WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 2 | 3 || 5 | 6 |   ...   | 16 |

либо ничего не положили. В каждую из меньших опять положили или [x] — многочлены, т. е. множество выражений вида, или ни одной, и т. д. После этого оказалось ровно 2002 шкатулки с содержимым. Сколько пустых anxn + an-1xn-1 + … + a1 x + a0 (ak ), Задача. Город Нью-Васюки имеет форму квадрата со стороной сложение происходит покоэффициентно, а для умножения нужно рас5 км. Улицы делят его на кварталы, являющиеся квадратами со стокрыть скобки и привести подобные члены;

роной 200 м. Какую наибольшую площадь можно обойти, пройдя по [[x]] — ряды, т. е. множество выражений вида улицам Нью-Васюков 10 км и вернувшись в исходную точку a0 + a1x + a2 x2 + … + an xn + … (ak ), Задача. Фабрика игрушек выпускает проволочные кубики, в версложение и умножение определено как у многочленов.

шинах которых расположены маленькие разноцветные шарики. По ГОСТу в каждом кубике должны быть использованы шарики всех восьЗадача. Выполните действия с многочленами:

ми цветов (белого и семи цветов радуги). Сколько разных моделей ку(а) (1 + x)(1 + x2)(1 + x4)(1 + x8)(1 + x16);

биков может выпускать фабрика (б) (1 + x + x2 + x3 + … + x9)2;

(в) (x4 - 7x3 + 8x2 + 28x - 48)/(x2 - 4);

(г) (x56 + x55 + x54 + … + x2 + x + 1)/(x18 + x17 + … + x + 1).

Задача. Многочлены P(x) и Q(x) имеют целые коэффициенты, причем каждый из них имеет хотя бы один нечетный коэффициент. Доказать, что у произведения P(x)Q(x) также есть хотя бы один нечетный коэффициент.

Задача. Выполните действия с гауссовыми числами:

(а) (1 + i)(1 - i) + 1; (б) (2 + 3i)(-3 - i) + (-2 + 2i)(5 - 3i);

(в) 20i/(1 - 2i); (г) (11i + 16)/(3 - 2i);

(д) извлеките квадратный корень из 5 + 12i.

Задача. Нарисуйте на координатной плоскости (x, y) все числа вида x + iy = (2 + i)(a + bi), где -2 a, b 4.

Задача. Выполните действия с рядами:

(а) (1 - x)(1 + x + x2 + x3 + x4 + …);

Комб-. Комбинаторика-. Производящие функции (б) (1 - x + x2 - x3 + …)(1 + x + x2 + x3 + …);

( сентября г.) (в) (1 + x + x2 + …)2;

(г) x/(1 + 4x2);

Задача. (а) Вычислите бесконечное произведение:

(д) (2 + x - x2)(1 - 2x + 3x2 - 4x3 + …);

3x 3x2 3x3 3xk (е) (2 + 3x + 3x2 + 3x3 + 3x4 + …) 1 - + - + - … ;

(1 + x2 ) = (1 + x)(1 + x2)(1 + x4)(1 + x8)… 2 4 8 k=(ж) 1/(1 - x - x2).

(б) Докажите, что с помощью гирек в 1, 2, 4, 8, 16, … граммов (по Задача. Извлеките квадратный корень из ряда:

одной каждого веса) можно составить любой целый положительный (а) 1 - 2x + 3x2 - 4x3 + …; (б) 1 + x.

вес, притом ровно одним способом.

Задача *. Как по коэффициентам ряда понять, является ли он пол(в) Докажите, что любое натуральное число можно записать в двоным квадратом ичной системе счисления (например, 5710 = 1110012), причем единПусть M — одно из перечисленных в начале листка множеств. Скаственным способом.

жем, что элемент a из M делится на элемент b из M (b = 0), если в M.

Задача. Вычислите бесконечное произведение:

.

найдется такой элемент c, что a = bc. Обозначение: a b.

.

(1+ x + x2+…+ x9)(1+ x10+ x20 +…+ x90)(1+ x100 + x200 +…+ x900)… Задача. Делится ли 111…1 на 1000 штук Задача. Выпишите и докажите аналогичное равенство для систе(а) ; (б) 11 111; (в) 111 111 мы счисления по основанию 13.

Задача. Делится ли Задача *. (а) Докажите, что (а) x1000 + x999 + … + x + 1 на x6 + x5 + … + x + 1 (многочлены);

(б) x4 + x - 2 на x + 2 (многочлены);

1 1 1 1 + x + 1 + x3 + 1 + x9 + 1 + x27 + … = (в) 57 на x - 2 (многочлены);

x x3 x9 x(г) 57 на x - 2 (ряды);

1 1 1 = 1 + x + + x2 + + x3 + + x4 + + … (д) 12 + 3i на 2 + i;

x x2 x3 x(е) 6 + 17i на 4i - 3 (дать все недостающие определения и объяснить эту запись вам предстоит самим).

(б) Докажите, что имея в распоряжении гирьки в 1, 3, 9, 27, … граммов (по одной каждого веса) можно, воспользовавшись обеими чашами весов, составить любой целый положительный вес, притом ровно одним способом.

Задача. Вычислите бесконечное произведение:

k (1 - x2 ) = (1 - x)(1 - x2)(1 - x4)(1 - x8)… k=Определение. Производящей функцией последовательности a0, a1, a2, a3… называется ряд a0 + a1x + a2x2 + a3x3 + … Задача. Числа Фибоначчи fn определяются формулами f0 =0, f1 =1, Комб-. Комбинаторикаfn = fn-1 + fn-2 при n 2. Докажите, что производящей функцией чисел x Фибоначчи является ряд.

( октября г.) 1 - x - xОпределение. Производящая функция называется рациональной, Не поискать ли мне тропы иной, P(x) Приемов новых, сочетаний странных если ее можно представить в виде, где P, Q — многочлены. (НаQ(x) В. Шекспир. Сонет пример, производящая функция чисел Фибоначчи рациональна.) Задача. Докажите, что производящие функции последовательноk Определение. Обозначим через Cn количество k-элементных подстей (а) 1, 3, 9, 27…; (б) 1, 3, 5, 7, 9… рациональны.

множеств множества из n элементов.

Задача *. Приведите пример производящей функции, не являю- Например, C4 = 6, так как у множества {1, 2, 3, 4} есть ровно 6 двухэлещейся рациональной.

ментных подмножеств:

Задача. Обозначим через An число решений уравнения x +2 y + {1, 2}, {1, 3}, {1, 4}, {2, 3}, {2, 4}, {3, 4}.

+5z+10t =n в неотрицательных целых числах. Например, A0 =1, A1 =1, Часто k-элементное подмножество множества M элементов также A2 = 2, A3 = 2, A4 = 3, A12 = 15. Докажите, что производящая функция называют k-сочетанием из M.

последовательности An имеет вид.

Задача. (а) Выпишите все 3-элементные подмножества множества (1 - x)(1 - x2)(1 - x5)(1 - x10) {1, 2, 3, 4, 5, 6} и найдите C6.

Задача. Сколькими способами можно разменять купюру в k n-k (б) Докажите, что Cn = Cn.

евро на монетки по 1 и 2 евро и купюры по 5 и 10 евро Задача. В расписании на субботу «В» решили поставить три Задача. Докажите, что геометрии и три географии. Сколькими способами можно составить такое расписание (1 + x)(1 + x2)(1 + x3)(1 + x4)… =.

(1 - x)(1 - x3)(1 - x5)(1 - x7)… Задача. (а) Докажите, что при фиксированном n производящей k функцией для Cn будет многочлен (1 + x)n.

Задача. Докажите, что каждое натуральное число можно пред(б) (Бином Ньютона.) Докажите, что ставить в виде суммы различных натуральных слагаемых столькими же 1 2 k способами, сколькими его можно представить в виде суммы нечетных (a + b)n = an + Cn an-1b + Cnan-2b2 + … + Cnan-kbk + … n натуральных слагаемых. Например, 6 можно представить как n-1 k … + Cn abn-1 + bn = Cnakbn-k.

6, 1 + 5, 2 + 4, 1 + 2 + k=и как Доказывать теоремы про числа сочетаний можно алгебраически (напри 1 + 5, 3 + 3, 1 + 1 + 1 + 3, 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1, мер, из тождеств вида (1 + x)m+n = (1 + x)m(1 + x)n, а можно и комбинаторно (например, «рассмотрим все подмножества, для которых...»).

— и там, и там четыре способа.

Задача. Приведите алгебраическое и комбинаторное доказательства того, что k+1 k+1 k Cn+1 = Cn + Cn.

Isaak Newton (—) — великий английский математик, астроном и физик, разработавший (наряду с Лейбницем) основы дифференциального и интегрального исчисления.

Определение. На месте каждой точки T Задача *. Обозначим через fm,n число путей из точки (0, 0) в точиз рис. напишем число путей, состоящих из ку (m, n), где каждый шаг имеет вид (1, 0), (0, 1) или (1, 1). До стрелочек и ведущих из корня T в данную точ- кажите, что двумерная производящая функция fm,nxm yn имеет вид m,n ку. Полученный треугольник из чисел называ.

1 - x - y - xy ется треугольником Паскаля.

Задача. (а) Нарисуйте треугольник Паскаля до десятого уровня включительно.

(б) Докажите, что на k-м месте в n-й строчРис.

k ке треугольника Паскаля стоит число Cn.

Задача. Если в классе дежурят два человека, то уходя они ставят на доске нолик, а если три — то крестик. Сколько есть вариантов таких последовательностей крестиков и ноликов, если всего дежурит человек (После завершения цикла дежурств начинается новая последовательность.) Задача *. Докажите, что производящая функция двух переменных, k сопоставленная треугольнику Паскаля по формуле Cn xk yn имеет n,k=вид.

1 - y - xy Задача. Вычислите алгебраически и комбинаторно следующие суммы:

0 1 n (а) Cn + Cn + … + Cn;

1 3 0 (б) Cn + Cn + … и Cn + Cn + …;

0 s 1 s-(в) CmCn + CmCn + … (свертка Вандермонда);

0 2 (г) Cn - Cn + Cn - … Задача. Нарисуем треугольник Паскаля 1 1 2 и выровняем его по левому краю (см. рис. ).

1 3 3 Чему равна сумма чисел на n-й восходящей 1 4 6 4 диагонали 1 5 10 10 5 Задача. Сколькими способами можно пройти из A в B, двигаясь только направо и Рис.

вверх (см. рис. ) Сколько таких путей проходит через точку с координатами (4, 2) B Задача. Докажите (алгебраически и A комбинаторно), что 2 2 2 n 0 1 n Cn + Cn + … + Cn = C2n. Рис.

Blaise Pascal (—) — великий французский философ, математик и физик.

(д) Выведите формулу для 17 + 27 + 37 + … + n7.

Aр-. Индукция Задача. Сколькими способами можно рассадить n людей на (а) n стульев; (б) k стульев, стоящих в ряд;

( октября г.) (в) k стульев, расположенных по кругу k Кем-то был предложен регрессивный метод: чтобы обнаЗадача. (а) Докажите, что числа Cn можно вычислять по формуле ружить книгу A, следует предварительно обратиться к книn! k Cn =, где k! = 1 · 2 · … · k (при k = 0 полагают 0! = 1).

ге B, которая укажет место A; чтобы разыскать книгу B, следу(n - k)! k! ет предварительно справиться в книге C, и так до бесконечноОбратите внимание, что если записать эту формулу в виде сти. В таких вот похождениях я растратил и извел свои годы.

n · (n - 1) · (n - 2) ·…· (n - k + 1) k Cn =, Х. Л. Борхес. Вавилонская библиотека k! то она будет иметь смысл для любых (не обязательно натуральных) n, лишь бы Принцип математической индукции число k было натуральным. Например, 1 -1 -3 Рассмотрим последовательность утверждений T1, T2, …, Tn, … Пусть C1/2 = · · 3! =.

2 2 2 известно, что ) T1 истинно, ) если истинно Tn, то истинно и Tn+1.

Будем также (по определению) считать, что C0 = 1 для любого n.

Тогда для всех натуральных n утверждение Tn истинно.

n (б) Сформулируйте и докажите бином Ньютона для отрицательных Утверждение T1 называется базой индукции, следствие Tn Tn+1 — целых n.

переходом индукции, утверждение Tn — предположением индукции.

Hint. Ответом будет уже не многочлен, а бесконечный ряд.

Задача. Докажите, что число вида 11…1 делится на 3n.

3n единиц (в) Ваня придумал уличный калькулятор-автомат, который за 1 руб.

может сложить, перемножить или поделить два числа. Как будет деЗадача. После освобождения иракского народа Дик Чейни проk шевле вычислять Cn: по формуле с факториалами или с помощью тревел по линейке на карте Ирака несколько новых внутренних границ.

угольника Паскаля (Память у автомата бесплатная.) Докажите, что получившиеся части можно разделить между Кувейтом и Иорданией так, чтобы соседние (т. е. имеющие общий промежуток Задача. Сколько различных слов длины n можно составить из границы) части достались разным странам.

букв A, B и C Задача. На листе бумаги в клетку нарисовали квадрат со стороЗадача *. Маршрут антарктической экспедиции проходит через ной, из которого вырезали одну клетку. Докажите, что его можно несколько полярных станций и возвращается в исходную точку. Для разрезать на уголки, состоящие из трех клеток.

обеспечения экспедиции на всех полярных станциях на маршруте сделаны запасы продовольствия, суммарного количества которого достаЗадача *. Один выпуклый многоугольник расположен внутри друточно для того, чтобы пройти весь маршрут. Докажите, что можно выгого. Докажите, что периметр внутреннего меньше. Верно ли это для брать станцию, высадившись на которой без запасов провизии, полярневыпуклых многоугольников ники смогут полностью пройти свой путь.

Задача *. Дано n произвольных квадратов. Докажите, что их мож1 Задача. Докажите, что если число a + целое, то и число ak + но разрезать на части так, чтобы из полученных частей потом можно a ak тоже целое, k.

было сложить один квадрат.

С помощью индукции можно доказывать различные формулы, но при этом Задача *. На вечеринке собралось 12 супружеских пар. Встречанадо догадаться, как выглядит формула.

ясь, некоторые участники обменивались рукопожатиями (супруги, естественно, друг другу рук не пожимали). Мистер Браун опросил всех Задача. (а) Найдите сумму первых n натуральных чисел.

участников и выяснил, сколько рукопожатий сделал каждый из них.

(б) Найдите сумму первых n нечетных натуральных чисел.

Все названные числа оказались различными. Сколько раз пожимала (в) Докажите, что 12 + 22 + 32 + … + n2 = n(n + 1)(2n + 1)/6.

руку миссис Браун (г) Докажите, что 13 + 23 + 33 + … + n3 = (1 + 2 + 3 + … + n)2.

Задача. Найдите такое положительное число a, что {a} + = 1.

a Aр-. Целая и дробная части числа Задача. Изобразите на плоскости xOy множество точек, удовле( декабря г.) творяющих условию:

(а) [x + y] [x] + [ y];

Определение. Целой частью [x] числа x называется наиболь(б) {x} + {y} = 1;

шее целое число, не превосходящее x. Дробной частью x называется (в) [x] + [ y] + [x + y] [2x] + [2 y].

число {x} = x - [x].

Задача. Что больше:

Например, [2] = 2, [-3, 5] = -4, {-0, 5} = 0, 5, { 2} = 2 - 1.

35 35 35 + 2 · + 3 · + · · · + 22 · или Задача. (а) Дима знает, что [x] = 3, [ y] = 4. Может ли он вычис23 23 23 лить [x + y] 23 23 23 + 2 · + 3 · + · · · + 34 · (б) Другой Дима знает, что {x} = 0, 3, { y} = 0, 4. Может ли он вы35 35 35 числить {x + y} Задача. Обозначая дни недели от воскресенья до субботы числа- Задача. Сколько нулей на конце числа 2002! ми 0, 1, 2, …, 6, Миша придумал формулу Задача. (а) Докажите, что наибольшая степень простого числа n n день недели = 7 · {число/7}, p, делящая n!, есть + + … p pкоторая верна, если первое число месяца было понедельником. Как Какова наибольшая степень простого числа, делящая надо ее изменить, если первое число месяца было пятницей (б) (2n)!! = 2 · 4 · … · (2n);

(в) (2n + 1)!! = 1 · 3 · … · (2n + 1) Задача. Постройте графики функций:

(а) y = [x], y = {x};

Задача (решето Эратосфена). Пусть n, а p1, …, pr — все про (б) y = [x] + y = {x} + {-x};

стые числа, не превосходящие n. Выпишем в строчку все числа от [-x], x до n: 1, 2, 3, …, n. Начнем вычеркивать из этой строчки сначала все (в) y = 2 - [x], y = [x] {x}.

числа, кратные p1, потом кратные p2, и так далее до pr.

Задача *. Найдите такое наименьшее положительное (не обяза(а) Какие числа останутся невычеркнутыми Вычеркнуто ли само тельно целое) число x, что число n (а) [x2] - [x]2 = 2002; (б) {x2} - {x}2 =.

Pages:     | 1 |   ...   | 2 | 3 || 5 | 6 |   ...   | 16 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.