WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 10 | 11 || 13 | 14 |   ...   | 16 |

n + 1 n Число A называется пределом f (x) при x a, если Пусть Mn — центр окружности, описанной вокруг An, Bn и начала ко > 0 > 0: x D( f ) (0 < |x - a| < ) (| f (x) - A| < ).

ординат. Найдите lim Mn.

n Обозначение: A = lim f (x).

Задача. На стол кладутся спички так, что каждая следующая отxa кладывается от конца предыдущей в направлении, перпендикулярном Пример. (а) lim 2x = 4.

к линии, соединяющей общую точку с началом первой спички. Полуxчается развертывающаяся спираль. (б) Не существует предела (x) при x 0, ( (x) — функция Хеви(а) Сделает ли она 2000 оборотов вокруг точки O сайда).

(б) К чему стремится расстояние между соседними витками (в) lim x sin = 0 (см. также лемму б)).

x xЗадача. (а) Зачем нужны условия «|x - a| > 0» и «a — предельная точка D( f )» (б) Докажите, что определение предела можно переформулировать в терминах проколотых окрестностей:

lim f (x) = A V (A) D( f )(a): f (D( f )(a)) V (A).

xa Теорема (единственность предела). Пусть a — предельная точка D( f ). Тогда (lim f (x) = A) (lim f (x) = B) A = B.

xa xa Доказательство. Аналогично доказательству единственности предела последовательности.

Задача. (а) Дайте определение ограниченной (сверху, снизу и т. д.) функции, локально ограниченной (в окрестности некоторой точки) функции.

(б) Дайте определение проколотой окрестности бесконечности, то найдется такая проколотая окрестность (a) и число > 0, что сформулируйте соответствующие определения x (a) D( f ) верно неравенство f (x) > ( f (x) < -) (сохранение знака).

lim f (x), lim f (x), lim f (x) x x+ x(б) Если lim f (x) = A, lim g(x) = B, A < B, то найдется такая прокоxa xa и проверьте единственность предела в этом случае.

лотая окрестность (a), что x (a) (D( f ) D(g)) верно неравенЛемма. (a) Если функция имеет предел в точке, то она ограниство f (x) < g(x).

чена в некоторой ее проколотой окрестности.

(в) Если a — предельная точка D( f ) D(g), (б) Если lim f (x) = 0, а функция g(x) локально ограничена в прокоxa lim f (x) = A, lim g(x) = B, лотой окрестности точки a (причем a является предельной точкой xa xa множества D( f ) D(g)), то lim f (x) · g(x) = 0.

причем в некоторой проколотой окрестности (a) верно, что Доказательство. Очевидно.

x (a) (D( f ) D(g)) f (x) g(x), Теорема (арифметические свойства предела). Пусть a — предельная точка множества D( f ) D(g), lim f (x) = A, lim g(x) = B. Тогда то A B.

xa xa (а) lim( f + g)(x) = A + B, lim(k · f )(x) = k · A;

Доказательство. Так же, как для последовательностей, соблюдая xa xa (б) lim( f · g) = A · B; аккуратность с областями определения и т. п.

xa (в) Если B = 0, то в достаточно маленькой проколотой окрестно- Задача (лемма о двух милиционерах). Сформулируйте и дока f (x) f (x) A жите лемму о двух милиционерах для функций.

сти числа a дробь имеет смысл и lim =.

g(x) xa g(x) B Задача (первый замечательный предел). Докажите, что Обратите внимание, что в записи вида lim( f + g)(x) = lim f (x) + lim g(x) xa xa xa sin x lim = 1.

пределы слева и справа берутся по разным множествам.

x xДоказательство. (а) Так же, как для последовательностей.

(б) Сводится к лемме и предыдущему пункту с помощью Лемма (предел по Гейне). Если a — предельная точка D( f ), то lim( f (x) - A) · g(x).

lim f (x) = A тогда и только тогда, когда для любой последовательноxa xa сти (xn), где все xn D( f ) \ {a}, верно, что xn a f (xn) A.

Задача. Докажите п. в) теоремы.

Задача. Докажите лемму.

Задача. Найдите пределы функций:

Задача (число e как предел функции). Докажите, что (а) lim sin(2x); (б) lim sign(x) («signum» — знак);

xx/ x e = lim 1 +.

x2 - (в) lim. x x x2 - x - xТеорема (предельный переход и неравенства).

Теорема (предел монотонной функции). Пусть a — предель(а) Если ная точка множества D( f ) (-; a), а функция f (x) неубывает в некоlim f (x) > 0 (lim f (x) < 0), торой проколотой левой полуокрестности точки a. Тогда предел функxa xa ции f (x) при x a - 0 существует в том и только в том случае, ко Никакой «» в, конечно, нет, но проколотую окрестность бесконечности мы опрегда функция f (x) локально ограничена сверху в некоторой левой полуделить можем.

окрестности точки a. Аналогичное утверждение верно для локально Конечный предел (A ), других у нас пока нет.

sign(x) = 1 при x > 0, sign(x) = -1 при x < 0, sign(0) = 0. невозрастающих функций.

Доказательство. lim f (x) = sup f (x).

xa xU Геом-. Топология прямой.

Конспект лекции и задачи Задача. Дайте определение lim f (x) = ±, сформулируйте и доxa ( марта г.) кажите утверждения вида = 0.

f (x) Определение. Окрестностью точки x называется произвольЗадача. Вычислите предел lim, где f и g — многочлены.

x g(x) ный интервал, содержащий x.

Задача. Вычислите пределы:

Все вводимые далее понятия имеют смысл не только для прямой, но и для n (а) lim x; (б) lim( x - 1)/( x - 1); (в) lim ax (a = const);

плоскости, пространства, их подмножеств и вообще произвольных множеств, xa x1 xв которых грамотно определены окрестности.

ax (г) lim x ( = const); (д) lim.

x+ x+ xk Определение. Точка x по отношению к множеству M наОпределение. Пусть функция f ограничена на множестве M, M зывается:

D( f ). Колебанием функции f на множестве M называется число внутренней, если она содержится в M вместе с некоторой своей окрестностью;

( f, M) = sup | f (x1) - f (x2)|.

предельной, если в любой ее окрестности есть точка из M, отличная x1,x2M от x;

граничной, если в любой ее окрестности есть точка из M и точка из Задача * (критерий Коши для функций). Пусть a — предельная дополнения \ M;

точка D( f ). Функция f имеет предел при x a тогда и только тогда, изолированной, если x M и в некоторой окрестности x нет больше когда > 0 (a) ( f, ((a) D( f ))) <.

точек из M.

Множество всех внутренних точек множества M называется его внутренностью (Int M), граничных — границей (M).

Задача. Найдите внутренние, предельные, граничные и изолированные точки множеств:

(а) [0; 1]; (б) {(-2)/(2 + n): n }; (в) (0; 1).

Для каждого из этих множеств укажите границу и внутренность.

Определение. Множество M называется открытым (в ), если оно вместе с каждой своей точкой содержит некоторую ее окрестность (т. е. M = Int M). Множество M называется замкнутым (в ), если оно является дополнением до открытого (т. е. M = \ (открытое множество).

Пример. a) Интервал открыт, отрезок замкнут, точка замкнута, полуинтервал — никакой.

б) Вся прямая и пустое множество открыты и замкнуты одновременно.

Задача. Докажите, что (а) объединение любого числа открытых множеств открыто;

(б) пересечение конечного числа открытых множеств открыто;

(в) пересечение любого числа замкнутых множеств замкнуто;

(г) объединение конечного числа замкнутых множеств замкнуто. (г) канторово множество несчетно.

(д) Приведите контрпример, показывающий, что в утверждениях Определение (компакты). Покрытием множества M называется (а) и (в) нельзя поменять объединение и пересечение местами.

такой набор открытых множеств U, что M U. Множество M на Вообще говоря, топологией на некотором множестве X называется набор зывается компактом (точнее бикомпактом), если из каждого его поего подмножеств, содержащий и X и удовлетворяющий условиям (а) и (б).

крытия можно выбрать конечное подпокрытие (т. е. оставить только Элементы этого набора называют открытыми в X множествами.

конечное число из этих множеств так, чтобы они по-прежнему покрыЛемма (очевидная). Множество замкнуто тогда и только товали M).

гда, когда оно содержит все свои предельные точки.

Задача. Докажите, что (а) точка — компакт;

Доказательство.. Если есть предельная точка снаружи, то допол(б) две точки — компакт; (в) интервал — не компакт;

нение не открыто.

(г) прямая — тоже; (д) компакт замкнут;

. Если какая-то точка из дополнения не содержится там со своей (е) замкнутое подмножество компакта — компакт.

окрестностью, то она — предельная для исходного множества.

Лемма (Гейне—Борель). Отрезок — компакт.

Определение. Замыканием множества M называется объединение M и множества его предельных точек (обозначается через M). Доказательство. От противного, методом деления пополам. Возьмем плохое покрытие. Оно плохое хотя бы для одной половины отрезПример. (а) [a, b] = [a, b]; (б) (a, b) = [a, b]; (в) =.

ка. Возьмем эту половину и т. д. Полученная стягивающаяся последоваЗадача. Докажите, что (а) замыкание замкнуто; (б) M замкнуто тельность вложенных отрезков имеет общую точку. Эта точка принадтогда и только тогда, когда M = M.

лежит хотя бы одному открытому множеству из покрытия, в котором будет целиком содержаться маленький отрезок из нашей последоваЗадача. Докажите, что тельности. Противоречие.

(а) замыкание множества M — это наименьшее замкнутое множество, содержащее M;

Задача *. Докажите, что канторово множество — компакт.

(б) внутренность множества M — это наибольшее открытое мноЗадача. Функция называется локально ограниченной на множежество, содержащееся в M.

стве M, если у каждой точки из M есть окрестность, в которой эта функЗадача. Докажите, что ция ограничена. Докажите, что (а) M = M M; (б) Int M = M \ M; (в) Int(Int M) = Int M;

(а) функция, локально ограниченная на отрезке, ограничена на нем;

(г) \ M = \ Int M; (д) Int( \ M) = \ M.

(б) функция, локально знакопостоянная (определите сами) на отрезке, знакопостоянна на нем.

Задача. Приведите пример множества M, для которого среди мно(в) Докажите, что для интервала утверждение (а) неверно.

жеств M, M, Int M, IntM, Int M, Int(Int M) есть ровно (г) Верны ли утверждение (а) и (б) для канторова множества (а) четыре; (б) пять; (в) шесть различных.

Задача * (компакты в ). Докажите, что множество M являЗадача. Найдите все подмножества прямой, которые открыты и ется компактом тогда и только тогда, когда замкнуты одновременно.

(а) M — ограничено и замкнуто;

Задача (канторово множество). Выкинем из отрезка [0, 1] ин(б) любое бесконечное подмножество M имеет в M предельную тервал (1/3, 2/3) (средняя треть), затем средние трети из оставшихся точку.

двух отрезков и т. д. Докажите, что (а) сумма длин выброшенных интервалов равна 1;

(б) в канторовом множестве (это то, что осталось) кроме концов интервалов и точек 0 и 1 есть еще точки;

(в) канторово множество замкнуто, а замыкание его дополнения равно ;

Локальные свойства Ан-. Непрерывные функции.

Предложение (очевидное). Если a — предельная точка D( f ), то Конспект лекции и задачи f непрерывна в a тогда и только тогда, когда lim f (x) = f (a). Если a — xa ( апреля г.) изолированная точка D( f ), то функция f заведомо непрерывна в a.

Задача. Докажите, что если функция f непрерывна в точке a, то Функция f называется непрерывной (по Коши) в точке a, если она переводит близкие к a точки в близкие к f (a). (а) она ограничена в некоторой окрестности точки a;

(б) если f (a) = 0, то функция f знакопостоянна в некоторой окрест Определение. Функция f называется непрерывной в точке a (a ности a.

D( f )), если Теорема. Если функции f и g непрерывны в точке a, то и функции > 0 > 0 f (U(a) D( f )) U( f (a)).

f + g, f · g непрерывны в a. Если к тому же g(a) = 0, то функция f /g Функция f называется непрерывной на множестве M (M D( f )), есопределена в некоторой окрестности U D( f ) D(g) и непрерывна в a.

ли она непрерывна во всех точках M. Множество непрерывных на M Доказательство. Для предельных точек D( f ) D(g) теорема нефункций обозначается через C(M).

медленно следует из теоремы 2 из Aн-, для изолированных точек и доПример. (а) Функции f (x) = 57; f (x) = x; f (x) = 1/x непрерывны казывать нечего.

везде, где определены.

Пример (непрерывные функции).

(б) Функция Хевисайда непрерывна в \ {0} и разрывна в нуле.

а) Многочлен непрерывен на (следует из примера 1 (a)) и теореЗадача. В каких точках непрерывны, а в каких разрывны функмы.

ции:

б) Рациональная функция непрерывна везде, где определена (ана 1, при x, логично).

(а) (Дирихле) (x) = 0, при x \ ; в) Функции sin x и cos x непрерывны на, tg(x) и ctg(x) — везде, где определены.

1 m m, при x = — несократимая дробь, x + x0 x - x0 x - x0 x - x n n n (Например: | sin x - sin x0| = 2 cos sin 2 sin 2 = (б) (Римана) (x) = 2 2 2 0, при x \ ;

= |x - x0|.) n (в) Функция x непрерывна везде, где определена.

(в) f (x) = |x|.

n n Равенство lim x = a следует из аналогичного факта для последовательxa Задача. Докажите, что если в определении заменить - и -окностей и определения предела по Гейне. При a = 0 возможна односторонняя рестности просто на окрестности (см. Геом-), то получится эквиванепрерывность — справа.

лентное определение.

(г) Функция ax непрерывна на.

Лемма (основное свойство непрерывных функций). Для функ n При a > 0: lim ax = ax0 lim ax-x0 = 1 lim at = 1 lim a = 1.

ции f : следующие свойства эквивалентны: xx0 xx0 t0 n (а) f непрерывна на ;

Задача. Дайте определение непрерывности по Гейне.

(б) прообраз любого открытого множества открыт;

Задача (классификация разрывов). Пусть a D( f ), а функция f (в) прообраз любого замкнутого множества замкнут.

разрывна в a. В этом случае a называется точкой разрыва функции f.

Доказательство. (a) (б) по определению, (б) (в) всегда.

(а) Сформулируйте условие « a — точка разрыва f » на языке кванНа самом деле лемма верна и для функций на произвольном множестве M, торов, не употребляя отрицания.

если рассматривать открытые в M множества, т. е. пересечения открытых в Если существует lim f (x), то точка a называется точкой устранимножеств с M. Соответствующая топология на M называется индуцированной xa из. мого разрыва функции f (почему).

(б) Приведите пример устранимого разрыва.

(б) S := sup f (x). Функция g(x) = непрерывна и неогS - f (x) x из компакта Если существуют пределы раничена на компакте.

def def f (a + 0) = lim f (x) и f (a - 0) = lim f (x) Следствие. Непрерывная на отрезке функция ограничена на нем xa+0 xa-и достигает на нем максимума и минимума.

и хотя бы один из них не совпадает с f (a), то точка a называется точкой разрыва первого рода функции f.

Задача *. Приведите различные контрпримеры к теореме, если (в) Приведите пример разрыва первого рода.

(а) f — разрывна, (б) множество — не компакт.

Если точка разрыва — не первого рода для f, то она называется точкой разрыва второго рода функции f.

Теорема (Больцано—Коши). Если f C([a, b]), причем f (a) < 0, (г) Приведите пример разрыва второго рода.

Pages:     | 1 |   ...   | 10 | 11 || 13 | 14 |   ...   | 16 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.