WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 2 | 3 ||

Коэффициенты ik = nin = cos (ik ), (4.6) k характеризующие ориентацию новой системы координат относительно старой, называются направляющими косинусами. Используя их, получим x1 = x 11 + x 12 + x 13, 1 2 x2 = x 21 + x 22 + x 23, (4.7) 1 2 x3 = x 31 + x 32 + x 33.

1 2 Индекс i называется немым индексом. Его можно обозначать любой буквой.

Если использовать правило суммирования Эйнштейна, то эти три равенства можно записать компактно в виде одного равенства xi = ikx. (4.8) k Здесь i — это так называемый свободный индекс, который пробегает три значения, i = 1, 2, 3.

По немому индексу k производится суммирование от 1 до 3. Обратное преобразование столь же компактно запишется в виде x = kixk. (4.9) i Вектором A мы будем называть физическую величину, характеризуемую тройкой чисел A1, A2, A3, которые при повороте координатной системы преобразуются по закону (4.8):

Ai = ikA, (4.10) k то есть так же, как координаты x1, x2, x3.

А поворот системы координат характеризуется матрицей направляющих косинусов (или просто матрицей поворота) 11 12 = 21 22 23. (4.11) 31 32 Выясним свойства элементов этой матрицы. Для этого выразим старые орты через новые:

n1 = 11n + 12n + 13n = 1in = 1in. (4.12) 1 2 3 i i i=Умножим это равенство скалярно на n1:

1 = 11 (n1 · n ) +12 (n1 · n ) +13 (n1 · n ). (4.13) 1 2 Иными словами, 2 11 + 12 + 2 = 1, (4.14) то есть сумма квадратов направляющих косинусов первой строки матрицы равна единице. Анало гичным образом записав n2 = 21n + 22n + 23n, (4.15) 1 2 можно после скалярного умножения этого равенства на n2 получить 2 21 + 2 + 23 = 1 (4.16) и таким же образом — 2 31 + 32 + 2 = 1, (4.17) то есть сумма квадратов элементов каждой строки матрицы равна единице. Точно так же можно доказать, что сумма квадратов элементов каждого столбца матрицы равна единице. Например, 2 11 + 21 + 2 = 1. (4.18) Теперь возьмем равенство n1 = 11n + 12n + 13n (4.19) 1 2 и умножим его скалярно на вектор n2, ортогональный вектору n1:

0 = 11(n · n2) + 12(n2 · n ) + 13(n2 · n ), (4.20) 1 2 или 0 = 1121 + 1222 + 1323. (4.21) Таким образом, попарное произведение элементов первой строки матрицы повоpота на вторую и последующее суммирование дают нуль. Точно так же можно показать, что нуль дадут любые два Z,Z Y Y X X Рис. 4.3. Поворот системы координат на угол вокруг оси z.

попарные произведения разных строк друг на друга. Об этом свойстве говорят как о взаимной ортогональности строк матрицы. Аналогичным образом можно доказать ортогональность столбцов матрицы. Все эти свойства, используя правило суммирования Эйнштейна, можно коротко записать в виде ikjk = kikj = ij. (4.22) Первое равенство выражает собой ортогональность и нормировку строк, а второе, соответственно, столбцов. Свободные индексы i и j — два произвольных индекса из набора 1, 2, 3, а по дважды повторяющимся (немым) индексам (k) в формуле (4.22) подразумевается суммирование. Символ ij, определяемый равенством 1, i = j, ij = (4.23) 0, i = j, — это так называемый символ Кронекера. Символ Кронекера также можно записать в виде матрицы 1 0 ij = 0 1 0. (4.24) 0 0 У нее на диагонали стоят единицы, а все остальные (недиагональные) элементы равны нулю. Очевидно, что так же выглядит матрица тождественного преобразования, когда новая координатная система совпадает со старой.

Пользуясь свойствами матрицы, легко доказать, что скалярное произведение двух векторов не зависит от выбора системы координат:

A · B = A1B1 + A2B2 + A3B3 AiBi. (4.25) Старые и новые проекции связаны соотношениями Ai = ikA, k (4.26) Bi = ijBj.

Умножим их друг на друга и воспользуемся ортогональностью столбцов матрицы :

AiBi = ikijA Bj = kjA Bj = A Bj. (4.27) k k j В результате мы получили, что AiBi = A Bj, то есть скалярное произведение A · B инвариантно j относительно поворота системы координат.

Найдем вид матрицы для одного частного случая, когда система координат поворачивается на угол вокруг оси z. Поскольку ik = cos(ik ), то, глядя на рис. 4.3, легко находим cos - sin () = sin cos 0. (4.28) 0 0 До сих пор речь шла о поворотах систем координат. Однако, как известно, существует две системы координат, правая и левая. Очевидно, что при поворотах правая система координат всегда остается правой, а левая — левой. Но существуют такие преобразования координат, которые правую систему преобразуют в левую и наоборот. Например, это может быть инверсия одной из осей, y -y (pис. 4.4).

Очевидно, что при этом между проекциями одного и того же радиус-вектора r в новой и старой координатных системах имеются следующие соотношения:

x = x, 1 0 y = -y, = 0 -1 0. (4.29) z = z, 0 0 Поскольку cos(yy ) = -1, то координаты радиус-вектора пpи инвеpсии одной из осей преобразуются по тем же правилам, что и при поворотах системы координат. Но это оказывается справедливым не для всех векторов.

Рассмотрим, например, вектор угловой скорости, описывающий вращение в положительном направлении вокруг оси z (pис. 4.5). Изменим теперь знак одной из осей, например оси y. Это можно себе представить как отражение системы координат в зеркале, плоскость которого перпендикулярна этой оси (pис. 4.6).

Однако очевидно, что при отражении в зеркале изменяется и направление вращения. Из вращения по часовой стрелке оно превратилось во вращение против часовой стрелки, то есть изменился знак проекции вектора на ось z, z = -z, (4.30) в то время как координата z обычного радиус-вектора осталась бы прежней, z = z. (4.31) Это означает, что радиус-вектор точки r и угловая скорость преобразуются по-разному, если поменять правую систему координат на левую.

В связи с этим радиус-вектор r называют полярным вектором, а вектор угловой скорости — аксиальным вектором. При поворотах системы координат оба вектора преобразуются одинаковым образом:

xi = ikx, k (4.32) i = ikk.

Но если матрица переводит правую систему координат в левую (и наоборот), то законы преобразо вания этих векторов не совпадают:

xi = ikx, k (4.33) i = -ikk, отличаясь знаком.

Примерами полярных векторов в физике являются радиус-вектор, скорость, ускорение, сила:

dr dv r, v =, a =, F = ma. (4.34) dt dt Примеры аксиальных векторов: угловая скорость, напряженность магнитного поля H, момент импульса M.

При инверсии системы координат (то есть пpи изменении знака всех осей) правая система переходит в левую и полярные векторы меняют свой знак:

r -r, v -v, (4.35) a -a, F -F, Z Z r r Y Y XX Рис. 4.4. Пpеобpазование компонент вектоpа пpи инвеpсии одной из осей.

Z Y X Рис. 4.5. Вектор угловой скорости.

зеркало Z Z Y Y X X Рис. 4.6. При таком зеркальном отражении направление вращения меняется на противоположное! а аксиальные векторы при этом не изменяются (потому что их закон пpеобpазования отличается знаком минус):

, (4.36) H H.

В физике все физические законы должны выражаться в инвариантной форме, то есть не должны зависеть от выбора системы координат. Это, в частности, означает, что невозможно, напpимеp, равенство аксиального и полярного векторов, потому что оно будет выглядеть по-разному в левой и правой системах координат. Например, если некий закон в правой системе выглядит как акс = пол, (4.37) то в левой системе — как акс = -пол. (4.38) Таким обpазом, физический закон выглядит по-разному в левой и правой системах координат, в природе же такого различия не существует. Левая система ничем не хуже правой. По той же причине нельзя складывать (вычитать) аксиальный и полярный векторы, так же как нельзя складывать величины разной размерности, например секунды и граммы.

Поэтому всегда при записи какого-либо векторного равенства необходимо проверять, не изменяется ли оно при переходе от правой системы координат к левой. Поскольку правая система координат переходит в левую при инверсии, а закон преобразования векторов при инверсии выглядит особенно просто, пол -пол ( ), (4.39) акс акс ( ), то нужно к обеим частям равенства применить инверсию.

Например, исследуем таким образом равенство v = [ r] (4.40) для скорости движения материальной точки, радиус-вектор которой r вращается с угловой скоростью. Поскольку v — полярный вектор (производная от полярного вектора r по времени), то при инверсии левая часть равенства меняет знак. Чтобы равенство осталось инвариантным по отношению к инверсии, необходимо, чтобы и правая часть [ r] изменила знак при инверсии. Угловая скорость при инверсии не изменяет свой знак (это аксиальный вектор), а радиус-вектор r — изменяет (это полярный вектор). Поэтому [ r] [() (-r)] = -[ r], (4.41) то есть и правая часть нашего равенства изменила знак при инверсии, а следовательно, это тоже полярный вектор. Таким образом, после инверсии системы координат равенство осталось прежним, v = [ r], (4.42) и мы, следовательно, имеем равенство двух полярных векторов.

Из этого рассуждения можно легко прийти к выводу, что векторное произведение двух полярных векторов есть вектор аксиальный, [пол1 пол2] = акс, (4.43) поскольку при инверсии левая часть знака не изменяет:

[(-пол1) (-пол2)] = [пол1 пол2]. (4.44) Векторное произведение двух аксиальных векторов также является аксиальным вектором.

А что будет, если скалярно перемножить между собой полярный и аксиальный векторы пол · акс =. (4.45) Полученная величина, очевидно, инвариантна к любым пространственным поворотам системы координат, то есть можно сказать, что она является скалярной. Однако это не совсем обычный скаляр, так как он изменяет знак при инверсии системы координат. Такую величину называют псевдоскаляром.

Например, если бы существовал элементарный магнитный заряд, то он был бы псевдоскалярной величиной. Таким образом, скалярные величины бывают двух типов: истинный скаляр, инвариантный к любым преобразованиям системы координат (не только к вращениям, но и к инверсии), и псевдоскаляр, инвариантный к вращениям и меняющий знак, когда правая система переходит в левую (и наоборот).

Литература [1] Сивухин Д. В. Общий курс физики. Механика. М., Hаука, 1979 — 520 с.

[2] Киттель Ч., Hайт У., Рудеpман М. Берклеевский курс физики, том 1, Механика. М., Hаука, 1975 — 480 с.

[3] Фейнман Р., Лейтон Р., Сэндс М. Фейнмановские лекции по физике (1–2 тома). М., Миp, 1976 — 440 с.

[4] Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теоpетическая физика в 10 томах, том 1, Механика. М., Hаука, 1973 — 208 c.

[5] Иродов И.Е. Задачи по общей физике. М., Hаука, 1988 — 416 с.

Оглавление Лекция 1.

Введение.

Макромир и микромир.

Их взаимосвязь.

Современная картина мира Лекция 2.

Границы применимости классической механики.

Кинематика.

Пространственно-временные системы отсчета.

Основы векторной алгебры.

Перемещение, скорость и ускорение материальной точки.

Равноускоренное движение.

Путь Лекция 3.

Вращательное движение.

Равномерное движение точки по окружности.

Вектор угловой скорости.

Угловое ускорение Лекция 4.

Векторы.

Преобразование векторов.

Матрица направляющих косинусов.

Полярные и аксиальные векторы.

Условие инвариантности физических законов по отношению к преобразованию координатных систем

Pages:     | 1 |   ...   | 2 | 3 ||



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.