WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 4 | 5 || 7 | 8 |   ...   | 16 |

Комб-. Комбинаторика-. Числа Каталана Диагональной триангуляцией назовем разбиение такого многоуголь( марта г.) ника на треугольники непересекающимися диагоналями.

Задача. Докажите, что число триангуляций (n + 2)-угольника при Определение. Правильной скобочной структурой называется коn 1 равно cn.

нечная последовательность левых и правых скобок, удовлетворяющая условиям:

Задача. Дайте формальное определение путей Дика и докажите, (a) число левых и правых скобок в правильной скобочной структучто число путей Дика из 2n звеньев равно cn.

ре одинаково;

Задача. Докажите, что производящая функция cat(t) разлагается (б) число левых скобок в любом начальном отрезке правильной в цепную дробь:

скобочной структуры не меньше числа правых скобок.

Пример. Если в арифметическом выражении со скобками, наприcat(t) =.

t 1 мер в t 1 t ((8 + 4) : (2 - 5)) (3 : (25 - 22)), 1.

.

1 -.

стереть все числа и все знаки операций, останется правильная скобочная структура. В нашем случае это будет последовательность (()())(()).

Определение. Пути Моцкина определяются так же, как и пути Определение. Назовем n-м числом Каталана cn число различДика, только они могут включать в себя горизонтальные векторы (1, 0).

ных правильных скобочных структур из n пар скобок. СоответствуюЧисло путей Моцкина из n векторов называется n-м числом Моцкина щая производящая функция обозначается через cat(s).

и обозначается через mn. Вот начало последовательности Моцкина:

Задача. Выведите (а) соотношение t · cat2(t) - cat(t) + 1 = 0, m0 = 1, m1 = 1, m2 = 2, m3 = 4.

1 - 1 - 4t (б) формулу cat(t) =.

2t Задача. (а) Вычислите 5 следующих членов этой последовательЗадача *. Докажите, что производящая функция cat(t) не является ности.

рациональной (т. е. не представима в виде P/Q, где P, Q [t], Q = 0).

(б) Найдите рекуррентное соотношение и производящую функцию Задача. (a) Докажите, что для нее.

(2n)! 1 n cn = = C2n.

Задача. Докажите следующие общие теоремы.

n!(n + 1)! n + (а) Производящая функция числа путей от точки 0 до точки N оси (б) Придумайте комбинаторное (в терминах абсцисс, когда на i-м уровне вправо вверх — ai путей, вправо вниз — 1 «классической» комбинаторики) доказательство bi путей, имеет вид:

2 предыдущей формулы.

2 3.

Задача. Поставим посередине треугольни5 4 a1b1t1 ка Паскаля стенку и будем писать числа только 5 9 5 a2b2tсправа от нее (см рис. ). 1 14 14 6.

.

(а) Докажите, что на вертикальной прямой 1 -.

стоят числа Каталана.

Рис.

(б) Чему равна сумма чисел на n-й восходя- Описание путей Дика было дано на лекции. См. книгу С. К. Ландо «Лекции о произщей диагонали водящих функциях» (М.: МЦМНО, ).

(б) Если добавить еще по ci горизонтальных путей, то производя- Задача *. Разложите в цепную дробь производящую функцию чищая функция будет иметь вид: сел Бернулли.

.

a1b1t2 1 - c1t 0 a2b2t1 - c2t Bn 0 1 1 En.

.

1 -.

2 2 1 0 2 4 5 Определение. Up-down или пилообразной перестановкой называ16 16 14 10 5 ется такая конечная последовательность a1, a2…, aN различных нату- 0 16 32 46 56 61 ральных чисел от 1 до N, в которой каждое число либо больше обоих 4 = 2 + 2 10 = 5 + соседей, либо меньше обоих, причем aN-1 > aN. Например, (4, 7, 6, 9, 1, 5 = 4 + 1 14 = 4 + 3, 2, 8, 5) есть одна из up-down перестановок для N = 9. График такой перестановки (нарисуйте его!) выглядит как пила.

Рис.

Задача * (Бернулли, Эйлер и перечисление змей). На рисунке дано определение треугольника Бернулли—Эйлера. Заполните две следующие строки этого треугольника и докажите, что (при такой же нумерации строк и столбцов, как и в треугольнике Паскаля) число, стоящее на (n - k)-м месте в (n - 1)-й строке треугольника Бернулли—Эйлера равно числу up-down перестановок длины n, начинающихся с k.

Задача *. Докажите, что производящая функция чисел Эйлера имеет вид:

.

t1 22t1 32t1.

.

1 -.

y 180 3 3 662 2 2 2 2 5 1385 1 1 1 1 1 1 1 x 1 1 5 61 Рис.

где числа a0, a1, …, ak-1 заданы. Докажите, что тогда производящая фунP(x) Комб-. Комбинаторика-. Числа Фибоначчи кция A(x) = a0 + a1x + a2x2 + … рациональна, A(x) =, а степень Q(x) ( апреля г.) многочлена P не превосходит k - 1. (б) Как найти Q(x) Задача. Выведите явные формулы для последовательностей из Задача. Дано поле размера 2 16. Сколько есть различных спосозадачи.

бов замостить его доминошками 1 2 Задача (теорема Цеккендорфа). (а) Докажите, что любое наОбозначим производящую функцию чисел Фибоначчи (см. Kомб-) че- туральное число единственным образом представляется в виде a2 f2 + рез F(x), F(x) [[x]], а через fn — n-е число Фибоначчи. + a3 f3…, где fn — числа Фибоначчи, а каждое из чисел ai равно нулю или единице, причем единиц в сумме конечное число и два подряд Задача. (а) Докажите, что (1 - x - x2)F(x) = x.

идущих элемента последовательности ai не могут равняться единице.

x - fnxn+2 - fn+1xn+(б) Придумайте алгоритмы перевода чисел из фибоначчиевой си(б) Докажите, что f0 + f1x + f2x2 + … + fnxn =.

стемы счисления в позиционную и обратно.

1 - x - xЗадача. Докажите следующие тождества: Задача *. Придумайте алгоритм (а) сложения и (б) умножения (а) f0 + f1 + … + fn = fn+2 - 1; чисел в этой системе счисления.

(б) f0 + f2 + … + f2n = f2n+1 - 1, f1 + f3 + … + f2n-1 = f2n; Задача *. Юра предложил Мише сыграть в такую игру. Юра задумывает число от 1 до 144, а Миша пытается его отгадать, задавая (в) f1 + 2 f2 + … + nfn = nfn+2 - fn+3 + 2;

вопросы, на которые Юра (честно) отвечает «да» или «нет». В случае 2 2 (г) f1 + f2 + … + fn = fn · fn+1;

ответа «да» Миша платит Юре 1 рубль, в случае ответа «нет» — 2 рубля.

(д) (соотношение Кассини) fn+1 fn-1 - fn = (-1)n;

(а) Как должен играть Миша, чтобы сделать свой проигрыш в наи(е) fk+n = fk fn+1 + fk-1 fn.

худшей ситуации минимальным Задача. (б) А как он должен себя вести, если вместо 144 стоит другое чис(а) Могут ли два соседних числа Фибоначчи делиться на 57 ло (б) Заменим в последовательности ( fn) каждое число на его остаток от деления на 57. Докажите, что полученная последовательность будет периодична.

(в) Может ли число Фибоначчи делиться на 57 Задача (формула Бине). Выведите из задачи а) явную формулу для n-го числа Фибоначчи.

Задача *. Является ли производящая функция чисел fn рациональной Задача. Найдите производящие функции последовательностей:

(а) an+2 = 4an+1 - 4an, a0 = a1 = 1;

(б) an+3 = 3an+2 - 3an+1 - an, a0 = 1, a1 = a2 = 0;

3 (в) an+3 = an+2 - an, a0 = 0, a1 = a2 = 1.

2 Задача. (а) Пусть последовательность an задается линейным рекуррентным соотношением порядка k с постоянными c1, …, ck:

an+k = c1an+k-1 + c2an+k-2 + … + ckan, Задача. (а) Сколькими способами можно из «Сонетов» Шекспира выбрать так, чтобы никакие два не шли подряд Комб-. Комбинаторика-. Le Bagatelle (б) У фокусника в рукаве m белых и n серых кроликов. Сколькими ( мая г.) способами их можно рассадить на скамейке так, чтобы никакие два белых кролика не сидели рядом — А чему соответствует на испанском языке слово (в) Как изменится число этих способов, если рассаживать кроликов lе bagatelle — спросил Дон Кихот.

по кругу — Le bagatelle, — пояснил переводчик, — в переводе на испанский язык значит безделки, но, несмотря Задача *. По пустыне идет караван из девяти верблюдов. Вскоре на скромное свое заглавие, книга эта содержит и завсем надоедает видеть перед собой одного и того же верблюда. Скольключает в себе полезные и важные вещи.

кими способами можно переставить верблюдов так, чтобы впереди кажМигель де Сервантес Сааведра. Дон Кихот дого верблюда шел другой, чем раньше Задача (броуновское движение). (а) 2n друзей встречали День Задача. Самое длинное слово норвежского языка — это Последней Конституции в ресторане «Арбат». Выйдя оттуда, половина друзей отправилась по направлению к Бородино, а вторая половина — fylkestrafikksikkerhetssekretariatsfunksjonene.

к Кремлю. За минуту каждая группа дошла до первого (со своей сторо(а) Сколько различных слов можно получить перестановкой букв ны) фонарного столба и опять разделилась — каждый второй изменил этого слова направление своего движения. Так происходило и дальше. Сколько дру(б) Переведите это слово на русский язык.

зей окажется у k-го фонарного столба через n минут Задача. (а) Найдите коэффициент при мономе (б) 4n друзей встречали Последний День Конституции на лесоповале около г. Североколымск. Четверть из них пошла по восточной просеa3e7 f hi3 jk7ln3or4s6t4uy ке, четверть — по северной, четверть — по западной, четверть — по вов многочлене сточной. Дойдя за один час до следующего разветвления, каждая группа разбилась опять на четыре части, и так далее. Сколько друзей будет (a + e + f + h + i + j + k + l + n + o + r + s + t + u + y)46.

найдено охранниками через n часов на пересечении k-й (считая от ис(б) Придумайте и докажите формулу полинома:

ходной точки) S-N и l-й W-E просек l1 l2 lk Задача. На плоскости нарисованы m вертикальных и n горизон(x1 + x2 + … + xk)n = (…)x1 x2 …xk.

тальных прямых.

l1+l2+…+lk=n (а) Сколько прямоугольников содержит полученная сетка (б) Сколько различных (m + n)-звенных ломаных можно провести Задача (расставим палочки). (а) Сколькими способами могут так, чтобы каждая проходила по всем горизонтальным и всем вертидва Димы разделить между собой одинаковых конфет кальным прямым (б) Сколько получится способов, если они решат поделиться еще с четырьмя Сашами (кому-то может ничего и не достаться) Вычислите Задача *. Сколькими способами можно расставить двух (p, q)-слопроизводящую функцию по числу конфет.

нопотамов (heffalumps) на шахматной доске размером m n так, чтобы (в) Вычислите производящую функцию по числу Саш.

они не били друг друга Задача. (а) Сколько решений у уравнения x1 + x2 + … + xm = n Задача. Оператор комплекса С- (который никогда не промав натуральных числах хивается) управляет ракетами трех типов. На экране своего дисплея он (б) Тот же вопрос для неотрицательных целых чисел. (Сравните с Они этого не любят.

задачей из Комб-.) Слонопотамы ходят на p клеток по одному направлению и на q клеток по перпенди Слова могут ничего не значить. кулярному. Например, конь — (1, 2)-слонопотам.

увидел два самолета AWACS, пятнадцать бомбардировщиков B-, четыре истребителя прикрытия F-C и три самолета F-A.

Вопросы к экзамену по комбинаторике (а) Сколькими способами он может обслужить эти самолеты (май ) А сколько есть способов обслужить их так, чтобы использовать (б) ракеты всех типов;

. Представления чисел в различных системах счисления и соответ(в) не меньше двух ракет первого и второго типов и не меньше ствующие алгебраические тождества.

пяти ракет третьего типа. Задача о счастливых билетах. Формула для десятичной системы Задача. На рисунке изображена счисления и номеров длины 2n. Вычисление ответа для n = 3.

диаграмма Юнга.. Задача о размене монет. Вычисление производящей функции.

(а) Докажите с помощью диаграмм. Число решений уравнения a1x1 + a2 x2 + … + ak xk = n (ai ) в Юнга, что число разбиений N на слага- и +. Вычисление производящей функции.

емые, не превосходящие n, равно числу. Разбиение числа в сумму слагаемых. Равенство количества разразбиений N на не более чем n слагае- биений на нечетные и различные слагаемые, производящая функция мых. этой величины.

k (б) Выпишите производящую (по ко-. Cn как число путей и как число сочетаний. Производящая функРис.

k личеству клеток) функцию числа диация чисел Cn при фиксированном n (бином Ньютона). Явная формула грамм Юнга.

k для Cn.

(в) Докажите, что число способов разбиения N на не более чем m. Число решений уравнения x1 + x2 + … + xm = n в и + (явная m(m + 1) слагаемых равно числу способов разбиения N + на m нерав- формула). Алгебраическое и комбинаторное доказательства.

ных частей.. Число решений уравнения x1 + x2 + … + xm = n в и + (явная (г) Докажите, что число разбиений N на слагаемые, не превосходя- формула). Формула полинома и перестановки букв.

щие n, равно числу разбиений N на не более, чем n слагаемых.. Числа Фибоначчи. Фибоначчиева система счисления.

. Числа Фибоначчи. Производящая функция и формула Бине.

Задача * (пентагональная теорема). Раскройте скобки в произ. Производящая функция для последовательности, заданной ре ведении: (1 - tn). (Первым это сделал, конечно, Эйлер.) куррентным соотношением. Формула Бине.

n=. Числа Каталана. Производящая функция и явная формула.

. Числа Каталана, пути Дика и диагональные триангуляции. Представление производящей функции чисел Каталана в виде цепной дроби.

. Треугольник Паскаля и числа Каталана. Треугольник Паскаля и числа Фибоначчи. Сумма и альтернированная сумма чисел строки треугольника Паскаля. Сумма квадратов чисел строки.

. Производящая функция взвешенных путей Моцкина. Представление в виде цепной дроби.

В ПВО используется терминология теории массового обслуживания.

Задача. Докажите, что (а) центральная симметрия — движение;

Девятый класс (б) если некоторая фигура имеет два центра симметрии, то их у нее бесконечно много.

Задача. (а) Дан вписанный четырехугольник. Через середину кажГеом-. Движения плоскости — дой его стороны провели прямую, перпендикулярную противополож( сентября г.) ной стороне. Докажите, что проведенные прямые пересекаются в одМы будем обозначать расстояние между точками A и B плоскости ной точке.

через (A, B). Напомним основные свойства расстояния.

(б) Пусть у выпуклого n-угольника нет параллельных сторон, A — ) (A, B) 0, причем равенство достигается тогда и только тогда, некоторая точка, не лежащая на сторонах многоугольника. Докажите, когда A = B;

что тогда существует не более n отрезков с концами на сторонах мно) (A, B) = (B, A);

гоугольника и с серединой в A.

) (A, B) + (B, C) (A, C), причем равенство достигается тогда Определение. Осевая (или зеркальная) симметрия относительи только тогда, когда точка B лежит на отрезке AC («неравенство трено прямой l — это такое отображение плоскости на себя, при котором угольника»).

точки прямой l остаются на месте, а всякая точка X, не лежащая на Определение. Движением плоскости называется такое взаимно этой прямой, переходит в такую точку X, что l — серединный перпеноднозначное (что это значит) отображение f : 2 2 плоскости на дикуляр к отрезку XX.

себя, которое сохраняет расстояния, т. е.

Задача. Ст хочет половить навагу в Баренцевом море, а сеепа A, B 2 (A, B) = ( f (A), f (B)).

Pages:     | 1 |   ...   | 4 | 5 || 7 | 8 |   ...   | 16 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.