WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 || 3 | 4 |

100° — I четверть, ордината положительна; 200° — III четверть, абсцисса отрицательна; 120° — II четверть, ордината линии тангенсов отрицательна; 145° — II четверть, абсцисса линии котангенсов отрицательна;

Рис.3 рад — II четверть, отрицательный; 2 рад — II четверть, отрицательный.

Прямую у = 1 называют линией котангенсов. Функция котангенс Знак А = (+)(–)(–)(–)(–)(– ) = (–). Знак произведения отрицательный.

обозначается у = ctg x.

Область определения и область значений котангенса соответственно равны:

ПРИМЕР 6.2. Определите знак разности:

D(ctg x) = {R, х k, k Z}, a) sin 350° – sin 345° ; б) cos 3,1 – cos 2,9.

E(ctg x) = R.

15 6.2. Четные и нечетные функции Определение 6.1. Функция f называется четной, если для любого х из области определения f значение (–х) также входит в область определения и выполняется равенство f(–х ) = f(х ).

Определение 6.2. Функция f называется нечетной, если для любого х из области определения и (–х) входит в область определения, причем РЕШЕНИЕ. выполняется равенство f(–х ).= –f(х ).

а) значения 350° и 345° находятся в IV четверти, а там большему Из определений следует, что график любой четной функции значению угла соответствует большее значение синуса, те sin 350° > sin 345° симметричен относительно оси ординат, а нечетной функции симметричен => sin 350° – sin 345° > 0; относительно начала координат (рис.10).

6) углы находятся во II четверти, большему значению угла соответствует меньшее значение косинуса, т.е. cos 3,1 < cos 2,9 => cos3,1 – cos 2,9 <.

ПРИМЕР 6.3. Упростить выражение 1- sin 1+ sin Рис A = +, при k.

1 + sin 1- sin Теорема 6.1. Косинус — четная функция, а синус, тангенс и РЕШЕНИЕ. Помножим числители и знаменатели подкоренных котангенс — нечетные функции.

выражений на их числители, получим Доказательство. Вместе с любым существует по определению и угол 2 (1- sin) (1+ sin) (–). А значит, существуют и синусы, и косинусы этих углов.

A = +.

2 1- sin 1- sin Так как x = x, получаем 1- sin 1+ sin A = +.

cos cos Так как |sina| < 1 при k, то 1 – sin > 0, 1 + sin > 0, следовательно 1- sin 1+ sin Рис. A = + = = cos cos cos Р и Р– симметричны относительно оси абсцисс (рис.11).

2sec;

I, II.

Это означает, по определению синуса и косинуса, что при любом = 2sec = - 2sec; II, III.

абcциссы углов совпадают, а ординаты противоположны, т.е. cos = cos(–), sin(–) = – sin.

17 Тогда f (-x) - f (x) f (x) - f (-x) (-x) = = - нечетная.

2 sin(- ) - sin tg(-) = = = -tg ;

Значит, нашли представление f(x) в виде суммы четной и нечетной cos(- ) cos функций.

cos(- ) cos ctg(-) = = = -ctg, sin(- ) - sin Докажем единственность.

Предположим, что существуют другие g1(x) 1(х) — четная, и g2(x) что и требовалось доказать.

2(х) — нечетная, что f(x) = g1(x) + g2(x).

ПРИМЕР 6.4. Найдите все функции (с симметричной относительно Ищем по предыдущей схеме g1(x) и g2(x), получим, что g1(x) = 1(х), а точки О областью определения), являющиеся одновременно четными и g2(x) 2(х). Пришли к противоречию. Значит, представление единственно.

нечетными.

РЕШЕНИЕ. Пусть f(x) является одновременно четной и нечетной, т.е.

f(–х ) = f(х ) и f(–х ) = –f(х ) => 6.3. Периодичность тригонометрических функций левые части равны, значит, равны и правые, т.е. Определение 6.3. Функция f называется периодической, если существует такое число Т 0, что при любом х из области определения f f(х ) = –f(х ) => f(x) + f(x) = 0, 2f(х ) = 0 => f(х ) = 0.

Ответ: f(х ) = 0 является одновременно четной и нечетной. число (х + Т) также принадлежит этой области и при этом выполняется равенство ПРИМЕР 6.5. Докажите, что любая функция с симметричной относительно точки О областью определения представляется (притом f(x) = f(x+T).

Число Т называется периодом функции f.

единственным образом) в виде суммы четной и нечетной функций.

Определение 6.4. Основным периодом называется наименьший из ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Предположим, что 1(х) четная функция, а 2(х) — нечетная, и f(х ) = 1(х) + 2(х). множества всех положительных периодов функции.

Тогда f(–х ) = 1(–х) + 2(–х) = 1(х) – 2(х), так как 1(х) – четная, 2(х) Теорема 6.2. Если Т1 и Т2 — периоды функции f, mo число Т1 + Т— нечетная функции. также является периодом f.

Из этих равенств найдем 1(х) и 2(х). ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. ПО определению периода и свойствам чисел:

f(x) = f(x+(Т1 + Т2))= f(x+Т1) + Т2)= f(x+Т1)= f(x).

Сложим равенства:

Итак, Т1 + Т2 — период функции f.

f (x) + f (-x) f(x) + f(–x) = 2 1(х) => 1(х) =.

Следствие. Если Т — период функции, то число пТ (п 0, п Z) тоже Вычтем:

период этой функции.

f (x) - f (-x) Теорема 6.3. Если периодическая функция имеет действительный f(x) – f(–x) = 2 2(х) => 2(х)=.

период, непрерывна и отлична т постоянной, то для нее существует Проверим:

основной период Т0.

f (-x) + f (x) (-x) = четная, 19 Теорема 6.4. Функции синус, косинус, тангенс, котангенс являются Тогда периодическими. y - y y tg =, tg( ± ) = =, x - x x ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. ЕСЛИ число принадлежит области определения какой-либо основной тригонометрической функции, то и числа ± 2 тоже x - x x ctg =, ctg( ± ) = =.

y - y y принадлежат области определения, так как точки Ра и P±2 совпадают.

Значит, — период тангенса и котангенса.

Значит, sin( ± 2) = sin, cos( ± 2) = cos, tg ( ± 2) = tg, cfcg( ± 2) = По определению tg ( + Т) = tg, полагая = 0, получаем tg Т = 0, т.е.

ctg. Итак, основные тригонометрические функции периодические.

Т = k, при k = 1 получаем Т0 =. Аналогично для котангенса, Т0 =..

Теорема 6.5. Основным периодом для функций синуса и косинуса является число То = 2.

Теорема 6.7. Основной период функции у = sin nx равен.

n ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Докажем для синуса.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть Т — период данной функции, тогда sin n(x + Т) По определению периода sin( + Т) = sin. Полагая =, получим = sin nx, полагаем x = 0, получаем sin пТ = sin 0 = 0. Синусы равны нулю в Р0+2k и Р +2k. Точка Р +2k не подходит, так как она не подходит уже для sin( + Т) – sin => sin( + Т) = 1. На единичной окружности только точки 2 2 п = 1.

P/2+2k имеют ординату, равную 1. Отсюда 2k Значит, пТ = 2k => Т =,тогда при k = 1 Т0 =.

n n + Т= + 2k => Т = 2k. Так как Т0 0 и Т0 > 0, то Т0 = 2.

2 Если отношение периодов двух функций f(x) и g(х) является Докажем для косинуса.

рациональным числом, то сумма и произведение этих функций также Аналогично, cos( + Т) – cos, полагаем = 0, получаем cosТ – cos0= будут периодическими функциями.

=> Т = 2k; при k = 1, Т0 = 2.

Если же отношение периодов всюду определенных и непрерывных Основной период косинуса Т0 = 2.

функций f и g будет иррациональным числом, то функции f + g и f. g будут Теорема 6.6. Основным периодом для тангенса и котангенса является непериодическими функциями.

число.

Например, функции cos x sin 2 x и cos 2 x + sin x непериодические функции, хотя функции sin 2 x и cos 2 x периодичны с основным периодом 2, sin х и cos х периодичны с периодом 2.

ПРИМЕР 6.6. Найти основной период функции f(x) = sin 2x + cos 3x + 2.

РЕШЕНИЕ. Основной период sin 2x равен = = Т1. Основной период Рис. Так как при любом значении а точки Р и Р± симметричны относительно начала координат (рис. 12), т.е Р =(х,у), а Р± = =(–х,–у), 21 2 cos 3x равен = Т2. Значит, Т0 = — период функции f(x) = a (sin x + ).

Тогда общий основной период должен удовлетворять условию:

2 7. Формулы приведения пТ1 = kТ2, т.е. n= k => n= k, 3 Эти формулы дают возможность:

это выполняется при минимальных k = 3 и n = 2, т.е. Т0 =2 для функции f(x).

1) находить значения тригонометрических функций любых углов, ПРИМЕР 6.7. Доказать, что функция у = cos x + cos x используя лишь значения углов, не превышающих 90°;

непериодическая, когда — иррациональное число.

2) совершать преобразования, упрощающие вид формул. Они верны ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть Т — период функции, тогда должно для любого угла, условно считая его острым.

выполняться: cos(x + Т) + cos (х + Т) = cos x + cos x, Определение 7.1. Кофункциями синуса, косинуса, тангенса, а) подставляем х = 0, получим cosT + cos T = 2.

котангенса называются соответственно косинус, синус, котангенс, Так как |cos х| 1, то cos Т = 1 и cos T = 1.

тангенс.

Отсюда Т = 2k и T = 2п; где п, k Z ; п, k 0.

Пусть х — любой угол.

n Подставим Т = 2k в T = 2п, получаем =.

1. Если угол положительный и больший 2, то, пользуясь k периодичностью:

n Пришли к противоречию, — иррациональное число, а — sin х = sin( + 2n) = sin, k cos х = cos( + 2n) = cos ;

рациональное. Значит, функция непериодическая.

для тангенса и котангенса;

ПРИМЕР 6.8. Найти основной период функции f(x) = a sin(x + ), tg х = tg ( + n) = tg, 0.

ctg x = ctg ( + n) = ctg.

РЕШЕНИЕ. Пусть Т — период, тогда 2. Если угол отрицательный, то, пользуясь четностью и a (sin (x + Т) + ) = a sin(x + ), откуда sin((x + Т) + )= sin(x + ), синусы нечетностью функций, сводим к положительному углу:

равны, когда углы отличаются на 2k, к Z, k 0.

sin(–х) = – sin х:, cos(–х) = cos x, (x + Т) + = x + + 2k, отсюда tg(–х) = –tg х, ctg(–x) = –ctg x.

Т = х + 2k, положим х = 0, 2k 3. Тригонометрические функции угла из [,2 ] сводятся к Т = 2k, Т =, тогда Т0 =.

тригонометрическим функциям острого угла по таблице 2 (формулам Сделаем проверку:

приведения):

a (sin (x + ) + ) = a (sin x + 2 + ) = a (sin x + ).

23 Таблица 2 2 cos( + ) > 0, так как угол + находится в IV четверти.

3 Аргумент ПРИМЕР 7.3. Расположите в порядке возрастания числа (не пользуясь Функция х = + x =± х = + x =2– 2 таблицами и калькулятором): sin 10°, cos 275°, tg l90°, ctg 100°. Сведем к sin х cos m sin – cos –sin синусам и тангенсам острого угла:

cos х –sin – cos ±sin cos tg х –ctg ±tg m ctg –tg ctg х –tg ±сtg m tg –ctg Т.е. для углов n ±, считая "условно" острым, можно пользоваться мнемоническим правилом:

cos 275° = cos (270° + 5°) = sin 5° > 0, 1. Функция меняется на кофункцию, если в формуле приведения IV четв.

аргумент вычитается или прибавляется к числу, взятому нечетное число tg l90° = tg(180°+ 10°) = tg 10° > 0, III четв.

раз. Функция не изменяется, если взято четное число раз.

ctg 100° = (ctg (90° + 10°) = –tg 10° < 0, 2. Перед приведенной функцией ставится знак, совпадающий со знаком II четв.

приводимой функции, считая, что угол является острым.

Из рисунка видно, что tg 10° > sin 10°. Так как легко видеть, что для ПРИМЕР 7.1. Определить знак tg 10.

любого 0 х, sin х < tg x, то записываем ответ.

Так как 3, 14; а 1,57, 3 9,42.

Ответ: ctg 100° < cos 275° < sin 10° < tg 190°.

tg l0 tg(3 + 0,58) tg 0,58.

8. Тождественные преобразования Угол в 0,58 рад. находится в I четверти. tg 0,58 > 0.

8.1. Формулы сложения и вычитания аргументов ПРИМЕР 7.2. Вычислить cos.

Из школьного курса известны выводы формул:

cos( ± ) = cos cos m sin sin, 197 2 РЕШЕНИЕ. cos = cos(65 + ) = cos(2. 32 + + ) = cos( + 3 3 3 sin( ± ) = sin cos ± cos sin, 2 2 tg ± tg ) = cos( + – 2) = cos(– ) = cos( ) =.

tg( ± ) =, 3 3 3 3 1m tg tg Найти ошибку в рассуждениях:

ctg ctg m ctg( ± ) =.

197 2 2 1 ctg ± ctg cos = cos( + ) = cos( ) = –.

3 3 3 25 8.2. Формулы двойного угла основными тригонометрическими функциями есть соотношения, которые sin 2 = 2sin cos, позволяют по-разному написать одно и то же выражение.

2 2 2 Возникает вопрос: нельзя ли выбрать одну какую-нибудь функцию и cos 2 = cos - sin = 1- 2sin = 2cos -1, через нее выражать все остальные Если взять в качестве такой функции 2tg ctg -tg2 =, ctg2 =.

1- tg 2ctg синус, то во многих формулах появятся квадратные корни. Такие формулы 8.3. Формулы суммы и разности неудобны.

+ - Оказывается, все тригонометрические функции от аргумента х (и от пх, sin + sin = 2sin cos, 2 x при п Z) выражаются через тангенс угла рационально (без корней).

+ - sin - sin = 2cos sin, 2 8.7. Универсальная тригонометрическая подстановка + - x x x 2sin cos 2tg cos + cos = 2cos cos, 2 2 sin x = (разделим на cos2 x ) =, 2 sin2 x + cos2 x tg2 x + 2 2 + - cos - cos = -2sin sin, cos2 x - sin2 x 1 - tg2 x 2 2 2 cos x = (разделим на cos2 x ) =, sin2 x + cos2 x tg2 x + 2 2 sin( ± ) sin( ± ) tg ± tg =, ctg ± ctg =.

cos cos sin sin x 2tg 1 - tg2 x 2 tgx =, ctgx =.

x 8.4. Формулы произведения 1 - tg2 x 2tg 2 Применение этих формул сужает ОДЗ.

sin sin = (cos( - ) - cos( + )), x ПРИМЕР 8.1. Выразить через z = tg выражение cos cos = (cos( + ) + cos( - )), A =.

tg + tg 5 - 4sin x + 3cos x tg tg =.

ctg + ctg РЕШЕНИЕ.

8.5. Формулы понижения степени Область допустимых значений выражения А есть множество М=R.

1+ cos 2 1- cos 2 cos =, sin =. Применяя формулы 2 x 2tg 8.6. Формулы половинного угла sin x = (x + 2n, n Z), 1 + tg2 x x 1- cos x x 1+ cos x sin = ±, cos = ±, 1 - tg2 x 2 2 2 cos x = (x + 2k, k Z), 1 + tg2 x x 1- cos x sin x 1- cos x tg = ± = =.

2 1 + cos x 1+ cos x sin x получим Обилие тригонометрических формул связано с тем, что между 27 2 A = = = разделим на 2sin, получим:

x x 2tg 1 - tg 8z 3(1 - z2 ) 2 5 - + 5 - 4 + 2 x x 1 + z2 1 + ztg + 1 1 + tg 2 2 32 4 4 8 2 2sin cos Lcos sin cos cos Lcos 65 65 65 65 65 65 2(1 + z2) 2(1 + z2 ) 1 + zB = = = = = =.

2 5 + 5z2 - 8z + 3 - 3z2 2z2 - 8z + 8 (z - 2)2 2sin 22 sin 65 О.Д.З. сузилась, (x + 2k, k Z ).

sin sin( - ) sin 65 65 ПРИМЕР 8.2. Вычислить без таблиц tg 22о30'.

= и т.д. = = = =.

2 2 26 sin 26 sin 26 sin РЕШЕНИЕ. Используем формулы половинного угла:

65 65 1 - cos45° - 2 - 2 ПРИМЕР 8.5. Доказать, что tg tg + tg tg + tg tg = 1, если tg22°30'= = = = 2 -1.

sin 45° + + =.

ПРИМЕР 8.3. Вычислить без таблиц:

РЕШЕНИЕ. Преобразуем левую часть равенства, обозначив ее 3 5 A = sin4 + sin2 + sin4 + sin4.

16 16 16 А = tg tg + tg (tg + tg ), так как по условию = - -, то РЕШЕНИЕ. Используем формулы приведения:

5 5 A = tg tg + tg - ( + )(tg + tg ) = sin4 = cos4 ( - ) = cos4, 16 2 16 = tg tg + ctg( + )(tg + tg ).

7 sin4 = cos4 ( - ) = cos4.

16 2 16 16 1 - tg tg Так как ctg( + ) =, tg + tg 3 A = sin4 + cos4 + sin4 + cos4, выделим полные квадраты.

16 16 16 1 - tg tg A = tg tg + (tg + tg ) =1, tg + tg 3 A = (sin2 + cos2 )2 - 2sin2 cos2 + (sin2 + cos2 )2 16 16 16 16 16 что и требовалось доказать.

Pages:     | 1 || 3 | 4 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.