WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 12 | 13 || 15 | 16 |

n мер, когда все an > 0, an 0, а ряд Лейбница расходится;

(о) ряд для ln(1 + x); (п) n! ; (р) 1 ;

n (б) (Признак Абеля.) Если (an) монотонна и ограничена, а ряд nn n n bn сходится, то ряд anbn сходится.

sin(nx) (с) n xn (n — n-е число Фибоначчи); (т).

(в) (Признак Дирихле.) Если (an) монотонна и an 0, а частич- n ные суммы bn ограничены, то ряд anbn сходится. Задача (при перестановке слагаемых...). Докажите следующие утверждения.

Указание. Воспользуйтесь преобразованием Абеля (а) Сумма абсолютно сходящегося ряда не зависит от порядка его n n членов.

akbk = an+1Bn - (ak+1 - ak)Bk.

(б) (Теорема Римана.) Если ряд сходится неабсолютно (условно), k=1 k=то можно так переставить слагаемые, что ряд станет сходиться к проСледующие два признака верны и в комплексных числах.

извольному числу; а можно переставить и так, чтобы ряд стал расходяn (г) (Признак Коши.) Если существует предел q = lim |an|, то при щимся.

n q < 1 ряд an сходится (абсолютно), при q > 1 ряд an — расходится, (в) В комплексной области множество сумм рядов, полученных из при q = 1 ничего сказать нельзя.

данного сходящегося ряда, есть либо точка (абсолютная сходимость), |an+1| либо прямая (если...), либо вся комплексная плоскость. Привести со(д) (Признак Даламбера.) Если существует предел q = lim, n |an| ответствующие примеры.

то...

Задача (арифметические операции). Сформулируйте и докаЗадача * (-функция Римана).

жите:

(а) сходящиеся ряды можно складывать, вычитать, умножать на чис(а) При каких действительных s сходится ряд (s) = ns ло;

1 -(б) (Эйлер.) Докажите, что (s) = 1 - (произведение по (б) абсолютно сходящиеся ряды можно перемножать, при этом все ps равно как;

всем простым числам). (Это уже равенство числовых, а не формальных (в) при перемножении сходящихся рядов может получиться расхорядов!) дящийся ряд. Приведите пример, когда произведение рядов зависит от (в) Докажите, что при Re (s) > 1 этот ряд тоже сходится и что в данспособа их перемножения.

ной области -функция не имеет нулей. Кстати, известная гипотеза Задача * (суммы и произведения). Докажите, что если 0 < an < 1, Римана утверждает, что все нетривиальные (а тривиальные — это ка то ряд расходится тогда только тогда, когда кие) нули -функции (точнее аналитического продолжения суммы an и данного ряда) расположены на прямой Re (s) = 1/2.

(а) (1 + an) = ; (б) (1 - an) = 0.

Задача *. Вычислите бесконечные произведения:

Задача. Выяснить, сходятся ли (и при каких значениях парамет 1 2 n ров) ряды:

(а) 1 - ; (б) 1 - ; (в) (1 + x2 );

1 1 1 1 1 1 1 n2 n3 + (а) 1 + + + + + …; (б) 1 - + - + - …; 2 4 6 8 3 5 7 x (г) (Виет) 2 2 + 2 + … + 2 ; (д) cos ;

2n (в), без слагаемых, содержащих цифру ;

n x (е) (Эйлер) 1 -.

1 1 1 1 1 1 1 n (г) 1 - - + - - + - - + …;

2 4 3 6 8 5 10 (n) (д) Верно ли, что если x n f (x) = 0, то f (x) — многочлен Ан-. Производная. Инфинитезимальные свойства Определение. Пусть U — окрестность точки a. Будем гово( октября г.) рить, что две функции f, g C(n)(U) эквивалентны в точке a, если они совпадают в некоторой окрестности этой точки. Класс эквивалентных Определение. Пусть U — открытое множество. Множество нев данной точке a функций называется ростком в точке a.

прерывных на U функций обозначается C(U). Обозначим через C(n)(U) Локальные свойства функции — это те, которые верны для всего множество функций, имеющих n непрерывных производных на U:

ростка.

(n) (n) C(n)(U) = f C(U): x U f (x) и f C(U).

Задача. Приведите пример Про такие функции говорят, что они имеют гладкость порядка n. Функ(а) двух различных дифференцируемых функций из одного ростка;

ции класса C(U) (см. задачу ) называются бесконечно гладкими.

(б) двух различных бесконечно гладких функций из одного ростЗадача. Что такое C(U) ка.

Задача. Для каждого n приведите пример функции, принадЗадача. Определим сложение на ростках. Для двух данных ростлежащей классу C(n), но не C(n+1).

ков выберем по представителю f (x) и g(x) из каждого класса. Тогда Задача (кратность корня). Пусть U — окрестность точки a суммой этих ростков назовем класс, содержащий функцию ( f + g)(x).

и f C(U). Докажите, что: (а) Проверьте корректность данного определения и определите (а) (теорема Безу) остальные операции над ростками.

(б) Определите дифференцирование на ростках.

f (a) = 0 (x) C(U): f (x) = (x - a)(x) Задача (гомоморфизм Тейлора). Построим отображение из (т. е. f (x) делится на (x - a));

ростков бесконечно гладких функций в нуле в формальные ряды. Пусть (k-1) (k) (б) если f (a) = f (a) = … = f (a) = 0, а f (a) = 0, то k = max {n:

f — функция из данного ростка. Сопоставим этому ростку ряд:

f (x) делится на (x - a)n}. Число k называется кратностью корня a.

f (0) f (0) f (0) (в) Может ли корень a иметь бесконечную кратность, если f (x) = f (0) + x + x2 + x3 + … 1! 2! 3! при x = a Проверьте, что это отображение Задача (многочлен Тейлора). Пусть f — бесконечно гладкая (а) корректно, функция на прямой, n.

(б) сохраняет операции сложения, вычитания и произведения (т. е.

(а) Докажите, что существует единственный многочлен P степени, является гомоморфизмом), не превосходящей n, значение и первые n производных которого в нуле (в) уважает дифференцирование.

совпадают со значением и первыми n производными f в нуле. Найдите (г) Приведите пример различных ростков, переходящих в один и коэффициенты многочлена P.

тот же ряд. (Это означает, что наш гомоморфизм имеет ненулевое яд(б) Докажите, что любой многочлен P степени n можно предстаро.) вить в виде (д) Докажите, что для каждого формального ряда найдется росток, P(x0) P(x0) P(n)(x0) P(x) = P(x0) + (x - x0) + (x - x0)2 + … + (x - x0)n, переходящий в него. (А это означает, что наш гомоморфизм сюръекти1! 2! n! вен, т. е. является эпиморфизмом.) где x0 — произвольная точка прямой.

(е) Постройте аналогичный гомоморфизм из ростков бесконечно (в) Докажите, что существует единственный многочлен P степени, гладких функций в произвольной точке x0 в формальные ряды и проне превосходящей n, такой что функция f (x) - P(x) имеет в x0 корень верьте для него свойства (a)—(в).

кратности не ниже n+. Найдите коэффициенты многочлена P.

(n) (г) Верно ли, что если n x f (x) = 0, то f (x) — много- Задача (ряд Тейлора). Пусть U — окрестность точки a, f (x) член C(U(a)) (конечно, это слишком сильное условие).

(а) Сформулируйте и докажите, что Задача. Найдите пределы:

sin x -1/2 exp(x)(x -1)(а) lim x ln(x), ; (б) lim ; (в) lim ;

|x - a|n x0 x/6 cos x - 3/x1 ln x sin(x)| f (x)| M, n! cos x - exp (-x2/2) (г) lim tg(x) x - 1/2; (д) lim ;

x0 x(n) x1/2+где M = sup | f (x)|.

exp(x) sin(x) - x(1 + x) 7 (б) (Форма Лагранжа остаточного члена.) Докажите, что для лю(е) lim ; (ж) lim x7 + x5 - x7 - x5 ;

x0 x3 x+ бой точки x U(a) найдется такая точка, лежащая между a и x, что x3 + x2 - x - 1 x - (з) lim ; (и) lim ;

x-1 x3 + x2 + x + 1 x2 - 1 + 4x (n-1) (n) f (a) f (a) f () 1 - (cos x)sin x f (x) = f (a) + (x - a) + … + (x - a)n-1 + (x - a)n.

1! (n - 1)! n! (к) lim (x - x2 ln(1 + 1/x)); (л) lim ; (м) lim xx;

x+ x0 x3 x+tg(sin x) - sin(tg x) (в) Ослабьте условие бесконечной дифференцируемости в окрест- (н) (В. И. Арнольд) lim.

arctg(arcsin x) - arcsin(arctg x) xности и уточните про «лежать между».

(г) (Форма Пеано остаточного члена.) Докажите, что если функция f имеет в точке a все производные до порядка n включительно, то имеет место следующее равенство:

(n) f (a) f (a) f (x) = f (a) + (x - a) + … + (x - a)n + o((x - a)n).

1! n! (Разложение функций в ряд Тейлора с остаточным членом в форме Пеано удобно при вычислении различных пределов.) Задача. Разложите функции в ряд Тейлора в окрестности нуля и найдите область его сходимости:

(а) sin(x); (б) cos(x); (в) tg(x); (г) ex;

(д) arctg(x); (е) ln(1 + x); (ж) (1 + x),.

Задача *. Представьте в виде суммы ряда с рациональными членами числа:

(а) ; (б) e; (в) ln 2.

Оцените скорость сходимости в каждом случае.

Задача (правило Лопиталя).

(а) Пусть f (x), g(x) непрерывны на отрезке [a, b] и дифференцируемы на интервале (a, b), причем x [a, b] g(x) = 0. Тогда при f (a) = = g(a) = 0 верно, что f (x) f (x) lim = A lim = A.

g(x) g(x) xa+0 xa+(б) Сформулируйте и докажите аналогичное правило для f (a) = = g(a) =.

(в) Докажите, что для любых разбиений, выполняется неравенство S( f, ) s( f, ).

Ан-. Интеграл Римана (г) Докажите, что inf S( f, ) sup s( f, ).

( ноября г.) (д) Докажите, что ограниченная функция f интегрируема Пусть f — функция, определенная на отрезке [a, b]. Разбиением lim (S( f, ) - s( f, )) = 0.

отрезка [a, b] называется набор точек a = x0 < x1 < … < xn-1 < xn = b.

( )Диаметром разбиения называется число ( ) = max {xi - xi-1}.

i=1,…,n Задача * (теорема Дарбу). Докажите, что для ограниченной функПусть = (1, …, n), i [xi-1, xi] — произвольные точки, по одной из ции f верно:

каждого отрезка данного разбиения. Римановой суммой называется b сумма вида (а) f — интегрируема inf S( f, ) = sup s( f, ) = f (x) dx;

n a S( f,, ) = f (i)(xi - xi-1).

(б) если sup s( f, ) = inf S( f, ), то f интегрируема.

i= Определение. Функция f называется интегрируемой (по РимаЗадача. Докажите, что геометрическая фигура, ограниченная ну) на отрезке [a, b], если существует предел S = lim S( f,, ), т. е.

графиком интегрируемой неотрицательной функции и прямыми y = 0, ( )x = a, x = b (т. е. фигура под графиком), имеет площадь. Чему равно ее > 0 > 0 ( ) < |S( f,, ) - S| <. Число S назызначение вается интегралом функции f по отрезку [a, b] и обозначается через b Задача. Найдите (а) x dx;

f (x) dx или f (x) dx. Множество функций, интегрируемых на отa [a,b] (б) площадь под графиком кривой y = x2 на отрезке [0; 1];

резке [a, b], будем обозначать ([a, b]).

Задача. (а) Докажите, что интегрируемая на отрезке функция (в) cos x dx; (г) sin x dx.

ограничена на нем.

0 (б) Приведите примеры интегрируемой и ограниченной неинтегЗадача (критерий Коши). (а) Сформулируйте и докажите кририруемой функций.

терий Коши существования интеграла.

(в) Докажите, что если функцию изменить в конечном числе точек, (б) Докажите, что для ограниченной на отрезке [a, b] функции f то ни ее интегрируемость, ни значение интеграла не изменятся.

условие Пусть — произвольное разбиение отрезка [a, b]. Пусть n > 0 > 0 ( ) < ( f, [xi, xi-1])(xi - xi-1) < Mi = sup f (x), mi = inf f (x).

x[xi-1,xi] i=x[xi-1,xi] влечет интегрируемость f на [a, b].

Суммы вида (в) Верно ли обратное n n S( f, ) = Mi(xi - xi-1) и s( f, ) = mi(xi - xi-1) Задача (признаки интегрируемости). Докажите, что ограниченi=1 i=ная функция f интегрируема, если она называются верхней и нижней суммой Дарбу соответственно. (а) равномерно непрерывна на [a; b];

Задача. (а) Докажите, что если разбиение получено из разби- Колебанием ограниченной функции f на множестве M называется число ения добавлением точек, то S( f, ) S( f, ), s( f, ) s( f, ).

( f, M) = sup | f (x) - f ( y)|.

x, yM (б) Может ли при увеличении количества отрезков разбиения верх няя сумма Дарбу увеличиваться То есть > 0 > 0 x, x [a, b] |x - x| < | f (x) - f (x)| <.

b (б) непрерывна ( f — непрерывна на компакте f равномерно не(г) Если f C[a, b], f (x) 0 на [a, b] и f (x) dx = 0, то f (x) 0 на прерывна на нем);

a [a, b].

(в) монотонна;

(д) Постройте пример неотрицательной функции f (x), интегри(г) имеет конечное число точек разрыва;

b (д) имеет счетное число точек разрыва.

руемой на [a, b], f (x) dx = 0, которая отлична от нуля на более чем (е) Приведите пример интегрируемой функции, имеющей несчетa ное множество точек разрыва.

счетном подмножестве [a, b].

Задача (пространство интегрируемых функций). Докажите, Задача * (интеграл как непрерывный функционал).

что ([a, b]) — это (а) Докажите, что интеграл по отрезку [a, b] является непрерыв(а) векторное пространство, ным линейным функционалом на C([a, b]) (относительно метрики рав (б) -алгебра.

номерной сходимости) с нормой |b - a|.

(б) Докажите то же для функционала вида Hint. fg = 1/4(( f + g)2 - ( f - g)2), h h2.

b (в) Докажите, что f ([a, b]) | f | ([a, b]), верно ли обратное f f (x)g(x) dx, (г) Докажите, что пространство ([a, b]) бесконечномерно.

a Задача (интеграл как линейный функционал).

где g C([a, b]), и вычислите его норму.

(а) Докажите, что интеграл по отрезку [a, b] является линейным (в) Приведите пример непрерывного линейного функционала на функционалом на ([a, b]).

b C([a, b]), не имеющего такого вида, и вычислите его норму.

(б) То же для функционала вида f f (x)g(x) dx, где g ([a, b]).

(г) Приведите пример линейного функционала, не являющегося a непрерывным.

(в) Приведите пример линейного функционала на ([a, b]), не (д) Что можно сказать о непрерывности и норме функционала имеющего такого вида.

b Задача (интегрирование неравенств). Сформулируйте и докаf f (x)g(x) dx жите:

a b b на C([a, b]) при g ([a, b]) (а) f (x) g(x) f (x) dx g(x) dx;

a a Задача * (критерий Лебега). Функция f интегрируема по Рима b b ну на отрезке [a, b] ограничена на нем и множество точек ее раз (б) f (x) dx | f (x)| dx.

рыва имеет меру Лебега нуль. (Последнее означает, что это множество a a может быть покрыто счетным числом интервалов сколь угодно малой (в) (Первая теорема о среднем.) Если суммарной длины.) f, g ([a, b]), m = inf f (x), M = sup f (x), x[a,b] x[a,b] а функция g знакопостоянна на [a, b], то при некотором µ [m, M] имеет место равенство:

b b ( f · g)(x) dx = µ g(x) dx.

a a То есть элементы ([a, b]) можно складывать, перемножать и умножать на вещественные числа.

Определение. Множество всех первообразных функции f (на ее области определения) называют ее неопределенным интегралом и обоАн-. Формула Ньютона—Лейбница. Неопределенный значают f (x) dx.

интеграл Задача. Найдите все первообразные ( декабря г.) (а) многочлена; (б) x; (в) f (ax + b), если f (x) dx = F(x) + C;

(г) ax; (д) sin x, cos x; (е) sh x, ch x.

Обозначим через (1)([a, b]) множество дифференцируемых на отрезке функций с интегрируемой производной. А для непрерывной функции первообразную мы построим явно.

Задача. Докажите, что Задача. Пусть f — интегрируема на [a, b]. Тогда можно опреде(а) f ([a, b]) и [c, d] [a, b] f ([c, d]); лить функцию (б) c [a, b], f ([a, c]) и f ([c, b]) f ([a, b]) и x (x) = f (t) dt, x [a, b].

b c b a f (x) dx = f (x) dx + f (x) dx.

Докажите, что a a c (а) (x) непрерывна на [a, b];

Pages:     | 1 |   ...   | 12 | 13 || 15 | 16 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.