WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 9 | 10 || 12 | 13 |   ...   | 16 |

def (в) Придумайте такую последовательность натуральных чисел, чтоC) lim an = A > 0 N n > N |an - A| <.

n бы любая последовательность натуральных чисел являлась ее подпоПоследнюю формулировку нужно выучить наизусть.

следовательностью.

Заметим, что вторая формулировка подходит и для последовательности, Задача *. Докажите, что любая последовательность содержит монапример, точек плоскости или вообще любого множества, где определено раснотонную подпоследовательность.

стояние между точками («метрического пространства»), а первая формулировОпределение. Говорят, что число A является предельной точкой ка (если ее правильно понимать) — для любого множества, где определено попоследовательности (an), если > 0 множество {n | |an - A| < } беско- нятие окрестности («топологического пространства»).

Задача. (а) Сколько предельных точек у сходящейся последовательности Верно ли, что, если у последовательности ровно одна преАн-. Предел дельная точка, то она сходящаяся ( декабря г.) (б) (Единственность предела.) Докажите, что an A и an B A = B.

Задача. (а) Докажите, что сходящаяся последовательность ограЗадача. Найдите предел (an), где an имеет вид ничена. Обратное неверно.

(-1)n 57 sin n (б) Пусть an сходится. Докажите, что среди значений an найдется (а) ; (б) 1 + ; (в) ; (г) cos n;

n n n наибольшее или наименьшее.

1 1 (д) 1 + + + … + ; (е) n + 1 - n;

(в) Докажите, что если последовательность an сходится, то 2 3 n (ж) (вспомните и докажите неравенство Бернулли);

lim (an+1 - an) = 0.

qn n n2 + n + Верно ли обратное (з) 1 + q + q2 + … + qn; (и).

n2 - 3n + (г) Пусть an 0, (bn) ограничена; докажите, что тогда anbn 0.

Задача. Какие свойства получатся, если изменить определение Задача. Пусть lim an = a. Докажите, что тогда предела следующим образом: n (а) c lim can = ca;

(а) N > 0 n > N |an - A| < (кванторы нельзя менять местаn ми);

(б) lim |an| = |a|;

n (б) > 0 N n > N |an - A| < (в) k lim ak = ak.

n (в) Запишите через кванторы условие « (an) не является сходящейn ся последовательностью».

Задача (арифметический корень). Докажите существование и единственность арифметического корня n-й степени (n ) из любого неотрицательного числа. Проверьте, что если lim an = a и все an 0, то n k k lim an = a для любого k.

n N = Определение. an, если C N n > N |an| > C.

NB: Такая последовательность не на-зывается сходящейся.

Эта бесконечность () соответствует се-5 верному полюсу окружности при стереограРис.

фической проекции на прямую (см. рис. ).

Таким образом, {}=S1 (окружность).

Задача. (а) Докажите, что an 0. (А если какие-то an an = 0) (б) Дайте определения lim an = + и lim an = - и докажите анаn n лог a).

(в) Верно ли, что lim an = ( lim an = +) ( lim an = -) n n n Бесконечности ± соответствуют точкам ±/2 отрезка [-/2, /2] при компактификации t arctg t (см. рис. ). Таким образом, {±} = отрезок.

y y y = x /2 = + y = arctg x x - /2 = x 1 k-1 k n-0 n n n n Рис.

Рис.

Задача (предел и арифметические операции).

Задача (предельные точки и подпоследовательности).

Пусть lim an = a, lim bn = b. Докажите, что тогда существуют предеn n (а) Докажите, что множество предельных точек последовательнолы:

сти совпадает с множеством пределов ее подпоследовательностей.

(а) lim (an + bn) = a + b; (б) lim anbn = ab.

n (б) Докажите, что последовательность сходится тогда и только то(в) Если к тому же b = 0 и n bn = 0, то существует и предел гда, когда сходится любая ее подпоследовательность.

an a (в) Есть множество последовательностей, каждая из которых lim =.

n bn b стремится к A. Их объединили, не переставляя членов (т. е. сохранив порядок членов в каждой последовательности из множества). Сходится ли полученная последовательность, если множество конечно Задача. Вычислите пределы:

(г) Тот же вопрос, если множество бесконечно.

n 5n (а) lim an (a = const); (б) lim 2; (в) lim ;

n n n - 2n - 7nЗадача (предельный переход в неравенствах). Пусть an и bn — n3 + n 2n4 - 4n2 + сходящиеся последовательности;

(г) lim ; (д) lim ;

n - 3n n - n3 - n2 - n - 6nlim an = A, lim bn = B.

(е) lim (2n + 3n + 4n)/(5n + 6n);

n n n (ж) lim (157 + 257 + … + n57)/n58 (на самом деле это x57 dx — см.

Докажите, что тогда:

n (а) если существует такой номер N, что n > N an bn, то A B;

рис. );

n (б) если A < B, то найдется такой номер N, что n > N an < bn.

(з) lim n sin n; (и) lim n ( = const); (к) lim n;

n n n (в) Останутся ли верными эти утверждения, если в a) заменить « » f (n) (л) lim, где f и g — многочлены. на «<»; в б) заменить «<» на « » n g(n) (г) (Лемма о двух милиционерах.) Докажите, что если an и cn схоЗадача. (а) Килограмм некоторого вещества распадается со скодятся к одному и тому же пределу A и при любом n > N an bn cn, то ростью 1 миллиграмм в минуту. Каков период его полураспада bn сходится к тому же пределу A.

(б) Со стола высотой 1 метр скатился шарик. Сколько времени он a1 +a2 +…+an Задача *. (а) lim an = A существует lim = A. Вербудет прыгать, если при каждом отскоке он теряет 10 % своей энерn n n гии но ли обратное (б) Сформулируйте и докажите аналогичное утверждение для средВ действительности следующее условие лишнее, так как b = 0 почти все (т. е. все, кроме конечного числа) элементы bn отличны от нуля. него геометрического.

an n (в) Если (существует) lim =, то (существует) lim an =.

n an-1 n Ан-. Полнота Задача. Вычислите пределы:

n+100 ( января г.) (а) lim ((n + 1)100 - n100); (б) lim ( 100 - n);

n n n2 + Определение. Последовательность (an) называется фундамен(в) lim ; (г) lim (sin 1 + sin 2 + … + sin n)/ n;

n n + 14 n тальной, если (д) lim1,00000001n/n2004; (е) lim 0,99999999n · n2004;

n n > 0 N n > N m > N |an - am| <.

n2004 1 n an an (ж) lim ; (з) lim ; (и) lim ; (к) lim ; lim ;

n n n n! n n n n nk n! n! n! Задача. Докажите, что сходящаяся последовательность является (л) lim {( 3 + 1)n} ({} — дробная часть);

фундаментальной.

n (м) lim ( lim cosm(2x · n!)).

Несколько формулировок аксиомы полноты.

n m АП. Любые два непустые подмножества A, B, такие что A B Задача *. (а) Докажите, что степени двойки чаще начинаются с се(т. е. a A, b B a b), разделяются некоторым числом c (т. е.

ми, чем с восьми:

a A, b B a c b).

количество чисел вида 2i, начинающихся c, i n АП. Любое непустое ограниченное сверху подмножество имеет lim > 1.

n количество чисел вида 2i, начинающихся c, i n точную верхнюю грань.

АП. (Принцип вложенных отрезков.) Для любой последовательноПо-другому: для случайного i число 2i с большей вероятностью начисти [a1, b1] [a2, b2] … [an, bn] … вложенных отрезков существует нается с 7, чем с 8.

общая точка, принадлежащая всем этим отрезкам.

(б) Найдите первое число вида 2i, начинающееся с 8; с. С любой АП. (Аксиома Больцано—Вейерштрасса.) Любая ограниченная поли цифры может начинаться степень двойки следовательность содержит сходящуюся подпоследовательность.

Пояснение. Начальный кусок последовательности 2i не похож (см. (б)) на АП. Любая монотонная ограниченная последовательность сходитхвост (см. (а)) потому, что иррациональное число log10 2 = 0,3010… очень пося.

хоже на рациональное 3/10.

АП. (Критерий Коши.) Любая фундаментальная последовательность сходится.

Задача. Докажите, что имеют место следующие эквивалентности (при условии выполнения остальных аксиом действительных чисел):

АП АП АП + ПА АП АП АП + ПА (ПА — принцип Архимеда).

Задача. Проверьте, что (а) в множестве из вышеприведенных аксиом выполняется только ПА (приведите контрпример к каждой аксиоме);

(б) в АП не выполняется, если заменить отрезки интервалами;

(в) общая точка последовательности вложенных отрезков единственна, если длины отрезков стремятся к нулю.

Задача *. Докажите, что если в списке аксиом из Ан- заменить АП на АП или АП, то принцип Архимеда, вообще говоря, уже не будет верен.

Задача. Найдите пределы последовательностей, заданных рекур- (г) Докажите, что значение цепной дроби рационально тогда и тольрентно: ко тогда, когда эта дробь конечна.

(д) Докажите, что цепная дробь периодична или конечна тогда и (а) an+1 = p + an, p 0, a1 -p;

только тогда, когда ее значение равно p + q d, где p, q, d.

an p (б) an+1 = +, p 0, a1 0;

(е) Докажите, что любое число представимо в виде цепной дроби.

2 2an (в) an+1 = sin an, a1 — любое; Единственно ли это представление 5 3 (г) a1 = 1, a2 =, an = an-1 - an-2 при n 3.

Задача (число e). Докажите, 2 2 2 что:

n (а) последовательность 1 + сходится; ее предел обозначается Задача (десятичные дроби). Пусть даны целое неотрицательное n через e;

число m, m 0, и последовательность (ai), где ai {0, 1, …, 9}. Обо n n a1 an 2 значим сумму m + + … + через m, a1…an. (б) 1 + e2, 1 - 10 10n n n (а) Докажите, что последовательность bn = m, a1…an — сходится. Ее 1 1 1 (в) e = lim + + + … + ;

n 0! 1! 2! n! предел обозначается через m, a1…an… Выражения вида m, a1…an… (г) 2 < e < 3;

называются десятичными дробями.

n 1 (б) Введите отрицательные десятичные дроби. Как сравнивать де(д) e - 1 + 1 + + … + =, где n — некоторое число из 2! n! n! n сятичные дроби интервала (0, 1).

(в) Докажите, что десятичная дробь рациональна тогда и только (е) Вычислите число e с точностью до двух знаков после запятой.

тогда, когда она конечна или периодична (т. е. N, k : n > N an+k = (ж) Докажите, что число e иррационально.

= an).

(з) Разложите число e в цепную дробь.

(г) Докажите, что любое число представимо в виде десятичной дроЗадача (число и длина окружности). Пусть P — множество би. Единственно ли это представление периметров вписанных в данную окружность многоугольников, а Q — Задача * (цепные дроби). Выражение вида (), множество периметров описанных выпуклых многоугольников.

(а) Докажите, что существуют sup P и inf Q.

n1 + () (б) Докажите, что sup P = inf Q. Это число называется длиной (данn2 + ной) окружности.

.

.

n3 +.

(в) Докажите, что отношение длины окружности к ее диаметру од+ но и то же для всех окружностей. Это число обозначается через (оно, кстати, тоже трансцендентно).

nk-1 + nk (г) Докажите, что 3 < < 4.

где n1, n2, …, nk, называется (конечной) цепной дробью, а значе(д) Пусть Pn — последовательность периметров выпуклых многоние этого выражения обозначается через [n1; n2, …, nk].

угольников, вписанных в окружность радиуса R (и содержащих центр (а) Пусть q1, …, qk — частные, получающиеся при применении АЕ данной окружности), dn — длина наибольшей стороны соответствуюa к паре (a, b). Докажите, что [q1; q2, …, qk] =.

щего многоугольника. Докажите, что тогда, если dn 0, то Pn 2R.

b (б) Рассмотрим целое число m и произвольную последовательность Определение. Длина дуги окружности — это точная верхняя натуральных чисел (ai). Докажите, что последовательность грань длин вписанных в нее несамопересекающихся ломаных (с концами в концах дуги). Обозначение: || — длина дуги.

bn = [m; a1, …, an] сходится. (Указание: b2n < b2n+2 < b2n+3 < b2n+1.) Ее предел называется Как и большинство действительных чисел, число e не только иррационально, но значением цепной дроби и обозначается через [m; a1, …, an, …].

и трансцендентно, т. е. не является корнем никакого ненулевого многочлена с рацио(в) Как сравнивать цепные дроби нальными коэффициентами.

Задача. (а) Пусть дуга разбита (что это значит) на дуги и 2. Докажите, что тогда || = |1| + |2|.

Ан-. Хитрые пределы (б) Найдите длину дуги, ограниченной углом в.

( февраля г.) (в) Докажите, что при x (0, /2) выполнено неравенство sin x < x.

Задача *. Вычислите предел Задача. Пусть lim xn = a, lim yn = b. Вычислите n n xn y1 + xn-1 y2 + … + x1 yn lim.

2n · 2 - 2 + 2 + … + 2 + 3 n n n корней Задача. Пусть 0 < a < b. Зададим последовательности (an), (bn) при n.

an + bn рекуррентно: a1 = a, b1 = b, an+1 = anbn, bn+1 =. Докажите, что Задача (число и площадь круга). Пусть S — множество пло- последовательности (an) и (bn) имеют общий предел.

щадей вписанных в данную окружность выпуклых многоугольников, а T — множество площадей описанных выпуклых многоугольников.

Задача. Пусть последовательность (xn) — ограничена.

(а) Докажите, что существуют sup S и inf T.

(а) Докажите, что существуют l — наименьшая и L — наибольшая (б) Докажите, что sup S = inf T. Это число называется площадью предельные точки.

(данного) круга.

(б) Докажите, что в условиях задачи (xn) сходится тогда и только (в) Пусть Sn — последовательность площадей правильных n-угольтогда, когда l = L.

ников, вписанных в окружность радиуса R. Докажите, что Sn sup S.

(в) Докажите, что L = lim sup xk, l = lim inf xk.

n n k>n k>n (г) Докажите, что площадь круга радиуса R равна R2.

(г) Докажите, что если lim (xn+1 - xn) = 0, то все числа из отрезка (д) Докажите, что при x (0, /2) выполнено неравенство x < tg x.

n [l, L] являются предельными точки (xn).

Задача. Известно, что lim (xn/2 - xn+1) = 0. Докажите, что послеn довательность (xn) сходится.

Задача. Дана такая последовательность (xn), что n, m 0 xn+m xn + xm.

Докажите, что последовательность (xn/n) сходится.

Задача. Найдите пределы (а) lim sin 2 n2 + n ; (б) lim n sin(2en!).

n n Задача. Пусть (xn) — положительные корни уравнения tg x = x, расположенные в порядке возрастания. Найдите lim (xn+1 - xn).

n Задача. a0 = 57, an+1 = arctg(an). lim an = n Задача. Рассмотрим последовательность функций fn(x), x. Докажите, что найдется такая функция g(x), что для любого натурального числа k и для любой последовательности xn верно равенство Ан-. Предел функции. Конспект лекции и задачи fk(xn) lim = 0.

n g(xn) ( апреля г.) Обозначим через D( f ) область определения функции f (D( f ) ), Задача. Даны три числа: a1, b1, c1. Последовательности ai, bi, ci а через (a) — проколотую окрестность точки a:

определяются так:

an+1 = (bn + cn)/2, bn+1 = (cn + an)/2, cn+1 = (an + bn)/2.

(a) = {x | |x - a| <, x = a} ( > 0).

(а) Найдите предел каждой из этих последовательностей.

Определение (Коши). Пусть a — предельная точка множества (б) Рассмотрите случай m-угольника в n-мерном пространстве.

D( f ), т. е. в любом интервале, содержащем точку a, содержится бесЗадача. На гиперболе xy = 1 взяты точки конечно много элементов D( f ). Отметим, что сама точка a при этом n n + может не принадлежать D( f ).

An xn = и Bn xn =.

Pages:     | 1 |   ...   | 9 | 10 || 12 | 13 |   ...   | 16 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.