WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     || 2 | 3 | 4 |
Агентство образования администрации Красноярского края Математика: Модуль №1 для 10 класса. Учебно-методическая часть./ Сост.:

Красноярский государственный университет Т.И.Качаева, доцент кафедры высшей математики, КрасГУ. – Красноярск, Заочная естественно-научная школа при КрасГУ 2006 — 46 c.

ISBN 5-7638-0702-2 МАТЕМАТИКА Печатается по решению Дирекции ТРИГОНОМЕТРИЯ Краевого государственного учреждения дополнительного образования Заочная естественно-научная школа при Красноярском государственном университете Модуль № 1 для 10 класса Учебно-методическая часть © Красноярский государственный Красноярск 2006 ISBN 5-7638-0702-2 университет, 2006 2 Программа модуля тригонометрическая величина есть функция угла. Отсюда название 1. Историческая справка. тригонометрические функции.

2. Определение тригонометрических функций. Казалось бы, тригонометрию можно считать лишь частью геометрии, 3. Свойства тригонометрических функций и их графики. однако тригонометрические функции — это объект изучения 4. Квадранты единичной окружности. Знаки тригонометрических математического анализа, а тригонометрические уравнения изучаются функций. методами алгебры.

5. Вычисление значений тригонометрических функций без таблиц. Основные формулы тригонометрии задаются теоремой синусов и Нахождение одних тригонометрических функций по значениям теоремой косинусов.

других. Кроме них, часто применяется теорема тангенсов, открытая в XV в.

6. Тождественные преобразования тригонометрических выражений. немецким математиком И. Региомонтаном, 7. Обратные тригонометрические функции и их графики.

A - B tg a - b 2 8. Простейшие соотношения между обратными тригонометрическими =, A + B a + b tg функциями.

2 где a, b, с — стороны треугольника, а А, В, С — противоположные им углы, 1. ВВЕДЕНИЕ р — полупериметр треугольника.

Слово "тригонометрия" составлено из греческих слов "тригонон" — Площадь треугольника помимо формулы Герона может быть выражена треугольник и "метрезис" — измерение.

через стороны и тригонометрические величины углов еще несколькими Тригонометрия — математическая дисциплина, изучающая способами:

зависимость между сторонами и углами треугольника.

1 a2 sin Bsin C A B C S = a bsin C, S =, S = p2tg tg tg.

Углы произвольного треугольника нельзя связать непосредственно с 2 2sin(B + C) 2 2 его сторонами с помощью алгебраических соотношений. Поэтому Тригонометрия возникла из практических нужд человека. С ее тригонометрия вводит в рассмотрение, кроме самих углов, помощью можно определить расстояние до недоступных предметов, тригонометрические величины (синус, косинус, тангенс, котангенс). Эти существенно упрощать процесс геодезической съемки местности для величины уже можно связать со сторонами треугольника простыми составления географических карт.

алгебраическими соотношениями. С другой стороны, по значению Потребность в решении треугольников раньше всего возникла в тригонометрической величины можно определить угол, и обратно. Правда, астрономии, и в течение долгого времени тригонометрия развивалась как эти вычисления требуют длительных и утомительных расчетов, но эта работа раздел астрономии.

проделана раз и навсегда и закреплена в таблицах.

Древнегреческие ученые разработали "тригонометрию хорд", Значение каждой тригонометрической величины изменяется с изложенную Птолемеем (II в.). Он вывел соотношения, между хордами в изменением угла, которому она соответствует; другими словами, круге, которые равносильны современным формулам для синуса 3 половинного и двойного угла, синуса суммы и разности двух углов.

Дальнейший шаг в развитии тригонометрии сделали индийские ученые, которые заменили хорды синусами.

Общепринятые понятия тригонометрии сформулировались в процессе долгого исторического развития. Если, например, при введении основных понятий представляется естественным принимать радиус Рис.тригонометрического круга равным единице, то эта простая идея появилась Проведем окружность с центром в О (рис.1). Радиус ОА называется только в X - XI вв.

начальным радиусом.

Региомонтан составил обширные таблицы синусов (через 1 минуту с Если повернуть начальный радиус против часовой стрелки, то угол точностью до седьмой значащей цифры).

поворота — положительный;

Буквенные обозначения утвердились в тригонометрии лишь в середине если повернуть по часовой стрелке, то угол поворота — XVIII в. благодаря Л. Эйлеру Этот великий математик придал всей отрицательный.

тригонометрии ее современный вид. Величины sin x, cos x и т.д. он На рис.1 начальный радиус перешел в ОВ, угол поворота рассматривал как функции числа х — радианной меры соответствующего положительный и равен 45°, угла. Эйлер давал числу х всевозможные значения: положительные, и начальный радиус перешел в ОС — угол поворота отрицательный и отрицательные, комплексные. Он ввел и обратные тригонометрические равен (–45°).

функции.

Наряду с градусной мерой угла употребляется радианная мера угла.

Из геометрии известна следующая теорема.

2. Углы и их измерение Теорема 2.1. Отношение длины окружности к ее диаметру не Определение 2.1. Угол — это часть плоскости, ограниченная двумя зависит от окружности, т.е. одно и то же для любых окружностей.

лучами, выходящими из одной точки, вершины угла.

Отношение длины окружности (l) к диаметру (2R) принято обозначать Угол разбивает плоскость на две части. Каждая из них называется греческой буквой :

плоским углом.

l Плоские углы с общими сторонами называются дополнительными. =.

2R В качестве единицы измерения углов принят градус — часть Число — иррациональное.

Приближенное значение 3,1416.

развернутого угла (прямой).

Длина окружности вычисляется по формуле Зафиксируем не только вершину угла, но и один из образующих его l = 2R.

лучей. Поместим вершину yгла в начало координат, а одну сторону направим по оси ОХ.

5 Определение 2.2. Центральным углом в окружности называется 3. Тригонометрические функции острого угла плоский угол с. вершиной в ее центре.

Решение всяких треугольников в конечном счете сводится к решению Часть окружности, расположенная внутри плоского угла, называется прямоугольных треугольников. В прямоугольном треугольнике отношение дугой окружности, соответствующей этому центральному углу (рис.2) двух сторон не зависит от длин, а полностью зависит от величины одного из углов.

Теорема 3.1. Отношение сторон прямоугольного треугольника зависит только от градусной меры угла.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть ABC и А'В'С' — два прямоугольных треугольника с одним и тем же углом а при вершинах А и А'.

Рис.Градусной мерой дуги окружности называется градусная мера соответствующего центрального угла.

Развернутому углу (прямой) соответствует длина полуокружности R.

Рис. R R Углу в 1° соответствует дуга, углу в п° соответствует дуга п.

Требуется доказать, что 180° 180° A C AC A B AB Определение 2.3. Радианной мерой утла называется отношение = или = и т.д.

A B AB B C BC длины соответствующей дуги к радиусу окружности, т.е.

Отложим на луче АВ отрезок AB1, равный А'В', на луч АС — отрезок l = n AC1, равный А'С'.

R Треугольники АВ1С1 и А'В'С' равны по первому признаку. Поэтому Радианная мера угла получается из градусной умножением на 180° угол АВ1С1 прямой, Значит, прямые В1С1 и ВС, перпендикулярные прямой В частности, радианная мера угла 180° равна.

АС, параллельны.

ПРИМЕР 2.1. Найти площадь сектора радиуса 10см, если дуга сектора По обобщенной теореме Фалеса:

AC1 AC A C AC содержит радиан.

=, а так как AC1 = А'С', AB1 = А'В', то =.

AB1 AB A B AB РЕШЕНИЕ. Площадь круга равна R2, где R — радиус круга.

Аналогично R2 3 3 A B AB Sсек = = R2 = 100 см2 = 75 см2.

=, 2 2 4 B C BC что и требовалось доказать Отношения различных пар сторон в прямоугольном треугольнике 7 называются тригонометрическими функциями его острого угла (рис. 4). По отношению к углу В названия меняются:

b a b a sin B =, cos B =, tgB =, ctgB =, и т.д.

c c a b Для некоторых углом можно найти точные выражения их тригонометрических величин. Занесем их в таблицу.

Рис. 4 Таблица 1. Синус угла А — это отношение противолежащего катета к А sin А cos А tg А ctg А stc А costc А гипотенузе, т.е.

0o 0 1 0 a 1 sin A =.

30o= c 6 2 3 2. Косинус угла А — это отношение прилежащего катета к 2 45o= 1 2 гипотенузе, т.е.

2 b 1 cos A =.

60o= c 3 2 3 3. Тангенс угла А — это отношение противолежащего катета к 90o= 1 0 0 прилежащему, т.е. a tgA =.

b 4. Основные соотношения между тригонометрическими 4. Котангенс угла А — это отношение прилежащего катета к функциями одного и того же угла противолежащему, т.е.

Из определения синуса, косинуса, тангенса, котангенса и теоремы b ctgA = Пифагора следуют основные тождества:

a ПРИМЕР 4.1. Вычислить sin 18°.

5. Секанс угла А — отношение гипотенузы к прилежащему катету, Рассмотрим равнобедренный треугольник ABC с углом при вершине т.е.

36°. Тогда углы при основании но 72° (рис.5).

c sec A =.

Проведем биссектрисы углов А и В, обозначив их AM и ВК.

b Треугольники ABC и MAC подобны по трем углам.

6. Косеканс угла А — отношение гипотенузы к противолежащему Пусть АВ = ВС = а, АС = b, обозначим МС = х, ВМ = а – х.

катету, т.е.

b x c Тогда из подобия треугольников следует = (1). Так как cosecA =.

a b a биссектриса {AM) внутреннего угла треугольника делит сторону (ВС), 9 которую она пересекает, на отрезки, пропорциональные прилежащим sin + tg sin2 + tg2 (sin + tg) sin2 + tg - = - = 1 1 сторонам, то имеем cosec + ctg cosec2 + ctg2 ( + ) + sin tg sin2 tga a - x (sin + tg) sin2 + tg=. (2) = - = sin2 tg2 - sin2 tg2 = 0.

b x (tg +sin )2 (tg +sin )sin2 tg2 sin2 tgВК — является высотой треугольника ABC. Тогда ВКС прямоугольный, Тождество доказано.

b b а угол КВС = 18°. sin 18°= =.

a ПРИМЕР 4.3. Пусть sin + cos = m. Найти sin4 + cos4.

2a РЕШЕНИЕ. Выделим полный квадрат:

1 b bИтак, из (1) и (2) надо найти. Из (1) получаем x =, подставим в 2 a a sin4 + cos4 = (sin4 + 2sin2 cos2 + cos4 ) - 2sin2 cos2 = (2) = (sin2 + cos2 )2 - 2sin2 cos2 = b=1 - 2sin2 cos2, (т.к. sin2 + cos2 =1).

a a a a2 - b2 aa = или = = -1.

bb b b2 bНайдем sin2 cos2.

a Возведем в квадрат исходное равенство:

b 1 Обозначим = z, получаем = -1, z2 + z -1 = 0, откуда a z z(sin + cos) = m2 sin2 + 2sin cos + cos2 = m2, т.е.

-1± 5 1 b m2 -z1,2 =. Так как по геометрическому смыслу > 0, то выбираем 1 + 2sin cos = m2 sin cos =.

2 2 a 5 -1 Следовательно, -1 (m2 -1) 1 + 2m2 - m m sin4 + cos4 =1 - 2 =1 - =.

1 5 -1 5 -2 2 Отсюда sin 18° = =.

2 2 5. Тригонометрические функции любого угла Используя основные формулы, можно найти cos 18°, tg l8°, ctg 18°.

Можно построить всю тригонометрию, пользуясь только ПРИМЕР 4.2. Доказать тождество:

тригонометрическими функциями остpых углов. Однако решение многих sin + tg sin2 + tg =.

задач принимает единообразную форму, если распространить понятие cosec + ctg cosec2 + ctg синуса, косинуса и т.д. на углы любой величины, положительные и РЕШЕНИЕ. Тождество будет доказано, если установить, что разность отрицательные.

между выражениями, стоящими в левой и правой частях этого тождества, Определение 5.1. Окружность радиуса 1 с центром в начале равна нулю.

координат называют единичной окружностью.

Определение 5.2. Диаметр единичной окружности, лежащий на оси у, назовем вертикальным, а на оси х — горизонтальным.

11 отрицательных углов.

Сопоставляя каждому числу х его синус и косинус, получим две функции: х у = sin х и х у = cos х, определенные на всей числовой прямой. Значит, D(sin x) = R, D(cos x) = R. Так как абсциссы и ординаты точек единичной окружности принимают значении от –1 до +1, то области значений этих функций равны [–1, l]. T.e. E(sin x) = [–1, 1], E(cos x) = [–1,1].

Поскольку координаты любой точки единичной окружности удовлетворяют уравнению х2 + у2 = 1, то для любого х Рис.sin2 х + cos2 x = 1.

Пусть точка Ра(ха,уа) единичной окружности получена из точки Определение 5.5. Тангенсом угла а называется отношение ординаты P0(1, 0) поворотом на угол в радиан (рис.6).

y sin точки Ра(ха,уа) к ее абсциссе, т.е. tg a = =.

Определение 5.3. Ордината точки Ра(ха,уа) — это синус угла, т.е.

x cos y Определение 5.6. Котангенсом угла а называется отношение sin = = уа. Ордината лежит на вертикальном диаметре — линии x cos абсциссы точки Ра(ха,уа) к ее opдинаme, т.е. ctg a = =.

синусов.

y sin Определение 5.4. Абсцисса точки Ра(ха,уа)— это косинус угла, т.е.

Функция тангенс обозначается у = tg a. Из определения тангенса x cos = = ха. Абсцисса лежит на горизонтальном диаметре линии y следует, что tg a = неопределен, когда ха = 0. Найдем углы у которых x косинусов.

3 ха = 0. Это углы а = ±, ±, ± и т.д., т.е.

2 2 а – + k, где k Z.

Итак, D(tg x) = {R, х + k, k Z).

Вспомним наглядное представление о тангенсе (рис.8). Нарисуем единичную окружность и проведем прямую х = 1.

Проведем через точку Ра и начало координат прямую, ее уравнение Рис. y у = k х, где k = = tga.

Если точка Р(х,у) находится во II четверти (рис.7), то sin — x положительная величина, cos — отрицательная величина.

Точка пересечения K (1, tga ) прямых у = х tg a и х = 1 имеет ординату, Аналогично для других четвертей, углов, больших 360°, и равную tg a.

13 Таким образом, значения тангенсов всех углов лежат на прямой х = 1 Перемножив тангенс уuла х на его котангенс, получаем:

(линии тангенсов). tg х. ctg х = 1.

Это равенство справедливо для х { R, х + k1,, х k2}.

Обобщая, получаем х { R, х k, k Z}.

6. Основные свойства тригонометрических функций 6.1. Знаки тригонометрических функций Рис По рисунку (рис.8) видно, что если угол находится в I и III четверти, то Из определения тригонометрических функций следует, что их знаки в тангенс его положительный; если во II и IV, то отрицательный, E(tg x) = R.

четвертях будут следующими:

Аналогично, прямая у = 1 и прямая у = x tg a пересекаются в точке x N(, l), абсцисса которой равна котангенсу угла а (рис.9).

y ПРИМЕР 6.1. Определите знак произведения А = sin 100° cos 200° tg. 20° ctg 145° tg 3 ctg 2.

РЕШЕНИЕ.

Pages:     || 2 | 3 | 4 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.