WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 14 | 15 ||

— среднее степенное положительных чисел x1, …, xn порядка, = 0.

Носителем кривой называется множество = (I) n.

Докажите, что:

Задача. Может ли носитель C-гладкой кривой на плоскости сов(а) S(x1, …, xn) S(x1, …, xn) при < ;

падать с графиком функции y = |x| на отрезке -1 x 1 (б) lim S(x1, …, xn) = max xi; lim S(x1, …, xn) = min xi.

+ i=1,…,n По одному и тому же пути можно пройти за разное время. Введем i=1,…,n (в) Найдите lim S(x1, …, xn).

Определение. Две хорошие параметризованные кривые 1 : I1 = [a, b] n и 2 : I2 = [, ] n называются эквивалентными, если найдется такая хорошая строго монотонная функция : [, ] [a, b], что [, ] 1(()) = 2() и обратная функция к тоже хорошая. Множество [] всех параметризованных кривых, эквивалентных данной, называется кривой, а выбор элемента из [] — параметризацией данной кривой.

Задача. Носители эквивалентных кривых, очевидно, совпадают.

Верно ли обратное Определение. Касательным вектором к параметризованной кривой в точке t (скоростью) называется вектор (t) = (1(t), 2(t), …, n(t)).

Определение. Длиной хорошей кривой [] называется b b |(t)| dt = (1(t))2 + (2(t))2 + … + (n(t))2 dt.

a a Задача. (а) Проверьте корректность этого определения.

(б) Докажите, что длина хорошей кривой равна пределу длин вписанных ломаных.

То есть непрерывной, раз непрерывно дифференцируемой, и т. п.

Плоские кривые Проверьте, что (а) можно рассматривать как функцию от s, Задача. Как выглядит формула длины d (б) 1, т. e. мы движемся с постоянной (по модулю) скоростью (а) для кривой — графика функции: y = f (x);

ds (б) для кривой, заданной в полярных координатах: = () и с ускорением, направленным … Задача. Найдите длину дуги d Определение. Величина k(s) = (s) (модуль ускорения) на (а) (параболы) x2 = 2py (p — расстояние от фокуса до директриdsсы); зывается кривизной кривой в точке (s). Нарисуйте картинку со всеми (б) (полукубической параболы) x3 = y2; действующими лицами! (в) (циклоиды) кривой, которую описывает точка колеса, катящеЗадача. Выразите k гося по прямой (одной арки);

(а) для произвольной параметризации, (г) (астроиды) x2/3 + y2/3 = 1;

(б) для кривой, заданной графиком y = f (x).

(д) (спирали Архимеда) = a при [0, 2];

Задача. Найдите кривизны (е) (кардиоиды) = 1 + cos (а почему она так называется);

(а) параболы, (б) гиперболы, (в) эллипса, (г) циклоиды.

(ж) кривой = ( + 1/)/2 при [1, 3].

Задача. Выразите k через полярные координаты.

К каждой задаче надо нарисовать картинку! Задача. Найдите кривизны Задача (эллиптический интеграл). Докажите, что длина грани(а) спирали Архимеда, (б) логарифмической спирали = aem, цы эллипса с полуосями a и b равна длине одной волны синусоиды (в) кардиоиды, (г) лемнискаты 2 = 2a2 cos 2.

y = c sin(x/b), где c = a2 - b2.

Не забудьте про картинки! Чтобы изучить локальное поведение кривой, нам понадобится особая техника. Пусть ( ·, · ) — евклидово скалярное произведение в n.

Задача. Докажите, что (а) (правило Лейбница) d (1(t), 2(t)) = (1(t), 2(t)) + (1(t), 2(t));

dt (б) |(t)| const t (t) (t), нарисуйте носитель и скорость в этом случае;

(в) если скорость постоянна по модулю, то ускорение перпендикулярно скорости.

Как вы уже поняли из задачи, даже для C-гладкой кривой носитель может быть «негладким». Правильное условие такое:

Определение. Кривая [] называется регулярной, если она (а) хорошая, (б) t |(t)| = 0.

Задача (натуральный параметр). Для любой регулярной криt вой есть одна замечательная параметризация s(t) = |(t)| dt.

То есть куска кривой от точки с абсциссой x0 до точки с абсциссой x1.

Задача. Докажите правило Лейбница для векторного произведения [ ·, · ].

Геом-. Формулы Френе По-прежнему у нас есть векторы скорости v и ускорения w, но в ( марта г.) они уже не составляют базиса — нужен еще один вектор.

Плоская кривая общего положения n-й степени задается n + 1 своей Определение. Вектор b = [v, n] называется бинормалью. (Как это точкой. Касательная прямая deg = 1 проходит через слипшиеся точки.

выглядит на картинке) Окружность кривизны deg = 2 — через три.

Задача (формулы Френе). Для регулярной нормально параметОпределение. Окружность, имеющая с данной кривой касание ризованной кривой верно следующее:

не ниже второго порядка (как это) называется окружностью кривизdv ны, а ее радиус R — радиусом кривизны в данной точке. Центром кри= 0 · v + k · n + 0 · b, ds визны называется центр этой окружности.

dn = -k · v + 0 · n - · b, Задача. Докажите, что ds (а) k = 1/R;

db = 0 · v + · n + 0 · b, (б) центр кривизны лежит на нормали в данной точке.

ds Указание. Теорема о неявной функции гласит, что в окрестности любой регде определяется из последнего равенства и называется кручением.

гулярной точки наша кривая является графиком функции (в некоторой прямоЗадача. Опишите все кривые угольной системе координат), а для этого случая все явно вычисляется.

(а) с нулевым кручением, Задача (формулы Френе). Если для регулярной кривой = (s) (б) с постоянными кручением и кривизной.

(s — натуральный параметр) k нигде не обращается в нуль, то:

Задача. Найдите кривизну и кручение кривых:

dv (а) (винтовая линия) (t) = (a cos t, a sin t, bt);

= 0 · v + k · n, ds (б) (t) = e-t(cos t, sin t, 1);

dn (в) (t) = a(ch t, sh t, t);

= -k · v + 0 · n;

ds (г) (t) = (t2 3/2, 2 - t, t3);

w (д) (t) = (3t - t3, 3t2, 3t + t3).

где v — вектор скорости, w — вектор ускорения, а n = — единичный |w| Нарисуйте картинку в каждом случае.

вектор нормали.

Задача *. Докажите, что если задана хорошая положительная Задача. Опишите все кривые с функция k(s) и хорошая функция (s), то кривая (s) восстанавлива(а) k 0, (б) k const.

ется однозначно, с точностью до движения пространства.

Задача. Докажите, что если задана хорошая положительная функЗадача *. (а) Сформулируйте формулы Френе для n.

ция k(s), то кривая (s) восстанавливается однозначно, с точностью до (б) Докажите их. (в) Однозначность.

движения плоскости.

Указание. Кососимметрические матрицы n n образуют касательную алКривые в пространстве гебру к группе Ли SO(n) движений в n.

Задача. Найдите длину следующих кривых:

(а) x = 3t, y = 3t2, z = 2t3 от (0, 0, 0) до (3, 3, 2);

(б) x = e-t cos t, y = e-t sin t, z = e-t, при t (0, +);

(в) ( y - x)2 = a( y + x), y2 - x2 = z2 от (0, 0, 0) до (x0, y0, z0).

Задача *. На сколько увеличится длина экватора, если радиус Земли увеличить на см (б) Какова вероятность того, что число 1 будет стоять на первом месте Ан-. Вероятности (в) Какова вероятность того, что число 3 будет идти раньше чис( апреля г.) ла 2, но после числа 1 (г) Какова вероятность того, что ни одна карта не будет стоять на Пусть задано конечное множество и каждому его элементу припипрежнем месте (карта с числом i не будет стоять на i-м месте) сано неотрицательное число, причем сумма этих чисел равна 1. Такое Задача. В лотерее надо указать 6 чисел от 1 до 49, при розыгрыше множество называют вероятностным пространством (конечным), его также выбирают случайно 6 чисел от 1 до 49. Какова вероятность элементы называют исходами, а приписанные им числа — вероятно(а) угадать все шесть чисел стями исходов.

(б) не угадать ни одного числа из шести Пример (n-кратное бросание «честной» монеты). Исходами яв(в) угадать ровно 5 чисел из шести ляются последовательности из n нулей и единиц (орлов и решек); все Определение. Условной вероятностью события A при условии исходы равновероятны (имеют вероятность 1/2n).

события B называют отношение Pr[A | B] = Pr[A и B]/ Pr[B]. (ПредпоОпределение. Событием называют множество исходов; вероятлагается, что Pr[B] > 0.) ностью события называют сумму вероятностей составляющих его исЗадача. Найти условную вероятность выпадения двух орлов в двух ходов. Если все исходы равновероятны, то вероятность события есть бросаниях, если известно что:

отношение числа «благоприятных» исходов (входящих в событие) к об(а) хотя бы один орел выпал;

щему числу исходов. Вероятность события A обозначают Pr[A].

(б) на первом шаге выпал орел;

(в) на втором шаге выпал орел.

Задача. Найти вероятность того, что при n-кратном бросании честной монеты Определение. Событие A называют независимым от события B, (а) не выпадет ни одного орла;

если Pr[A|B] = Pr[A].

(б) выпадет не более одного орла;

Задача. Доказать, что отношение независимости симметрично:

(в) выпадет хотя бы один орел;

если A независимо от B, то B независимо от A.

(г) выпадет ровно два орла;

Задача. (а) Будут ли события «выпало четное число» и «выпало (д) выпадет нечетное число орлов.

число, делящееся на 3» независимы при бросании кости (е) Какое событие при 100-кратном бросании честной монеты бо(б) Будут ли (для трех бросаний монеты) события «при первом бролее вероятно: выпадение 49 орлов или 50 орлов Во сколько раз сании монеты выпал орел» и «выпало ровно два орла» независимы Задача. (а) Каково вероятностное пространство для n-кратного (в) Тот же вопрос для событий «при первом бросании выпал орел» бросания «честной» игральной кости (на гранях написаны числа от и «число орлов нечетно».

до 6) Что вероятнее: при шести бросаниях получить хотя бы одну ше(г) Тот же вопрос для событий «при первом бросании выпал орел» стерку или не получить ни одной шестерки и «при втором и третьем бросании был хотя бы один орел».

(б) Игральную кость бросили два раза и результаты сложили. Какое Задача. Событие B и событие C независимы от события A. Можно значение суммы наиболее вероятно ли утверждать, что событие «B и C» независимо от события A Игральную кость бросили n раз.

Задача. Монету бросают n раз. Событие A определяется резуль(в) Какова вероятность выпадения ровно k шестерок татами первых k бросаний, событие B — результатами последних n - k (г) При каком k эта вероятность максимальна бросаний. Показать, что события A и B независимы.

Задача. Колоду из N карт, на которых написаны числа 1, …, N, Задача. Найти условную вероятность Pr[A|B], если известна тасуют в случайном порядке. условная вероятность Pr[B|A], а также безусловные вероятности Pr[A] (а) Каково соответствующее вероятностное пространство и Pr[B]. (Ответ к этой задаче называют формулой Байеса.) Задача *. Имеется N мешков по N монет, в каждом мешке фальшивых. Мы проверяем наугад по одной монете из мешка. Каковы вероятности найти среди них 0, 1, 2, … фальшивых (при N и фиксированном ) Задача *. В очередь за газетами ценой в полтинник становятся в случайном порядке n человек с полтинниками и n человек с рублями.

Какова вероятность того, что всем хватит сдачи, если изначально ни у них, ни у продавца других денег нет Сергеев П Валентинович етр М 57- Математический анализ Подписано в печать.. г. Формат 60 90 /. Бумага офсетная №.

Печать офсетная. Печ. л.. Заказ №.

Издательство Московского центра непрерывного математического образования, Москва, Большой Власьевский пер.,. Тел. () ––.

Книги издательства МЦНМО можно приобрести в магазине «Математическая книга», Большой Власьевский пер., д.. Тел. () ––. E-mail:biblio@mccme.ru

Pages:     | 1 |   ...   | 14 | 15 ||



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.