Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 13 | 14 || 16 |

Задача. (а) (Формула Ньютона-Лейбница.) Если F (1)([a, b]), (б) если f непрерывна в x0 [a, b], то дифференцируема в x0, x то d b b b причем (x0) = f (x0) (т. е. f (t) dt = f (x) в точках непрерывно def dx F(x) dx = F(x), где F(x) = F(b) - F(a). a a a a сти f ).

Указание. Так как интегралы существуют, то можно выбирать и самым Как искать первообразные Рассмотрим некоторые способы.

удобным образом.

Задача (интегрирование по частям).

(б) Верно ли, что если функция f дифференцируема на [a, b], то b b b f (1)([a, b]) (а) Если f, g (1)([a, b]), то f (x)g(x) dx = fg - g(x) f (x) dx.

a a a 2 57 / 1 (б) Сформулируйте и докажите аналогичную формулу для неопреЗадача. Вычислите (а) dx; (б) dx; (в) cos2(x) dx.

x + xделенного интеграла.

1 1 b Задача. Найдите Итак, чтобы вычислить f (x) dx, достаточно найти такую функ(а) x2 cos x dx; (б) loga x dx; (в) arcsin x dx, arccos x dx;

a цию F, что F(x) = f (x).

(г) arcsh x dx, arcch x dx.

Определение. Функция F называется первообразной функции f Задача (замена переменных).

на множестве M, если x M F(x) = f (x).

(а) Пусть f C([a, b]), C(1)([, ]), ([, ]) [a, b], () = a, b Задача (сколько их).

() = b. Докажите, что тогда f (x) dx = f ((t))(t) dt.

(а) Докажите, что если M — отрезок (интервал, луч), F1 и F2 — перa вообразные функции f на M, то F1 - F2 C = const.

(б) Сформулируйте и докажите: f ((x)) d(x) = F((x)) + C.

(б) Найдите первообразные функции f (x) = на ее области опреx Задача. Найдите деления.

(в) Опишите пространство первообразных, если M состоит из n (а) x dx ; (б) tg x dx, th x dx;

1 - xсвязных компонент. Какова его размерность dx dx (г) У любой ли интегрируемой на отрезке функции есть первооб(в) arctg x dx, arcth x dx; (г), ;

разная 1 - x2 1 + x dx dx x dx (д), ; (е).

1 - x2 1 + xАн-. Calculations 1 + x2 + (1 + x2) ( января г.) Задача *. (а) Вычислите 1 ± x2 dx.

2 y x (б) Найдите площадь внутренности эллипса + = 1. Definition. The moment of inertia of a rigid body with respect to some a b axis is I = r2dm, where dm is the mass of an infinitesimal volume element, P(x) Задача *. Как искать dx, где P(x) и Q(x) — многочлены i. e. dm = dV for a body with constant density, r is the distance from that Q(x) element to the axis. Here we’ll be dealing with objects of constant density.

Problem. (a) Find the moment of inertia of a stick with respect to the axis going through the middle of the stick perpendicularly to its direction (the length of the stick is L and its mass is M).

(b) Calculate the moment of inertia of a solid disk, with respect to the axis going through the center of the disk perpendicularly to its plane (the disk has mass M and radius R).

(c) The same as in b), but now with respect to an axis passing through the center of the disk and laying in its plane. (Hint: Think of the disk as of a collection of bars with different lengths.) (d) Repeat b) and c) for a ring of radius R and mass M.

(e) (Pythagorean theorem) Prove that for any solid body in the xyplane Iz = Ix + Iy. (Ik is the mom. of inertia with respect to k-axis) Problem. Now that you feel yourself comfortable with the moments of inertia, try to calculate the moments of inertia of:

(a) a hollow sphere (with respect to the axis going through the center of the sphere); (b) a solid sphere. (Hint: think of a solid sphere as of a collection of hollow spheres.) Definition. The position of the center of mass for a given rigid body is given by R = dm dm.

r Problem. (a) Find the center of mass for a semi-circle of radius R with uniform constant density.

(b) The same for a half-disk of radius R with uniform constant density.

Problem. (a) Find the center of mass for a hemisphere of radius R with uniform constant density.

(b) Ibid for a half of an ellipsoid with semi-axis a, b and b, cut in half along the a-axis.

Problem. In the th grade you learned in your physics course that the oscillation period of a pendulum is T = 2 (l/g). Now let’s find a cor rection to this formula: using conservation of energy one writes square of the velocity of a molecule in gas v2. Compare it to the most d dN probable speed obtained from = 0.

(1/2)l()2 = g(cos - cos 0), dv dv where 0 is the angle of maximum deflection for the pendulum and = Problem. Find the electric field along the axis of a uniformly charged = d/dt. Integrating we get the following formula for the period: ring. The ring has charge Q and radius R.

Problem. Find the electric field along the axis of a uniformly charged d T = 4 (l/2g). disk. The disk has charge Q and radius R.

cos - cos Problem (hydrogen Atom). Let us find the ground state energy of an electron inside the hydrogen atom. Probability to find a ground state Expanding cos = 1 - 2/2 + 4/24 (same for 0), expanding the inverse electron inside the atom is p(r) = |(r)|2 = (1/(a3))e-2r/a, where r is the square root in the integrand around 0 - 2 to the next-to-lowest order, and distance between the nucleus and the electron and a 5 10-11 m is the integrating over find the correction to the period.

Bohr radius. (By the way, do you know what is) The potential energy Hint. you may find the substitution = 0 sin useful to do the integral.

of the electron in the electric field of the nucleus is U(r) = -e2/(40r), where e is the magnitude of the electron’s (or proton’s) electric charge, 0 is Problem (is there any life on Mars). A spaceship approached Mars a constant that you might have seen in your Physics class. To find the ground and hung over it, being motionless with respect to the planet’s axis. At this state energy we need to integrate p(r)U(r)/2 over the whole space (1/2 is very moment a famous scientist James J. Jones saw little green humanoids due to virial theorem, which you do not know yet, but trust me on this one).

on Mars surface. He was dumb-founded: he absent-mindedly opened the The final result for the ground state energy is hatch and fell out of the spaceship. When would Dr. Jones fall on the inno cent creatures The radius of Mars is R, the radius of a ship orbit "— R.

E1 = 4r2 1 p(r)U(r) dr.

The mass of planet Mars is M. Estimate this time.

Hint. Use conservation of energy to construct differential equation Find this ground state energy by direct integration.

(1/2)(dr/dt)2 = GM(1/r - 1/R) Problem. For a comet moving in the gravitational field of the sun which you can turn into an integral. The potential energy of some mass m in gravithe solution of the equations of motion yields:

m M tational field of mass M is U = -G, where r is the distance between the centers r dr t = ;

of the two masses and G is Newton’s constant.

(2/m)(E - U(r)) - (L2/(m2r2)) min Problem. An ideal gas is adiabatically compressed (expanded) from (L/r2)dr some volume V1 to V2. Find the work done by the gas, if, P1, V1, V2 are =, (2m)(E - U(r)) - (L2/r2) min known.

Problem. The number of gas molecules having velocity in the interval where E is the energy of the comet, m is its mass, t is the time, (, ) are the (v, v + dv) is polar coordinates, U(r) is the potential energy, L is some constant (angular momentum). For a comet with E = 0 coming to Sun from infinity, show that dN = Cv2e-mv /2kT dv, GM the trajectory is a parabola. The potential energy is U(r) = -, G is the r where m is the mass of a molecule, T is the temperature, k is the Boltzmann gravitation (Newton’s) constant, M is the mass of the Sun.

constant, C is some constant irrelevant to the problem. Find the average LWhen E = 0: min =.

2mMG Truly speaking, they may be not the same he saw.

(ti)(ti)(t)i A mean value of variable is, by definition, =, where is a density (ti)(t)i of.

. Теорема о промежуточном значении для непрерывных функций.

Непрерывное отображение отрезка в себя имеет неподвижную точку.

Вопросы к экзамену по математическому анализу. Классификация разрывов. Разрывы монотонной функции, кри(январь ) терий непрерывности. Теорема об обратной функции (непрерывный случай). Логарифмическая и обратные тригонометрические функции,. Аксиоматическое введение действительных чисел. АП и АП. На- их непрерывность.

туральные числа и принцип математической индукции. Принцип Ар-. Производная. Формула f (x + h) = f (x) + Ah + o(h). Непрерывхимеда. ность дифференцируемой функции. Производная суммы, разности, про. Предел и предельные точки последовательности. Предельный пе- изведения, частного. Производные многочленов, тригонометрических реход и арифметические операции. функций.

. Последовательности. Предельный переход и неравенства. Лемма. Второй замечательный предел. Производные показательной, лоо двух милиционерах для последовательностей. гарифмической, степенной функции.

. Последовательности. Аксиомы полноты АП, АП, АП.. Производная сложной функции. Теорема об обратной функции. Представление действительных чисел десятичными дробями. (дифференцируемый случай).

. Представление действительных чисел цепными дробями.. Теоремы Ферма, Ролля, Лагранжа. Необходимое условие экстре. Аксиома полноты и принцип вложенных отрезков (АП). Лемма мума.

Гейне—Бореля (отрезок — компакт).. Производная и неравенства. Достаточные условия экстремума.

. Число e как предел и как сумма ряда. Число e с точностью до 0,01.. Разложение в ряд Тейлора. Остаточный член в форме Лагранжа.

Иррациональность числа e.. Правило Лопиталя.

. Длина окружности и число. 3 < < 4.

. Длина дуги и тригонометрические функции числового аргумента.

. Сходимость геометрической прогрессии. Признаки Коши и Даламбера сходимости ряда.

. Критерий Коши сходимости ряда. Сходимость и абсолютная сходимость. Теорема Римана (для ).

. Предел функции по Коши и по Гейне. Арифметические свойства предела. Предельный переход в неравенствах. Односторонний предел, теорема о пределе монотонной функции.

. Предельный переход в неравенствах. Лемма о двух милиционерах для функций. Первый замечательный предел. Число e как предел функции.

. Непрерывные функции, локальные свойства. Арифметические свойства непрерывных функций. Непрерывность сложной функции.

. Непрерывность элементарных функций (многочлены, тригонометрические и показательная функции).

. Топология в. Компакты в, критерий компактности.

. Непрерывные на функции, критерий непрерывности. Непрерывный образ компакта — компакт.

. Свойства непрерывных на компакте функций. Следствия для отрезка.

(б) Дайте определения выпуклой вверх функции.

Геом-. Выпуклость Задача. (а) Докажите, что a + b > 2 a512 + b512 > 2;

(б) докажите, что a + b > 2 a57 + b57 > 2.

( февраля г.) Задача. (а) Докажите, что выпуклая на интервале (a, b) функция Определение. Геометрическая фигура называется выпуклой, ес- непрерывна на нем.

ли вместе с любыми двумя своими точками содержит соединяющий их (б) Верно ли это для отрезка [a, b] отрезок. (в) Верно ли, что выпуклая на (a, b) функция дифференцируема (г) Докажите, что если f выпукла на всей числовой оси и ограниЗадача. Верно ли, что чена, то она постоянная.

(а) объединение, (б) пересечение, (в) разность, (г) симметрическая разность, (д) проекция выпуклых множеств — Задача. (а) Докажите, что если функция f : (a, b) выпукла выпуклое множество вниз, то при всех x (a, b) существуют правая и левая производные:

Задача. Планета имеет форму выпуклого многогранника, приf (x + h) - f (x) f±(x) = lim ;

чем в его вершинах расположены города, а по его ребрам идут дороги.

h h±Две дороги закрыты на ремонт. Докажите, что из любого города можно (б) при этом f-(x) f+(x).

проехать в другой по оставшимся дорогам.

(в) Докажите, что при x < y f+(x) f-( y).

Задача (теорема Хелли).

(г) Докажите, что выпуклая на интервале функция дифференциру(а) На плоскости даны 4 выпуклые фигуры, причем любые три из ема на нем всюду, кроме, быть может, счетного числа точек.

них имеют общую точку. Докажите, что тогда и все они имеют общую Задача. Докажите, что если f C(1)((a, b)), то f выпукла вниз точку.

график f лежит в верхней полуплоскости относительно любой своей (б) На плоскости даны n выпуклых фигур, причем любые три из касательной.

них имеют общую точку. Докажите, что тогда и все они имеют общую Задача (критерии выпуклости).


(а) Для того, чтобы дифференцируемая на (a, b) функция f была (в) На плоскости даны n точек, причем любые три из них можно выпуклой вниз на этом интервале, необходимо и достаточно, чтобы ее накрыть кругом радиуса 1. Докажите, что тогда и все n точек можно производная f возрастала (возможно, нестрого);

накрыть кругом радиуса 1.

(б) если у f есть на (a, b) также и вторая производная, то выпук(г) Сформулируйте и докажите аналогичную теорему для n.

лость вниз f 0 на (a, b).

(д) (Теорема Юнга.) Если X — конечное подмножество n, причем Задача (неравенство Йенсена). Если функция f : (a, b) вы диаметр X не превосходит 2, то существует замкнутый шар радиу2n пукла вниз, t1, …, tn (a, b), 1, …, n 0, 1 + … + n = 1, то са, покрывающий X.

n + f (1t1 + … + ntn) 1 f (t1) + … + n f (tn).

Пусть I — промежуток.

Определение. Функция f : I называется выпуклой вниз, если множество точек, лежащих над ее графиком, выпукло.

Задача. (а) (Неравенство Коши.) При x1, …, xn > Определение. Функция f : I называется выпуклой вниз, если n x1 · … · xn (x1 + … + xn)/n.

x1, x2 I [0; 1] f (x1 + (1 - )x2) f (x1) + (1 - ) f (x2).

(б) (Неравенство Коши—Буняковского.) (Нарисуйте картинку!) 2 2 2 x1 y1 + … + xn yn (x1 + … + xn)( y1 + … + yn ).

Задача. (а) Докажите, что определения и эквивалентны.

То есть подмножество точек плоскости, прямой или пространства. Hint. Возьмите f (t) = t2.

(в) (Неравенство Г ельдера.) При p, q > 0, 1/p + 1/q = 1, xi, yi p q p q Геом-. Геометрия кривых x1 y1 + … + xn yn (x1 + … + xn )1/p( y1 + … + yn )1/q ( марта г.) (при p = q = 2 это —...).

(г) (Неравенство Минковского.) При p > 1, xi, yi Для указания координат вектора в геометрии используются только p p p p верхние индексы, нижние индексы используются для ковекторов, кото((x1 + y1)p + … + (xn + yn)p)1/p (x1 + … + xn )1/p + ( y1 + … + yn )1/p рые живут по другим законам.

(при p = 2 это — неравенство треугольника в n, и следует из пункОпределение. Хорошей параметризованной кривой в n называта (б)).

ется такое отображение Задача (неравенства о средних). Пусть : I = [a, b] n; t (t) = (1(t), 2(t), …, n(t)), 1/ x1 + … + xn что все функции i(t) — хорошие. Определения замкнутой, несамопеS(x1, …, xn) = n ресекающейся кривой и т. п. самоочевидны.

Pages:     | 1 |   ...   | 13 | 14 || 16 |

© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.