WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 17 | 18 || 20 |

2.20П Ступенчатый цикл для клетки (R, Ф) Ф С + 5 – Р 2 – 7 + R 4 – Знак «+» означает увеличение количества перевозимых изделий в данной клетке; знак «–» – уменьшение соответствующего количества изделий.

Клетки со знаком «–» – это клетки (R, Ф) и (R, С), объем перевозок в которых равен 7 и 4 изделиям, соответственно. Минимальным значением для клеток, отмеченным знаком «–», является 4, что означает, что внутри цикла можно осуществлять перемещение четырех изделий, добавляя их в клетки со знаком «+» и вычитая из клеток со знаком «–». Общая экономия стоимости транспортировки составит в данном случае (2 4) = 8 у.е.

Изменения, внесенные в транспортную таблицу, отражены в таблице.

2.21П Перераспределение перевозок Транспортные издержки Постав- Общий объем для магазинов, у.е.

щик предложения А В С Ф 10 20 5 Р – – 2 + 4 7 – 4 2 10 8 Q – 4 – – 1 20 7 R 3 1 4 – 4 0 + 4 Общий объем 3 5 6 7 спроса Данное решение по-прежнему является базисным, так как число заполненных клеток равно 6. Проверим данное решение на оптимальность с использованием метода МОДИ. Обратившись к заполненным клеткам (Р, С), (Р, Ф), (Q, В), (R, А), (R, В) и (R, Ф), получим:

с13 = 5 = u1 + v3 Положим, u = 0, тогда v3 = с14 = 0 = u1 + v4 v4 = с34 = 0 = u3 + v4 v1 = с31 = 1 = u3 + v1 v2 = с32 = 20 = u3 + v2 u3 = с22 = 10 = u2 + v2 u2 = – Таким образом, теневые цены, соответствующие пустым клеткам, будут равны:

sij = сij – (ui + vj) s11 = 10 – (0 +1) = + s12 = 20 – (0 + 20) = s21 = 2 – (–10 + 1) = + s23 = 8 – (– 10 + 5) = + s24 = 0 – (– 10 + 0) = + s33 = 7 – ( 0 + 5) = + Поскольку ни одно из значений теневых цен не отрицательно, полученное решение является оптимальным.

Минимальная стоимость равна:

101 + (4 (–2)) = 93 у.е.

2.22П Применение метода МОДИ для проверки на оптимальность распределения перевозок Транспортные издержки Поставщ Общий объем для магазинов, у.е.

ик предложения А В С Ф 10 20 5 Р + 9 0 6 3 9 u1 = 2 10 Q +11 45 +13 +10 4 u2 = – 1 20 7 R 3 1 +2 4 8 u3 = Общий объем 3 5 6 7 спроса v1 = 1 v2 = 20 v3 = 5 v4 = Решение.

• Шесть изделий перевозятся со склада Р в розничный магазин С, три изделия остаются на складе Р;

• четыре изделия перевозятся со склада Q в магазин В;

• со склада R перевозятся три изделия в магазин А, одно – в магазин В, а четыре изделия остаются на складе.

В случае если и повторное распределение перевозок не является оптимальным, процедуру перераспределения повторяют необходимое число раз.

Следует отметить, что минимальная стоимость была достигнута еще в исходном распределении перевозок, полученном методом Вогеля. Такая ситуация в задачах небольшой размерности бывает довольно часто. Обычно метод Вогеля позволяет получить наилучшее начальное решение, однако нет никаких гарантий, что применение этого метода сразу обеспечивает получение оптимального решения. Следует также отметить, что распределение перевозок, полученное методом Вогеля, несколько отличается от распределения, найденного выше. Данная задача имеет альтернативное оптимальное решение:

• со склада Р одно изделие вывозится в магазин В, шесть – в магазин С, а два – остаются на складе;

• со склада Q четыре изделия вывозятся в магазин В;

• со склада R три изделия вывозятся в магазин А, а пять остаются на складе.

О существовании альтернативного оптимального решения говорит и нулевое значение теневой цены, соответствующей клетке (Р, В). Нулевые значения теневых цен всегда связаны с существованием альтернативных оптимальных распределений перевозок, которым соответствует одно значение общей стоимости транспортировки.

2.2.4П АНАЛИЗ ЧУВСТВИТЕЛЬНОСТИ Итоговое распределение перевозок, а также значения теневых цен, соответствующие пустым клеткам, можно использовать при проведения анализа модели на чувствительность. Теневая цена показывает, на сколько увеличится общая стоимость, если в пустую клетку поместить одну единицу продукта. Если нам придется осуществить перевозку одного изделия с торгового склада Q в розничный магазин С, увеличение стоимости составит 13 у.е., что гораздо выше, чем стоимость самого маршрута, равная 8 у.е. Дополнительное увеличение стоимости появляется в связи с перебалансировкой распределения перевозок, при которой применяется ниже следующий ступенчатый цикл.

2.23П Ступенчатый цикл для (Q, С) Натуральные изменения, изделий В C Ф Заполненная Заполненная Пустая Р – 1 + Заполненная Проверяемая Q Пустая – 1 + Заполненная Заполненная Пустая R + 1 – 2.24П Проверка пустой клетки (Q, Ф) Натуральные изменения, изделий В C Ф Заполненная Заполненная Пустая Р – 5 + Заполненная Проверяемая Пустая Q – 10 + 8 +Заполненная Заполненная R Пустая + 20 – Чистые изменения стоимости составят 13 у.е. за изделие. Максимальное количество изделий, которое можно перемещать внутри цикла, – это минимальное из значений, стоящих в клетках со знаком «–», то есть (Р, С) = 5, (R, Ф) = 4 и (Q, В) = 4.

Следовательно, максимальное количество изделий, подлежащее перемещению, равно 4.

О нулевом значении теневой цены в клетке (Р, В) уже упоминалось. Ступенчатый цикл для данной пустой клетки имеет вид, указанный в таблице.

2.25П Ступенчатый цикл для (Р, В) Изменение натурального объема, изделий А С Клетка, подвергнутая проверке Заполненная клетка Р + 1 – Заполненная клетка Заполненная клетка R – 1 + 2.26П Ступенчатый цикл для (Р, В) Изменение натурального объема, изделий А С Клетка, подвергнутая проверке Заполненная клетка Р + 20 – Заполненная клетка Заполненная клетка R – 20 + Можно поместить некоторое число изделий в клетку (Р, В), причем чистый стоимостной эффект будет равен нулю. Это означает, что существует альтернативное распределение перевозок, которое также позволяет получить минимальную стоимость в 93 у.е. Максимальное количество изделий, которое можно добавить в клетку (Р, В), – это минимум из значений, указанных в клетке со знаком «–» : (R, B) = 1 и (Р, Ф) = 3. Следовательно, только одно изделие можно, перемещая по циклу, поместить в клетку (Р, В).

Теневые цены можно использовать также в качестве индикаторов изменения стоимости транспортировки, соответствующей пустой клетке, которые оказывают воздействие на оптимальное распределение перевозок.

Например, теневая цена пустой клетки (R, С) равна 2 у.е., а фактическая стоимость транспортировки – 7 у.е. за одно изделие. Следовательно, для того, чтобы использование данной клетки в распределении перевозок привело к снижению общей стоимости транспортировки, фактическую единичную стоимость, соответствующую этой клетке, необходимо снизить как минимум до (7 – 2) = 5 у.е.

Действие стоимостных изменений в заполненных клетках выявить гораздо сложнее. При снижении издержек увеличение числа изделий в данной клетке выгодно. Если же издержки, стоящие в заполненных клетках, возрастают, то при достижении ими определенного значения использование этой клетки является нежелательным, и необходимо осуществить переход к другому маршруту.

Рассмотрим заполненную клетку (Р, С). Соответствующая ей фактическая стоимость перевозок составляет у.е. за изделие. Уменьшение этой стоимости не повлияет на объем перевозок, поскольку количество изделий, указанное в данной клетке, удовлетворяет всю потребность магазина С.

Если стоимость перевозки становится больше 5 у.е., то следует обратить внимание на ступенчатые циклы, в которых задействована клетка (Р, С). Эти циклы дают значения теневых цен: 13 у.е. для (Q, С) и 2 у.е. для (R, С).

В обоих циклах клетка (Р, С) помечена знаком «–», и любое увеличение стоимости на 5 у.е. повлечет за собой сужение теневых цен указанных пустых клеток. Изменение натурального объема перевозок будет иметь место в случае, если единичная стоимость транспортировки для клетки (Р, С) возрастет более, чем на 2 у.е. и превысит у.е. При этом теневая цена клетки (R, C) станет отрицательной. В данной ситуации использование пустой клетки (R, С) окажется выгодным, что приведет к изменению объема перевозок для (Р, С).

Таким образом, для полученного оптимального распределения перевозок верхним пределом стоимости, соответствующей (Р, С), является значение 7 у.е., а нижним пределом – 0. Внутри указанного промежутка происходит изменение лишь общей стоимости транспортировки, тогда как в натуральном выражении распределение перевозок не меняется.

2.3П Модификации транспортной задачи 2.3.1П НЕДОПУСТИМЫЕ ПЕРЕВОЗКИ Если перевозка из некоторого пункта производства в некоторый пункт назначения по той или иной причине невозможна, то в алгоритме решения задачи данное ограничение можно учесть, присвоив соответствующей клетке достаточное большое значение стои-мости. Точное значение в данном случае неважно, однако оно должно быть больше, чем остальные значения стоимости, указанные в таблице. Таким образом, алгоритм автоматически позволит избежать перевозок через данную клетку.

З а д а ч а 2.Ниже показано применение алгоритма решения транспортной задачи в решении проблем, связанных с недопустимостью прямых перевозок товаров из пунктов производства в пункты назначения. Рассматривается движение продукта во времени. Пусть в нашем распоряжении имеется график перевозок сроком на 4 месяца, который необходимо выполнить. В таблице 2.27П приведены значения спроса на продукцию и значения производственных мощностей.

2.27П Значения спроса на продукцию и возможные объемы перевозок Месяц Производственные мощности, изделий Спрос, изделий 1 300 2 350 3 325 4 375 К началу первого месяца имеется начальный запас изделий объемом 50 шт. Если спрос на изделия в течение месяца не удовлетворяется полностью, то прибыль от услуг по перевозке теряется. Издержки на перевозку составляют 100 у.е. за единицу изделия. Стоимость хранения запасов – 2 у.е. за единицу изделия. Каков оптимальный план перевозок Решение.

Данную ситуацию можно формализовать, используя транспортную табл. 2.28П, в которой строками является начальный запас и пополнение запаса за месяц, а столбцы отражают ежемесячный спрос на продукцию.

Маршруты (клетки), в которых подразумевается удовлетворение спроса за текущий месяц в следующих месяцах, считаются недопустимыми. В таблице этим клеткам соответствуют клетки с символом «».

2.28П Данные плана перевозок для месяцев 1 – Стоимость перевозки единицы изделия, у.е. Общее предложе Месяцы ние М1 М2 М3 М2 4 6 8 Запас М100 102 104 106 М2 100 102 104 Произв М3 100 102 одство М4 100 Общая 300 275 400 потребность Решение этой транспортной задачи производится с помощью обычного алгоритма, позволяющего минимизировать стоимость.

2.3.2П ВЫРОЖДЕННОСТЬ Решение называется вырожденным, если число перевозок в транспортной таблице меньше, чем (m + n – 1).

Данную проблему можно разрешить, проставив в независимые клетки очень маленькие, по сути равные нулю, объемы перевозок. Число перевозок увеличивается таким образом до (m + n – 1). Выявить клетки, которые следует использовать для этой цели, поможет алгоритм метода МОДИ проверки решения на оптимальность.

З а д а ч а 2.Три торговых склада (С1, С2 и С3) могут осуществлять поставки 6, 3 и 4 единиц продукта в три магазина (М1, M2, М3), спрос которых равен 4, 5 и 1 единицам соответственно. Значения единичной стоимости транспортировки указаны в приведенной ниже таблице.

2.29П Исходная информация Стоимость перевозки Общее единицы изделия, у.е.

Торговый склад предложение М1 М2 МС1 6 4 9 С2 5 3 2 С3 2 3 6 Общая потребность 4 5 Как следует распределить перевозки, чтобы общая стоимость транспортировки была минимальной Решение.

Общее предложение составляет 13 единиц, что превышает общую потребность в 10 единиц, поэтому в задачу вводится фиктивный магазин, потребность которого в продукции балансирует излишек предложения торговых складов. Чтобы найти начальное распределение перевозок, применим метод Вогеля.

Значение стоимости транспортировки составит 28 у.е. Для того, чтобы решение являлось базисным, оно должно включать (3 + 4 – 1) = 6 переменных, тогда как в нашей задаче число перевозок равно лишь пяти.

Найденное решение является вырожденным. Поступая в соответствии с алгоритмом метода МОДИ, мы должны ввести нулевую перевозку, чтобы использовать в качестве заполненной одну из пустых клеток. Этот прием позволяет получить требуемое число перевозок, равное шести. Затем можно будет рассчитать значения всех компонент u и v, следовательно, и теневые цены.

Реализацию алгоритма метода МОДИ мы начнем, используя пять заполненных клеток, соответствующих начальному распределению перевозок.

Дополнительная нулевая перевозка будет введена только тогда, когда без нее продолжение алгоритма будет невозможно. Обратимся к таблице.

2.30П Начальное распределение перевозок, полученное методом Вогеля Общий Штрафная Розничный магазин Торговый объем стоимость склад предлож М1 М2 М3 Ф ения 1 2 6 4 9 С1 – 3 – 31 630 41 2 5 3 2 С2 – 2 12 – 320 2 1 2 3 С3 43 – – 0 40 2 1 Общая 4 5 1 потребно 0 0 0 сть 1-й 1 101 2 штраф 2-й 92 0 2 штраф 3-й – 0 2 штраф Заполненные клетки используются для расчета соответствующих компонент по строкам и столбцам из соотношения: сij = ui + vj при условии, что ui = 0. Значения v2, v4, v3, u2, не испытывая никаких затруднений, однако значения u3 и v1 рассчитать нельзя. Для этого необходимо иметь дополнительную заполненную клетку.

2.31П Применение метода МОДИ для проверки на оптимальность вырожденного решения Торго- Розничный магазин Общий вый объем склад предложения М1 М2 М3 Ф 6 4 С1 +7 3 +6 3 6 u1 = 5 С2 +7 2 1 + 1 3 u2 = – 2 6 С3 3 –4 0 – 3 6 u3 = Общая потребн 4 5 1 3 ость v1 = – 1 v2 = 4 v3 = 3 v4 = Нулевую перевозку нужно поместить в пустую клетку столбца v1 или строки u3. Какая из этих клеток будет выбрана, значения не имеет. Пусть выбрана клетка (С3, М3). Теперь можно завершить алгоритм и найти значения теневых цен для пустых клеток из соотношения sij = сij – (ui + vj). Соответствующие величины приведены в таблице. Как видно из таблицы, в двух клетках теневые цены принимают отрицательные значения.

Следовательно, полученное распределение перевозок не является оптимальным, и необходимо осуществить их перераспределение, используя при этом клетки (С3, М2) или (С3, Ф). Начнем с клетки (С3, М2), поскольку ей соответствует большее по абсолютной величине значение теневой цены. Ступенчатый цикл для клетки (С3, М2) можно представить в виде таблицы.

Чтобы определить число единиц, которое следует перемещать вдоль построенного цикла, обратимся к клеткам (С2, М2) и (С3, М3), помеченным знаком «–», количество перевозок в которых равно 2 и единицам.

Pages:     | 1 |   ...   | 17 | 18 || 20 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.