WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 11 | 12 || 14 | 15 |   ...   | 16 |

f (b) > 0, то на отрезке [a, b] найдется такая точка x, что f (x) = 0.

(д) Какого рода разрывы у функций Дирихле и Римана Доказательство. Запуская алгоритм деления пополам, получаем (е) Докажите, что монотонная функция может иметь разрывы тольточку x. Так как отрезок замкнут, то x [a, b]. Так как функция непреко первого рода.

рывна, то f (x) 0 (левые края) и f (x) 0 (правые края).

(ж) Докажите, что множество точек разрыва первого рода не более Следствие (теорема о промежуточном значении). Если чем счетно.

Предложение. Если функция f непрерывна в точке a, а функf C([a, b]), f (a) = A, f (b) = B, ция g — в точке f (a), то композиция (g f (x)) = g( f (x)) непрерывна то функция f принимает все значения C между A и B.

в точке a.

Доказательство. Рассмотрим окрестность W(g( f (a)) точки g( f (a)). Доказательство. Рассмотрите функцию g(x) = f (x) - C.

Из непрерывности g найдется такая окрестность V( f (a)), что Задача. (а) Докажите, что любой многочлен нечетной степени g(V D(g)) W, имеет корень.

(б) Докажите, что любое непрерывное отображение отрезка [0, 1] а из непрерывности f — такая окрестность U(a), что в себя имеет неподвижную точку (т. e. f (x) = x).

f (U D( f )) V.

Это частный случай теоремы Брауэра о том, что любое непрерывное отобТогда g( f (U) D( f )) W.

ражение круга, куба, шара, тетраэдра (со внутренностью)... в себя имеет непоПример. Функция tg(esin(x -5x)) непрерывна везде, где определена. движную точку.

Задача * (про еду). (а) Докажите, что можно разрезать блин ноТопологические свойства жом на две равновеликие части.

Задача *. Докажите, что при непрерывном отображении образ (б) Докажите, что можно разрезать два лежащих на тарелке блина компакта — компакт.

одним разрезом так, чтобы каждый был разделен на две равновеликие Hint. Definition of a compact + Lemma. части.

(в) Докажите, что можно так разрезать ножом бутерброд, чтобы в Теорема (Вейерштрасс). Функция, непрерывная на компакте, обеих частях было поровну хлеба, масла и сыра.

(а) ограничена на нем, (б) принимает на нем максимальное и минимальное значение. Гурманы могут считать блин многоугольником, а бутерброд — многогранником, или заменить их на другие ограниченные фигуры, имеющие площадь/ Доказательство. (а) По задаче у каждой точки компакта есть объем.

окрестность, в которой она ограничена. Эти окрестности задают покрытие компакта, которое имеет конечное подпокрытие. Осталось вы- Задача *. Пусть f C([0, 1]), f (0) = f (1). (а) Докажите, что на брать наибольшую (наименьшую) из верхних (нижних) граней для ко- графике f (x) найдется горизонтальная хорда длины 1/2.

нечного числа окрестностей. (б) На что можно заменить 1/2 в предыдущем утверждении Обратные функции Ан-. Производная. Конспект лекции и задачи Лемма (техническая). (а) Непрерывная функция f инъективна (т. e. f (x) = f ( y) x = y) тогда и только тогда, когда f строго мо- ( апреля г.) нотонна.

(б) Монотонная функция f : [a, b] тогда и только тогда непреОпределение. Будем говорить, что f (x) = o(g(x)) при x a, если рывна на отрезке [a, b], когда множество ее значений есть отрезок в некоторой проколотой окрестности точки a имеет место равенство с концами f (a) и f (b).

f (x) = (x) · g(x), где lim (x) = 0.

xa Доказательство. (а). Очевидно.. От противного по теореме о В частности, f (x) = o(1) при x a тогда и только тогда, когда промежуточном значении.

lim f (x) = 0.

(б). Следует из теоремы о промежуточном значении.. От проxa тивного. По задаче во множестве значений найдется дырка вида Пример (зависимость от базы).

( f (a - 0), f (a)) или аналогичного.

а) x = o(1) при x 0; б) x = o(1) при x 57;

Задача (контрпримеры). Покажите, что если в предыдущей лемв) x2 = o(x) при x 0; г) x = o(x2) при x ;

ме что-нибудь изменить или убрать, то все станет неверно.

Тем не менее, когда все o-малые рассматриваются при одной базе, уточнеТеорема (об обратной функции). Пусть f C([a, b]), f строго ния вида x a обычно опускаются.

возрастает на [a, b]. Тогда определена обратная функция Задача (арифметика o-малых). Докажите, что -(а) o(1) + o(1) = o(1); (б) o(57 f ) = o( f );

f : [ f (a), f (b)] [a, b], (в) o(1) - o(1) = o(1); (г) o(1) · o(1) = o(1);

которая строго возрастает и непрерывна на отрезке [ f (a), f (b)]. Ана(д) o(x) + o(x2) = o(x2) при x ;

логичное верно и для строго убывающих функций.

(е) если h(x) локально ограничена в окрестности точки a, то при Доказательство. Из леммы (б) () следует, что множество знаx a верно, что чений f есть [ f (a), f (b)], а из леммы (б) () следует непрерывность -1 f (x) = o(g(x)) f (x) · h(x) = o(g(x)).

f (x).

Задача. Определите логарифм, корень, обратные тригонометрические функции и проверьте их непрерывность.

Пример. ln(1 + x) = x + o(x) при x 0.

Действительно, ln(1 + x) lim = lim ln(1 + x)1/x = ln lim(1 + x)1/x = ln(e) = 1, x x0 x0 xq.e.d.

Задача (второй замечательный предел). Докажите, что ex = 1 + + x + o(x) при x 0.

Определение. Функция f называется дифференцируемой в точке a (a D( f ), a — предельная точка D( f )), если в некоторой окрестности точки a ее приращение f (x) - f (a) может быть представлено в виде f (x) - f (a) = A · (x - a) + o(x - a), A. () Число A называется производной функции f в точке a и обозначается df df через f (a) (а также через (a) и ).

dx dx x=a f Задача. (а) Докажите, что в условиях определения число A опреЕсли к тому же g(a) = 0, то и отношение дифференцируемо в a, при g f (x) - f (a) делено однозначно, причем A = lim. чем x xa - a f (a)g(a) - f (a)g(a) f (б) Докажите, что функция f дифференцируема в точке a тогда и (a) =.

g g2(a) f (a + h) - f (a) только тогда, когда существует предел lim.

h hДоказательство. Докажем утверждение про произведение.

Для большего разнообразия мы будем постоянно переходить с языка o-ма( f · g)(a + h) - ( f · g)(a) = f (a + h)g(a + h) - f (a)g(a) = лых на язык пределов и обратно.

= ( f (a) + f (a)h + o(h))(g(a) + g(a)h + o(h)) - f (a)g(a) = Пример. (а) 57 = 0; (б) x = 1;

(в) (x2) = 2x. Действительно, = ( f (a)g(a) + f (a)g(a))h + o(h) (x + h)2 - x2 = (2x)h + h2 = (2x)h + o(h). (см. задачу ).

Задача. (а) Докажите остальные утверждения теоремы.

(г) sin(x) = cos(x). Действительно, (б) Вычислите производную многочлена.

sin(x + h) - sin x 2 sin(h/2) cos(x + h/2) (в) Дифференцируема ли рациональная функция lim = lim = h h h0 h(г) Вычислите производные тангенса и котангенса.

sin(h/2) Вычислите производные функций:

= lim cos(x + h/2) = cos x.

h/h(д) -3x3 - ; (е) 1,5e2x - 2x-3 sin x; (ж) tg(/4 - x) + logx(2).

x + (д) ln(x) = 1/x. Действительно, из примера следует, что Задача. Приведите пример определенной на функции, такой ln(x + h) - ln(x) = ln(1 + h/x) = h/x + o(h/x) = (1/x)h + o(h).

что (а) f нигде не существует;

Задача. (а) Сформулируйте и докажите: (c · f )(a) = c · f (a).

(б) f существует ровно в одной точке;

(б) Вычислите производные косинуса и экспоненты.

(в) f существует везде, но не везде непрерывна;

1 1 (в) Вычислите производные функций sin, x sin, x2 sin в (г) f нигде не существует, но f всюду непрерывна.

x x x точке 0, доопределив эти функции в нуле по непрерывности.

Теорема (производная сложной функции). Если функция f диф(г) Сформулируйте и докажите:

ференцируема в a, а функция g дифференцируема в b = f (a), то компо зиция g f дифференцируема в a, причем (g f )(a) = g(b) · f (a).

df (ax + b) df = a.

dx dx x=x0 x=ax0+b Доказательство.

(д) Вычислите производные функций sin(5 - 7x), loga(x), ax.

(g f )(a + h) - (g f )(a) = g( f (a + h)) - g( f (a)) = g( f (a) + t) - g( f (a)), Предложение. Если функция дифференцируема в точке a, то она где t = f (a + h) - f (a). Так как t 0 при h 0, то из дифференцируемонепрерывна в a.

сти g в b = f (a) следует, что Доказательство. Очевидно следует из ().

(g f )(a + h) - (g f )(a) = g(b + t) - g(b) = g(b)t + o(t).

Задача. Докажите, что обратное утверждение неверно (приведи Заметим, что t = f (a + h) - f (a) = f (a)h + o(h), а o(t) = o(h), откуда те пример для случая, когда a — предельная точка D( f )).

(g f )(a + h) - (g f )(a) = g(b) f (a)h + o(h), Теорема (арифметические свойства). Если функции f и g дифференцируемы в точке a (a — предельная точка D( f ) D(g)), то и их сумма и произведение дифференцируемы в точке a, причем Задача. Вычислите производные функций:

( f + g)(a) = f (a) + g(a), ( fg)(a) = f (a) · g(a) + f (a) · g(a). (а) x; (б) ln2( x - 1); (в) xx; (г) logx(x).

Теорема (об обратной функции). Пусть функции f : X Y и (в) Примените (a) к функции -g : Y X взаимно обратны (т. e. g = f ). Если функция f дифференF(x) = f (x)(g(b) - g(a)) - g(x)( f(b) - f (a)).

цируема в точке a, причем f (a) = 0, а функция g непрерывна в точке Остальные утверждения в этом листке будут по большей части следствием b = f (a), то функция g также дифференцируема в точке b = f (a), притеоремы Лагранжа.

чем g(b) = 1/ f (a).

Задача. (а) Нарисуйте картинки к теоремам Ролля и Лагранжа.

Доказательство. Аналогично задаче.

Почему они называются «теоремами о среднем» Задача. (а) Проведите это доказательство. (б) Докажите, что если x [a, b] f (x) = 0, то f = const на [a, b].

(б) Зачем нужны условия « f (a) = 0» и «g непрерывна в b = f (a)» (в) Для каких множеств M верно, что ( f 0 на M) f = const (в) Вычислите производные обратных тригонометрических функ- на M ций. (г) Докажите, что двигаясь по прямой со скоростью, не большей V, нельзя за время T уехать дальше, чем на VT.

Теорема (Ферма). Если функция f : U(a) дифференцируема (д) Докажите, что двигаясь (на плоскости или в пространстве) со в точке a, и f имеет в a локальный экстремум (максимум или мини скоростью, не большей V, нельзя за время T уехать дальше, чем на VT.

мум), то f (a) = 0.

(е) Далеко ли можно добраться на автомобиле по прямой дороге, Доказательство. Если a — точка локального минимума, то если через час надо вернуться, а ускорение машины не превосходит (по f (a + h) - f (a) модулю) 10 м/с2 0 при h > 0 и h Теорема. Если f — дифференцируема на (a, b), то f (a + h) - f (a) (a) f — не убывает (не возрастает) на (a, b) f |(a,b) 0 ( 0);

0 при h < 0.

h (б) f |(a,b) > 0 f (строго) возрастает на (a, b), f |(a,b) 0 f не Теорема Ферма дает необходимое условие экстремума во внутренней точке убывает на (a, b).

для дифференцируемой функции: f (a) = 0.

Аналогично для f < 0 ( f 0).

Следствие (теоремы о среднем). Если функция f : [a, b] не- Доказательство. Немедленно следует из теоремы Лагранжа.

прерывна на [a, b] и дифференцируема на (a, b), то:

Задача. (а) Приведите примеры, когда п. б) теоремы нельзя (a) (Ролль) f (a) = f (b) (a, b) f () = 0;

усилить.

(б) (Лагранж, теорема о конечном приращении) (б) Верно ли, что если f (a) > 0, то в некоторой окрестности точки a функция f возрастает (a, b) f (b) - f (a) = f () · (b - a).

(в) Докажите, что если f |(a,b) > 0 и f непрерывна на полуинтервале (в) (Коши) Пусть функции f и g отвечают условиям теоремы Ла[a, b), то f (строго) возрастает на [a, b).

гранжа. Тогда на интервале (a, b) найдется такая точка, что (г) Докажите, что ex > 1 + x при x = 0.

(д) Докажите, что ex > 1 + x57/57! при x > 0.

g()( f (b) - f (a)) = f ()(g(b) - g(a)).

(е) Докажите, что 2ab ln(b/a) < b2 - a2 при 0 < a < b.

Доказательство. (а) Непрерывная на отрезке функция f принима(ж) Сравните e и e;

ет наибольшее и наименьшее значения в точках xM, xm [a, b]. Если (з) Сравните 19005/7 + 995/7 и 19995/7.

обе эти точки лежат на границе отрезка, то f const; для внутренней (и) Сравните cos(2005) и 1 + cos(2004).

точки f = 0 по теореме Ферма.

Следующая теорема дает достаточное условие экстремума.

(б) Примените (a) к функции Теорема. Пусть функция f : U(a) непрерывна в точке a и F(x) = f (x)(b - a) - x( f(b) - f (a)).

дифференцируема в (a). Тогда:

(a) f |U+ > 0 и f |U- > 0 f не имеет экстремума в a;

(a) (a) То есть в некоторой (быть может, меньшей) окрестности точки a верно, что f (x) f (a) (б) f |U+ > 0 и f |U- < 0 f имеет (строгий) минимум в a;

( f (x) f (a)).

(a) (a) (a) f |U+ < 0 и f |U- < 0 … (a) (a) (б) f |U+ < 0 и f |U- > 0 … (a) (a) Одиннадцатый класс Доказательство. Следует из теоремы Лагранжа (см. (в)).

Ан-. Числовые ряды Следствие. Если в условиях предыдущей теоремы функция f име ет в точке a также первую и вторую производную и f (a) = 0, то ( сентября г.) f (a) > 0 (< 0) в точке a функция f имеет минимум (максимум).

Определение. Пусть (an) — последовательность чисел. Выраже При f (a) = 0 ничего сказать нельзя.

ние (формальное) an = a1 + a2 + … + an + … называется рядом, а чисЗадача. (а) Докажите это следствие.

n n=(б) Что можно сказать, если несколько первых производных равны ло Sn = ak = a1 + a2 + … + an — n-й частичной суммой ряда. Если су k=нулю ществует конечный предел lim Sn = S, то ряд an называется сходяn n= щимся, а число S — суммой ряда (S = an).

n=Задача. Докажите, что (а) для любой последовательности (Sn) есть (и притом только один) ряд, такой что Sn — его частичные суммы;

(б) сходимость ряда (но, конечно, не его сумма) не изменится, если изменить конечное число членов ряда;

(в) если ряд an сходится, то lim an = 0, обратное неверно.

n n=Задача. Доказать сходимость и найти суммы рядов:

1 1 1 (а) + ; (б) ; (в).

5n 7n n(n + 2000) n(n + 1)(n + 2) n=1 n=1 n= Задача (критерий Коши). Ряд an сходится тогда и только то n= an гда, когда > 0 N n > N m 0 + an+1 + … + an+m <.

Задача. Сходятся ли (и при каких x) ряды:

sin(nx) (а) ; (б) sin(nx) (в) Найдите сумму ряда а).

2n Задача (неотрицательные ряды). Докажите, что если все члены ряда неотрицательны, то:

(а) сходимость все частичные суммы ограничены (одним и тем же числом);

(б) его сумма не зависит от порядка членов.

(в) (Мажорантный признак сходимости.) Если начиная с некоторого N 0 an bn, то bn — сходится an — сходится ( an — расходится bn — расходится).

Определение. Ряд an называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд |an|.

1 1 Задача. Докажите, что абсолютно сходящийся ряд сходится, об(д) ; (е), a > 0; (ж) 5n sin ;

7n 1 + an ратное неверно. n(n + 2000) 2 + (-1)n (-1)n Задача (признаки сходимости). Докажите следующие признаки.

(з) (-1)n ; (и) ;

n n + (-1)n (а) (Признак Лейбница.) Если последовательность (an) монотон xn но убывает и an 0, то ряд a1 - a2 + a3 - … сходится; приведите при- (к) nxn; (л) ; (м) n!xn; (н) ряды для ex, sin x, cos x;

Pages:     | 1 |   ...   | 11 | 12 || 14 | 15 |   ...   | 16 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.