WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 8 | 9 || 11 | 12 |   ...   | 16 |

независимо от заполнения лазарета, сумеет выполнить свое намереЗадача *. (а) Докажите, что существует бесконечно много натуние.

ральных чисел, не представимых в виде суммы четырех четвертых стеНапример, войско из 9 человек можно поставить в виде квадрата 3; если пеней.

один человек болен, то в виде двух квадратов 2 2; если же больны двое, то S(n) (б) Докажите, что при n > 108 не верно равенство <, где построиться не удастся.

n Задача. (а) Докажите, что a обратимо в m тогда и только тогда, S(n) — количество натуральных чисел, представимых в виде суммы чекогда a обратимо в каждом m. тырех четвертых степеней и не превосходящих n.

i Другими словами, ….

= m m1 mn (б) Сколько элементов в В 2004 (в) Найдите ord2004(5), ord1771(16).

Задача. (а) Вычислите (pk), p простое.

(б) Покажите, что (m) = (m1) · … · (mn) для попарно взаимно простых mi.

(в) Выведите явную формулу для (n).

Задача *. Рассмотрим последовательности:

an : 1 3 4 6 8 9 11 12 14 16 … и bn : 2 5 7 10 13 15 18 20 23 26 … (а) Установите закономерность, по которой они образованы.

5 + (б) Докажите формулу: an = n и придумайте похожую формулу для bn.

(в) Выведите аналогичные формулы для последовательностей 1 2 4 5 7 8 9 11 12 14 … и 3 6 10 13 17 20 23 27 30 34 … Hint. Обратите внимание, что 1 + = 1.

5 + 1 5 + + 2 Задача. Обозначим через n(x) многочлен (x - 1) · … · (x - (n)), Aн-. Аксиомы действительных чисел ( сентября г.) Программа зачета по курсу арифметики («В» класс. /) Среди всех мудрецов первое место занимают грамматики — порода людей, несчастнее которой,. Деление с остатком и Алгоритм Евклида в. НОД и НОК в.

злополучнее и ненавистнее не было бы на свете, ес. Деление с остатком и Алгоритм Евклида в [x]. НОД двух мноли бы я (глупость) не скрашивала тягот их ремесла гочленов.

некоторым сладким безумием.

. Теорема Безу. Корни многочленов и разложение на множители, Эразм Роттердамский число корней.

. Основная теорема алгебры (формулировка). Неприводимые мноОпределение. Множество называется множеством действигочлены в [x].

тельных (вещественных) чисел, если выполнены следующие условия.

. Интерполяционные многочлены Ньютона и Лагранжа.

. Симметрические многочлены. Основная теорема о симметриче. Аксиомы сложения ских многочленах в [x] и [x].

Определено отображение (операция сложения). Простые в. Основная теорема арифметики в.

. Простые в [i]. Представления в виде суммы двух квадратов в. +:,. Деление с остатком и Основная теорема арифметики в [i].

такое что:

. Полное исследование уравнения ax + by = d в. Алгоритм на) в существует «особый» (по отношению к операции «+») такой хождения частного решения.

элемент 0, что. Пифагоровы треугольники.

x x + 0 = 0 + x = x.

. m, делители нуля и обратимые элементы. Свойства сравнений.

. Решение линейных сравнений в m. Полное исследование.

) x y, такой, что. Китайская теорема об остатках (в ).

x + y = y + x = 0.

. Теорема Эйлера (в m). Первообразные корни из единицы.

Элемент y называется противоположным к x и обозначается через. Функция Эйлера (явная формула).

«-x».

. Квадраты и неквадраты в p.

) «+» — ассоциативная операция, т. е. x, y, z Звездочкой отмечены вопросы, входящие в полную программу экзаx + ( y + z) = (x + y) + z.

мена, но не входящие в ее сокращенный вариант.

) «+» — коммутативная операция, т. е. x, y x + y = y + x.

Аксиомы.—. означают, что действительные числа образуют группу по сложению; аксиома. означает, что эта группа коммутативна (или, по-другому, абелева).

. Аксиомы умножения Определено отображение (операция умножения) · :, такое, что:

) ( — кольцо) умножение дистрибутивно по отношению к сложе-. Аксиома полноты нию, т. е. x, y, z Определение. Множество X называется ограниченным свер(x + y) · z = x · z + y · z;

ху, если найдется такое C, что x X x C. Число C в этом случае ) (ассоциативное) « · » — ассоциативная операция, т. е. x, y, z называется верхней границей множества X.

x · ( y · z) = (x · y) · z;

Наименьшая из верхних границ называется точной верхней грани) (с единицей) в \ {0} существует «особый» (по отношению к опе- цей (верхней гранью). Точнее:

рации « · ») такой элемент 1, что Определение. Число c называется точной верхней границей мноx \ {0} x · 1 = 1 · x = x; жества X, если:

) c — верхняя граница множества X;

) ( — тело) x \ {0} y \ {0}, такой что ) для любой верхней границы C множества X верно, что c C.

x · y = y · x = 1.

Обозначается это так: c = sup X, или так: c = sup x.

Элемент y называется обратным к x и обозначается через x-1.

xX ) ( — поле) « · » — коммутативная операция, т. е. x, y Заметим, что верхняя граница c множества X тогда и только тогда является точной, когда > 0 x X c - < x ( c) (проверьте!).

x · y = y · x.

Аксиома. Для любого (непустого) ограниченного сверху подмноИтак, множество, отвечающее всем условиям.—. и.—. нажества X множества существует точная верхняя граница c.

зывается полем. Например,,, p (p — простое) являются полями, Полученная система аксиом ()–() является а,, [x], 57 — нет (почему).

1 непротиворечивой, т. е. из нее нельзя вывести никакого утвержде. Аксиомы порядка ния вместе с его отрицанием;

Между элементами имеется отношение порядка, т. е. такое отно2 любые два множества, удовлетворяющие нашим аксиомам, изошение « », для которого выполнено:

морфны, т. е. между ними можно установить взаимно однозначное ) x (x x), соответствие, переводящее сумму элементов в сумму, произведе) x, y (x y) ( y x) (x = y), ние в произведение, и притом сохраняющее порядок.

) x, y, z (x y) ( y z) (x z).

Множество, отвечающее условиям.—., называется частично упорядоченным.

Если же любые два элемента этого множества сравнимы, т. е.

) x, y (x y) ( y x), то множество называется линейно упорядоченным.

. Связь сложения и порядка x, y, z (x y) (x + z y + z).

. Связь умножения и порядка x, y (0 x) (0 y) (0 x · y).

Все вышеперечисленные условия задают упорядоченное поле. Например, таким будет, но не или p (почему). Существует много разных упорядоченных полей (например). Добавим еще одну аксиому (зачем).

Определение. Множеством натуральных чисел называется наименьшее индуктивное подмножество, содержащее 1. Обозначается это Aн-. Первые следствия аксиом множество через.

( сентября г.) (б) Докажите, что в есть непустые индуктивные подмножества.

(Многоточия и фразы типа «и так далее» в решении запрещаются.) «You may call it ‘nonsense’ if you llke», she said, «but (в) Проверьте корректность определения.

I’ve heard nonsense, compared with which that would be as sensible as a dictionary!» Задача (издевательства).

(а) (Индукция.) Докажите принцип математической индукции: есLewis Carroll. Through the Looking Glass ли подмножество M натуральных чисел содержит единицу и вместе с каждым элементом x содержит и x + 1, то M =.

Задачи в этом листке очень просты и требуют лишь немного аккуратности.

(б) Как можно доказать то, что на самом деле аксиома Перед решением задачи подумайте хорошенько, что же в ней спрашивается.

(в) Докажите, что из такого принципа индукции следует принцип Задача (групповые/арифметические свойства).

индукции из Ap-.

(а) Докажите, что в есть только один нуль, только один проти(г) Докажите, что принцип индукции из Ар- эквивалентен утвервоположный элемент. Докажите, что уравнение a + x = b имеет ровно ждению о том, что любое непустое подмножество натуральных чисел одно решение в.

имеет наименьший элемент.

(б) Сформулируйте и докажите аналогичные свойства операции (д) 2 2 = 4 — что это Аксиома, определение, теорема или недокаумножения.

зуемое утверждение (в) Объясните, почему предыдущий пункт (про «докажите») можно Задача (как устроены натуральные числа).

было не решать.

(а) Докажите, что число 57 — натуральное.

(г) Докажите, что (-x) = (-1)x, (-1)2 = 1.

(б) Докажите, что сумма и произведение натуральных чисел — тоЗадача (порядок и операции).

же натуральное число.

(а) Определите на отношения, >, <. Какие из них являются (в) Докажите, что между n и n + 1 (n ) нет натуральных чисел.

отношениями порядка (Догадайтесь сами, что это значит.) После решения этой задачи уже легко поверить, что мы сейчас определили (б) Докажите, что для любых двух действительных чисел x и y вертот самый абелев моноид, который вы исследовали в старшей группе детского но ровно одно из утверждений: x < y, x = y, x > y.

сада.

(в) Докажите, что 1 > 0.

Задача (целые и рациональные числа).

(г) Докажите, что неравенства можно складывать и умело умно(а) Определите целые числа ( ) и докажите, что они образуют кольжать на числа. Можно ли вычитать неравенства Можно ли их перецо.

множать и делить (б) Определите рациональные числа ( ) и докажите, что они обраВы, конечно, знаете, что такое натуральные числа — это числа 1, 2, 3, … зуют поле.

Постарайтесь не забыть этого после решения последующих задач.

Больше этого без аксиомы полноты мы ничего не получим. Сейчас она Задача (натуральные числа).

нам понадобится, чтобы убедиться в существовании иррациональных чисел (а) На множествах тоже есть одно очевидное отношение:. Докаи доказать принцип Архимеда.

жите, что — отношение порядка.

Задача (иррациональные числа). (а) Пусть Определение. Множество X называется индуктивным, если x = sup{t | t > 0 t2 < 2}.

x X x + 1 X.

Докажите, что это действительное число x корректно определено и x = 2 (арифметический корень).

def def Раньше его обозначали еще как ; A B (a A a B). Если вы этого не знаете, то напомним: 57 = 56 + 1.

(б) Докажите, что существуют иррациональные числа (только дайте сначала их определение).

Ан-. Последовательности Задача (принцип Архимеда).

( ноября г.) (а) Множество натуральных чисел неограниченно сверху.

(б) (Принцип Архимеда.) Если идти с постоянным шагом в нужВновь наступающее всегда расположено следовать ную сторону, то можно дойти куда угодно:

за предшествующим. Это ведь не перечисление какоето отрывочное и всего лишь принудительное, а осмысh > 0 x + !n : (n - 1)h < x nh.

ленное соприкосновение. И подобно тому, как ладно Объясните геометрический смысл происходящего. Подумайте, почему расставлено все сущее, так и становящееся являет не простую последовательность, а некую восхитительную такое объяснение не будет доказательством в нашей аксиоматике.

расположенность.

(в) Приведите пример упорядоченного поля (или хотя бы упорядоченной абелевой группы), где неверен принцип Архимеда. Марк Аврелий. Размышления Определение. Последовательностью называется произвольное отображение a: множества натуральных чисел в множество действительных чисел. Числа a(1), a(2), …, a(n), … называются членами или элементами последовательности a и обозначаются a1, a2, …, an, …, а сама последовательность обозначается через (an).

Строго говоря, сейчас мы определили последовательности действительных чисел. Можно рассматривать и последовательности элементов любого множества M, определяя их как отображения a: M.

Определение. Последовательность называется возрастающей, если n an+1 > an. Последовательность называется ограниченной сверху, если C n an < C.

Задача. (а) Дайте определения убывающей, невозрастающей, неубывающей, ограниченной снизу последовательностей.

Определение. Последовательность называется монотонной, если она является либо возрастающей, либо убывающей, либо неубывающей, либо невозрастающей; последовательность называется ограниченной, если она ограничена сверху и снизу.

(б) Дайте определения немонотонной и неограниченной последовательности, не используя отрицания.

Задача. Докажите, что следующие последовательности ограничены:

(а) an = 1 + x + x2 + … + xn, |x| < 1;

n (б) an = (-1)n n;

1 1 (в) an = + + … + ;

1 · 2 2 · 3 n(n + 1) Архимед (Aµ), — гг. до Р. Х., — великий греческий математик, широ1 1 (г) an = 1 + + + … + ;

ко известный в народе своими физическими экспериментами.

22 32 n 1 1 нечно. Кроме того, говорят, что + является предельной точкой после(д) an = 1 + + + … + ;

2! 3! n! довательности (an), если C множество {n | an > C} бесконечно.

Задача. (а) Дайте определение того, что - является предельной (е) an = 2 + 2 + … + 2;

точкой последовательности.

n двоек (б) Придумайте последовательности, имеющие одну, две, бесконеч n (ж) an = 1 + (указание: используйте бином Ньютона); ное число предельных точек.

n (в) Придумайте последовательность, для которой все действительn! (з) an = n.

n ные числа являются предельными точками.

Задача. Докажите, что Задача. Докажите, что следующие последовательности неограни(а) монотонная последовательность не может иметь более одной чены:

предельной точки;

(а) an = 1 + x + x2 + … + xn, |x| > 1;

(б) последовательность ограничена тогда и только тогда, когда ни 1 1 (б) an = 1 + + + … + (гармонический ряд);

2 3 n +, ни - не являются ее предельными точками;

1 1 1 (в) an = 1 + + + + + …; (в) любая предельная точка подпоследовательности является пре3 5 7 дельной точкой последовательности.

(г) a1 = 1, an+1 = an + ;

an Задача. Найдите все предельные точки последовательностей:

n (д) an = n!.

(а) an = (-1)n; (б) an = sin n; (в) an = sin n;

Задача. Докажите, что следующие последовательности монотонn n 1 n n (г) an = cos + sin + · cos · sin.

3 5 n 7 ны:

n 1 n (а) an = 1 + ; (б) an = n, n 3.

Определение. Интервал (x -, x + ) ( > 0) называется -окрестn ностью точки x и обозначается через U(x).

Определение. Пусть (ni) — строго возрастающая последовательность натуральных чисел. Последовательность (i), где i = ani, назыОпределение. Число A называется пределом последовательносвается подпоследовательностью последовательности (an). Например, ти (an), если для любого > 0 все члены последовательности, начипоследовательность 1, 3, 5, 7, 9, … является подпоследовательностью ная с некоторого, попадают в U(A). Обозначается это так: an A или последовательности 1, 2, 3, 4, …, а последовательности 1, 1, 2, 3, … и lim an = A.

n 3, 1, 5, 7, … — нет.

Вот несколько формулировок этого определения:

Задача. (а) Докажите, что любая подпоследовательность ограниdef A) lim an = A U(A) N n > N an U(A);

ченной (монотонной) последовательности — ограниченна (монотонn на). def B) lim an = A > 0 N n > N d(an, A) <, где d(x, y) — (б) Придумайте две различные последовательности, являющиеся n расстояние между x и y;

подпоследовательностями друг друга.

Pages:     | 1 |   ...   | 8 | 9 || 11 | 12 |   ...   | 16 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.