на коЗадача. Найдите нечное число квадратов (а) НОД(n, n + 1); (б) НОД(n, n + 6); (в) НОД(2n + 3, 7n + 6);

n m Задача. Докажите, что:

(г) НОД(2n - 1, n2); (д) (числа Ферма) НОД(22 + 1, 22 + 1).

(а) НОД(ka, kb) = kНОД(a, b);

Определение. Алгоритм Евклида (АЕ) состоит из последователь(б) НОД(4a + 2b, 6a + 4b) = 2НОД(a, b);

.

ности шагов. На каждом шаге по паре (a, b), b = 0, целых чисел строит-.

(в) НОД(ka + lb, ma + nb) НОД(a, b);

.

ся пара (b, r), где r — остаток от деления a на b. Если r = 0, то алгоритм (г) НОД(13a + 10b, 9a + 7b) = НОД(a, b);

останавливается, иначе он применяется к паре (b, r).

(д) (Sl2( )) если kn - ml = 1, то НОД(ka + lb, ma + nb) = НОД(a, b) (k, l, m, n ).

Задача. Докажите, что (е) Как связаны НОД(ka + lb, ma + nb) и НОД(a, b) в случае произ(а) для любой пары (a, b) целых чисел, b = 0, АЕ когда-нибудь оста вольного определителя: kn - ml = d (k, l, m, n.) новится;

(б) d = НОД(a, b), где (d, 0) — пара, полученная на последнем шаЗадача *. У Миши с Юрой есть шоколадка в форме равносторонге.

него треугольника со стороной n, разделенная бороздками на равносторонние треугольники со стороной 1. За ход можно отломать от шоЗадача. Вычислите:

коладки треугольный кусок вдоль бороздки, и съесть его а остаток пе(а) НОД(81 719, 52 003), НОД(6188, 4709), НОД(-315, 159);

редать противнику. Тот, кто получит последний кусок — треугольник 1001 со стороной 1, — победитель. Тот, кто не может сделать ход, досрочно (б) НОД (11…1, 11…1).

проигрывает. Кто выигрывает при правильной игре, если Миша ходит Задача *. (а) К паре отрезков длины менее км применили АЕ, первым который остановили после шагов. Докажите, что остаток не превосЗадача (Диофант). (а) У Олега есть две кружки объемом мл ходит мм.

и мл. Сможет ли он с их помощью набрать ровно л воды из ручья (б) Известно, что АЕ, примененный к паре отрезков длины a и b, в кан для приготовления манной каши (Если «да», то как набрать так и не остановился, а частное каждый раз было равно. Найдите Если «нет», то как поменьше ошибиться) отношение = a/b (золотое сечение).

(б)(Очень Важная Лемма) Докажите, что если a, b и НОД(a, b)= (в) Докажите, что число делений в АЕ не превосходит =d, то найдутся такие k, l, что ka + lb = d.

log( 5(max(a, b) + 1/2)) - 1.

Задача *. При каких p и q (p, q)-слонопотам на бесконечной шахматной доске может попасть на соседнее по вертикали поле Задача *. Двое фальшивомонетчиков играют в такую игру: в свой Евклид (E), III век до Р. Х., — первый математик александрийской школы.

Его главный труд «Начала» содержит изложение планиметрии, стереометрии и ряда воход можно отчеканить неограниченный запас монет в k > 1 рублей, просов теории чисел (например АЕ). Им также написаны книги «Конические сечения», причем нельзя чеканить монеты, которые можно разменять уже отче«О делении фигур» и многочисленные работы по астрономии, оптике, музыке и др.

Объяснение обозначений можно найти в книге «Конкретная математика» (Грэхем, Кнут, Поташник), а определение логарифма — в любом учебнике математики. См. Комб-.

каненными. Тот, кто не может сделать хода, проигрывает. Кто выигрывает при правильной игре Геом-. Инверсия Для того чтобы говорить про НОД в других кольцах (многочлены, гауссо( декабря г.) вы числа, …), определение не подходит (почему). Поэтому мы сейчас дадим другое определение, у которого будет два отличия — определенный им НОД Но кто хоть немного знает толк в геометрии, не может не существовать, а может быть их и несколько.

будет оспаривать, что наука эта полностью противоОпределение. Пусть M — одно из наших колец, a, b M, причем положна тем словесным выражениям, которые в ходу a и b не равны нулю одновременно. Наибольшим Общим Делителем у занимающихся ею.

a и b называется такой их общий делитель d, который делится на люПлатон...

...

бой другой их общий делитель: (a d)&(b d) (d d). Множество...

наибольших общих делителей a и b обозначается через НОДновый(a, b).

Определение. Пусть наша «обычная» плоскость — это плоскость Задача. (а) Докажите, что в целых числах xOy в трехмерном пространстве, S2 — сфера с центром в O радиуса R, N = (0; 0; R) — ее «северный полюс». Поместим в N источник света.

НОДновый(a, b) = {±НОДстарый(a, b)}.

Стереографической проекцией (из северного полюса) называется отоб(б) Сколько наибольших общих делителей может быть у двух гаус- ражение N : S2 \ {N} xOy, переводящее точки верхнего полушария совых чисел в их тени на плоскости xOy, а точки нижнего полушария — в те точки (в) Вычислите НОД, 3 в. плоскости, которые на них отбрасывают тень (см. рис. ).

(г) Докажите, что в [x] у любых двух (не равных нулю одновреСеверный полюс менно) многочленов есть наибольший общий делитель, притом не один.

N Как их все найти m Задача. Вычислите НОД в [x]: (а) x2 - 4x + 3 и 2x2 + 4x - 6;

2 1 (б) x4 + x3 - x2 + 1 и x2 - x + ; (в) xn - 1 и xm - 1, n, m.

3 4 а N (m) S Южный полюс Рис.

Задача. (а) Во что перейдут при N с R = 1 следующие точки на сфере: S (южный полюс), (1/3; -2/3; 2/3), (0; cos ; sin ) (б) Что будет прообразом при N с радиусом 1 следующих точек на плоскости: (2; 0), (1; 2), (5; 7) (в) Белый медведь прошел 1 км на юг, 1 км на восток и 1 км на север, после чего оказался в том же месте, откуда начал путешествовать.

Нарисуйте стереографическую проекцию его пути.

(г) Тот же вопрос для пингвина.

(д) Почему стереографическую проекцию не используют для составления карты мира А какую карту с ее помощью можно хорошо См. Ар-. нарисовать Э р к о в т (е) Нарисуйте на плоскости образ железной дороги «Москва—Пе- Докажите, что инверсия сохраняет тербург» при стереографической проекции (радиус Земли считается (г) касание, (д) углы.

равным 1).

Задача. (а) В сегмент вписываются всевозможные пары касаю Ry Rx (ж) Докажите, что N (x; y; z) = ;. щихся окружностей. Найдите множество их точек касания.

R - z R - z (б) Через точки A и B проведены окружности S1 и S2, касающиеся (з) Найдите -1(u; v).

N окружности S, и окружность S3, перпендикулярная S. Докажите, что SОпределение. Назовем пополненной плоскостью обычную плособразует равные углы с окружностями S1 и S2.

кость с добавленной точкой. (Что все это значит) Задача. (а) Постройте окружность, касающуюся двух данных Определение. Инверсией относительно окружности с центром O окружностей и проходящую через данную точку.

и радиусом R называется InvO, R = S -1, где S — стереографическая N (б) (Задача Аполлония.) Постройте окружность, касающуюся трех проекция из южного полюса.

данных окружностей.

Pages:     | 1 |   ...   | 5 | 6 || 8 | 9 |   ...   | 16 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.