WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 | 2 || 4 |

3 3 1 1 - 2sin2 cos2 ==1 - sin2 + 1 - sin2 = ПРИМЕР 8.6. Преобразовать выражение acos x + bsin x к виду 16 16 2 8 2 Asin(x + a).

1 3 sin + cos2 ( - ) 2 - (sin2 + cos2 ) =1,5.

= 2 - = 2 8 2 8 2 8 РЕШЕНИЕ. Обозначим В = acos x + bsin x.

ПРИМЕР 8.4. Вычислить без таблиц:

Умножим и разделим В на a2 + b2, получим 2 4 8 16 B = cos cos cos cos cos cos.

a b 65 65 65 65 65 B = cos x + sin x a2 + b2.

a2 + b2 a2 + b Воспользуемся формулой 2sin cos = sin 2. Домножим B на 2sin и 2 a b Так как + =1, то точка с координатами a2 + b2 a2 + b 29 + a b cos лежит на единичной окружности, т.е. существует tg tg = =.

a2 + b2, a2 + b 2 2 + 3cos a b такое, что sin =, cos =. Угол называется a2 + b2 a2 + bИтак, равенство доказано.

вспомогательным углом.

9. Графики тригонометрических функций.

Обозначив a2 + b2 = А, получаем 9.1. График функции у = sin х (синусоида)' B = A(sin cos x + cos sin x) = Asin(x + ).

Так как у = sin х периодическая функция с Т = 2 и нечетная Итак, acos x + bsin x = Asin(x + ), (симметричная относительно начала координат), то возьмем промежуток, a b где А = a2 + b2, sin =, cos =.

равный периоду [–, ], и построим график на промежутке [0, ], затем a2 + b2 a2 + bотобразим симметрично, а затем с периодом 2.

ПРИМЕР 8.7. Докажите, что если sin + sin = 2sin( + ), где Для построения разделим верхнюю часть единичной окружности на + k, то tg tg =. равных дуг (рис. 13 а,б), проводя перпендикуляры из точек деления на ось 2 2 Ох, получаем геометрическое изображение соответствующих значений РЕШЕНИЕ. Преобразуем исходное равенство:

функции sin х.

+ - + + 2sin cos = 4sin cos Дальнейшее построение графика ясно из рис. 13 б, рис.14.

2 2 2 + - + cos 2sin - 2cos = 0.

2 2 + k + + Так как + k, то, тогда sin 0, cos 0.

2 2 2 - + - + Значит, cos - 2cos = 0 или cos = 2cos. Рис. 2 2 2 На всей области определения у = sin х.

Рассмотрим - + sin sin cos - cos 2 2 2 tg tg = =.

2 2 - + cos cos cos + cos 2 2 2 - + Рис. Подставляя cos = 2cos, получаем 2 Все свойства функции можно "прочитать" по графику.

1. D (sin x) = R, E (sin x) = [–1, I].

2. Нечетная функция (симметрия относительно начала координат).

31 3. Периодическая с основным периодом Т0 = 2. правую полуокружность на 6 равных частей (рис.16) и отложив на линии 4. Нули функции, то есть sin(x) = 0 при х = n, n Z. тангенсов равные тангенсам этих углов, легко построить график 5. Положительная, то есть sin(x) > 0 при x (2n, + 2n).

Отрицательная, то есть sin(x) < 0 при x ( + 2n, 2 + 2n) 6. Возрастает ( ) от –1 до 1 на [ – /2 + 2n, /2 + 2n], убывает () от 1 до –1 на [/2 + 2n, 3/2 + 2n].

7. Максимумы при x = /2 + 2n; минимумы при x = 3/2 + 2n.

9.2. График функции у = cos х (косинусоида) Рис.Так как cos x = sin(x + /2) на (–,+), то график косинусоиды Продолжим с периодом, получаем график функции во всей области получается из синусоиды сдвигом вдоль оси Ох влево на /2 (рис. 15).

определения (рис. 17).

Рис. Свойства функции.

1. D(cos x) = R, E(cos x) = [–1,1].

Рис.2. Четная (симметричная относительно оси ординат).

Свойства функции тангенс.

3. Периодическая, с Т0 = 2.

1. D(tg х) ={R, х 2 + n, n Z }, E (tg х) = R.

4. cos (x) = 0 при х = /2 + 2n, n Z.

5. cos(x) > 0 для x [- 2 + 2n, 2 + 2n], cos(x) < 0 для 2. Нечетная функция (симметричная относительно начала координат).

3. Периодическая, с Т0 =.

x[ 2 + 2n, 3 2 + 2n].

4. Нули функции, tg х = 0 при х = n, n Z.

6. Убывает () от 1 до –1 на [2n, 3 2 + 2n], возрастает () от –1 до 5. Положительная, tg х > 0 при x(-n, 2 + n), на [ + 2n, 2n].

отрицательная, tg х < 0 при x(- 2 + n,n).

7. 7..Максимумы при х = 2n; минимумы при x = + 2n.

6. Возрастает на каждом промежутке (- 2 + n, 2 + n).

9.3. График функции у = tg x (тангенсоида) 9.4. График функции у = ctg х (котангенсоида) Так как tg x периодическая функция с Т0 =, то достаточно взять 'Гак как ctg х = –tg (х + 1) для (0, /2), то сначала отразим у = tg х промежуток, равный, где тангенс определен. Это (–/2, /2). Разделив 33 относительно оси абсцисс, затем сдвинем влево на /2. Функции f и g называют взаимно обратными функциями.

Затем воспользуемся симметрией и периодичностью Если точка (х, y) принадлежит графику функции = f(x), то точка (у, х) принадлежит графику у = g(х), где g — обратная функция. Поэтому график обратной функции получается из трафика у = f(x) с помощью преобразования плоскости ху, переводящего точку (х, у) в точку (у, х).

Рис.Свойства функции котангенс.

Этим преобразованием является симметрия относительно прямой у = х.

1. D(ctg х) ={R, х n, n Z }, E (ctg х) = R.

Итак, графики взаимно обратных функций у = f(x), у = g(x) симметричны 2. Нечетная (симметричная относительно начала координат) относительно прямой у = х.

3. Периодическая, с Т0 =. Теорема 10.1. (без доказательства). Если функция f определена и 4. Нули функции, т.е. ctg х = 0 при х = - 2 + n, n Z. монотонна на промежутке I, а множество ее значений есть промежуток J, то на промежутке J существует функция g, обратная функции f и 5. Положительная, т.е. ctg х > 0 при (n, 2 + n ), отрицательная, обладающая следующими свойствами:

т.е. ctg х < 0 при ( - 2 + n,n ).

1) функция g определена и монотонна на J;

6. Убывающая на каждом промежутке (n, + n).

2) если функция f возрастает (убывает) на I, то g возрастает (убывает) на J.

10. Обратная функция. График обратной функции Теорема 10.2. Очень важная теорема о корне. Пусть функция f Определение 10.1. Функция g называется обратной к f, если область возрастает (убывает) на промежутке I, число а — любое из значений, определения функции f является областью значений функции g, а область принимаемых f на этом промежутке. Тогда уравнение f(x) = а имеет значений f является областью определения g, причем g (у) = х и f(x) = у единственный корень в промежутке I.

(D(f) = Е(g) и D(g) = E(f)).

Рассмотрим процесс получения обратной функции.

11. Обратные тригонометрические функции.

1. Пусть у = f(x) — заданная функция. Выражая х через у (если это 11.1. Функция у = arcsin x (арксинус) возможно), получаем равенство х = (y).

Функция синус на промежутке [–, ] определена и возрастает и 2. Переходя к общепринятым обозначениям для функции и аргумента, 2 получаем функцию у = (х), которая является обратной.

35 принимает все значения от –1 до 1. Поэтому она обратима, т.е. имеет до и такое, что его синус равен m По графику видно, что имеет место обратную функцию. Эту обратную функцию называют арксинусом и равенство:

обозначают arcsin х.

arcsin(–х) = – arcsin х.

Из определения обратной функции следует, что D(arcsin) = [–1,1], E(arcsin) = [–, ]. По теореме арксинус возрастающая функция. Ее график 1.1.2. Функция у = arccos x (арккосинус) 2 симметричен графику у = sin х относительно прямой у = х (рис.19). Функция у = cos х убывает на [0, ] и принимает все значения из [–1, 1] Значит, существует обратная функция. Она обозначается arcos x. График у = arccos x симметричен у = cos х относительно прямой у = х (рис. 20).

Рис.Свойства функции арксинус.

Рис. 20 Рис. 1. D(arcsin x) = [–1,1], E(arcsin x) = [–, ].

2 Свойства функции у = arccos х.

2. Нечетная.

1. D(arсcos x) = [–1, 1]; Е(arccos x) = [0, ].

3. Положительная, arcsin x > 0 при х[0, 2] ;

2. Нули, arccos х = 0 при х = 1.

отрицательная, arcsin х < 0 при х[- 2,0].

3. Убывающая функция.

Записи у = arccos х и х = cos y, 0 у эквивалентны. Тогда cos (arccos 4. Нули, arcsin х = 0 при х = 0.

х) = х, 0 arccos х.

5. Возрастающая.

Итак, arccos m, где –1 < m < 1 — это число, взятое в пределах от Записи у = arcsin х и х = sin у, – у эквивалентны. Подставив в 2 до и такое, что его косинус равен т.

равенство х = sin у вместо у его выражение, получаем х = sin(arcsin х), Имеет место равенство: arccos(–х) = – arccos x (рис. 21).

– arcsin х.

2 11.3. Функция у = arctg x (арктангенс) Итак, arcsin m, где – 1 < m < 1 — это число, взятое в пределах от – Функция у = tg x возрастает на (–, ) и принимает значения от – до 2 37 +. Поэтому для нее существует обратная функция, которая обозначается arctg x (рис. 22).

Рис.Рис. 12. Простейшие соотношения между Свойства функции arctg x.

обратными тригонометрическими функциями 1. D(arctg x) = R; E(arctg x) = (–, ).

2 2 x arcsin x = -arcsin(-x) = - arccos x = arctg, 2. Нечетная. 1 - x3. Нули, т.е. arctg x = 0 при х = 0.

x arccos x = - arccos(-x) = - arcsin x = arcctg, 4. Возрастающая. Для любого х имеем 1 - x x tg (arctg x) = x, – < arctg x < arctgx = -arctg(-x) = - arcctgx = arcsin, 2 2 1 + x x arcctgx = - arcctg(-x) = - arctgx = arccos.

11.4. Функция у = arcctg x (арккотангенс) 1 + xФункция у = ctg x убывает на (0, ) и принимает все значения от + до arcsin x + arccos x =, arctgx + arcctgx =.

–. Поэтому для нее существует обратная функция, которая обозначается 2 arcctg x (рис.23).

Свойства функции arcctg x.

1. D(arcctg x) = R; E (arcctg x) = (0,).

2. Убывающая.

Для любого х имеем ctg (arcctg х) = х 0 < arcctg х <.

39 13. Тождественные преобразования выражений, там положительный, т.e. sin у = 1 - x2, значит, содержащих обратные тригонометрические функции sin (arccos х) = 1 - x2, где |х| 1.

ПРИМЕР 13.1. Доказать, что arcsin x + arccos x =.

ПРИМЕР 13.3. Упростить выражение sin(arctg х), где х + k, ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Перепишем равенство:

(k Z).

arcsin x = - arccos x.

РЕШЕНИЕ. По определению, – < arctg x <. Обозначим у = arctg x.

2 sin у и положителен (IV ч.) и отрицателен (1 ч.), a cos y точно По определению, – arcsin х, а 0 arccos x. Выясним, в 2 положителен.

каком промежутке находится - arccos x.

cos y =, найдем sin у.

1 + tg y 0 –arccos x – => – –arccos x 0.

tg y x sin y = tg y cos y = =.

Добавим к неравенству, получим 1 + tg2 y 1 + x x – – arccos х.

Значит, sin(arctg х) =.

2 2 1 + xИтак, оба угла находятся в IV и I четверти, это промежуток ПРИМЕР 13.4. Упростить выражение sin(2 arccos х).

монотонности синуса.

РЕШЕНИЕ. Так как sin 2 = 2 sin cos, то Значит, из равенства синусов будет следовать равенство углов.

sin(2 arccos x) = 2 sin(arccos х) cos(arccos x) = 2 1 - x2. х = = 2 х 1 - x2.

sin(arcsin x) = x, sin( - arccos x) = cos(arccos x) = x.

1 ПРИМЕР 13.5. Вычислить sin ( arcctg (– )).

2 В промежутке монотонности синуса [–, ] нет двух различных 3 2 РЕШЕНИЕ. Пусть = arcctg (– ) => 0 < < и ctg = –, так как 4 углов, имеющих разные синусы, значит, – < 0, то < <.

arcsin x = - arccos x arcsin x + arccos x =, 4 2 1 - cos Найдем sin. Так как sin2 =, найдем cos.

что и требовалось доказать.

2 2 1 1 cos2 =, то cos2 = =.

ПРИМЕР 13.2. Упростить выражение sin (arccos х), где |х| 1.

1 + tg 1 + (- 3) РЕШЕНИЕ.

Так как в интервале (,) косинус отрицателен, то cos y = - => Положим у = arccos х, тогда 0 у и cos y = cos(arccos х) = х.

2 sin2 у = 1 – cos2у = 1 – х2, так как у находится в I и II четверти, то sin у 41 1 + + ) находится либо во II, либо в III четверти, а во II четверти.

sin2 = =.

2 2 Из Т(а + ) = Т() не следует, что а + =.

Таь как < <, то синус положительный, sin =, отсюда 4 2 2 Например, cos 30° = cos 330°, но 30° 330°.

1 3 Равенство будет выполняться, если Т(а + ) = Т(), и, кроме того, а + sin( arcctg(- )) =.

2 и принадлежат одному и тому же промежутку монотонности функции Т (по теореме о корне).

ПРИМЕР 13.6. Вычислить arcsin (sin(– )).

Во II и III четверти целесообразно взять функцию синус, так как она РЕШЕНИЕ. По определению –/2 arcsin (sin(– )) /2, значит, монотонна во II и III четверти.

sin(а + ) = sin а cos + sin cos a= 15 равенство arcsin (sin(– )) = – ложно.

1 3 4 3 3 7 =sin (- ) + cos 1 - cos2 = - + =, 3 7 3 14 14 Надо найти угол из [–/2, /2], синус которого ранен sin (– ).

13 3 sin = 1 - cos2 = 1 - (- )2 = 14 По формулам приведения положителен.

15 sin (– ) = sin (–2 – ) = sin(– ); – [–, ].

Итак, sin(а + ) = sin, причем а + и принадлежат одному 7 7 7 7 2 промежутку монотонности (по теореме о корне), то равенство доказано.

Отсюда arcsin (sin(– )) = arcsin (sin(– ) = –.

7 7 ПРИМЕР 13.8. Построить график у = sin (arcsin x), ПРИМЕР 13.7. Проверить равенство:

'Гак как |sin | < 1, то область существования 1 1 D(у) = [–1,1], E(у) = [–1,1].

arccos + arccos(- ) = arccos(- ).

2 7 В пределах области существования sin (arcsin x) = x.

1 РЕШЕНИЕ. Положим а = arccos => а = ; = arccos(– ), 0, 2 3 => cos = – => косинус отрицателен во II четверти, значит, < < ;

7 = arccos(– ) => < < (аналогично рассуждая).

14 Докажем, что а + = ПРИМЕР 13.9. Построить график у = arcsin(sin x).

1. Сначала докажем, что выполняется равенство Т(а + ) = Т(), где Т 1. Е(у) = [–/2, /2], D(у) = (–, +).

— некоторая тригонометрическая функция. Сумма углов ( + <а + < 2. Функция нечетная, так как arcsin(sin (–x)) = arcsin(– sin x) =– arcsin х.

2 Значит, достаточно построить график функции для х > 0, а затем 43 симметрично отобразить относительно начала координат. Математика: Тригонометрия 3. Функция периодическая, так как arcsin(sin (x+2)) = arcsin(sin x), т.е. Модуль № 1 для 10 класса Т = 2. Можно взять отрезок [–, ] и затем периодически продолжить. Учебно-методическая часть За счет симметрии построим только на отрезке [0, ].

Для 0 х имеем arcsin(sin х) = х.

Составитель: Татьяна Ивановна Качаева Выясним, чему равен arcsin (sin х) для х. Надо найти х0 в первой четверти, чтобы sin х0 = sin х для х [,]. Это будет угол х0 = – х, Редактор: О.Ф.Александрова Корректура автора так как sin х0 = sin ( – х) = sin х.

Тогда arcsin (sin ( – х)) = – х при х [,].

Подписано в печать 25.12.2006. Формат 60х84/16.

Получаем уравнение прямой у = – х. Строим на полупериоде, Бумага газетная. Печать ризографическая.

симметрично относительно начала координат отражаем. Затем периодически Усл. печ. л. 2,8.

продолжаем. Получаем график:

Pages:     | 1 | 2 || 4 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.