WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 | 2 || 4 |

Это полностью определяет движение. Так, скорость материальной точки определяется производными по времени от координат:

dx x = = -r sin t, dt dy y = = r cos t. (3.5) dt Скалярное произведение pавно r · v = xx + yy = r cos t (-r sin t) + + r sin t (r cos t) = 0, (3.6) что означает перпендикулярность векторов r и v, то есть скорость действительно направлена по касательной к окружности. Абсолютная величина скорости равна 2 = |v| = x + y = 2r2 sin2 t + 2r2 cos2 t = = r = const, (3.7) она не зависит от времени, движение действительно равномерное (но по окружности).

Дифференцируя по времени скорость, мы можем определить ускорение:

dx ax = = -2r cos t, dt dy ay = = -2r sin t, (3.8) dt откуда следует, что ускорение зависит от времени, то есть движение не является равноускоренным.

Абсолютная величина ускорения (модуль), тем не менее, остается постоянной:

a = |a| = a2 + a2 = 2r, (3.9) x y или, так как r =, то мы получаем |a| = (3.10) r — известную из школьного курса физики формулу для центростремительного ускорения. Почему центростремительного Да потому, что вектор a направлен к центру. В этом нетрудно убедиться, подсчитав скалярное произведение:

a · r = axx + ayy = -(2r cos t) r cos t + + (-2r sin t) r sin t = -2r2. (3.11) С другой стороны, a · r = |a| |r| cos(ar) = 2r2 cos(ar). (3.12) Из сравнения двух этих выражений получаем, что cos(ar) = -1. Таким образом, вектор ускорения антипараллелен вектору r, то есть направлен к центру. В результате картина направлений векторов выглядит, как показано на рис. 3.2.

v r a Рис. 3.2. Радиус-вектор, скорость и ускорение материальной точки при равномерном движении по окружности.

До сих пор при рассмотрении вращательного движения мы оперировали проекциями векторов на оси координат. Между тем, часто бывает полезно иметь соотношения, не зависящие от выбора системы координат, или, как говорят, записанные в векторной форме. Примером таких соотношений является выражение для координаты и скорости частицы при равноускоренном движении (см. лекцию 2).

При рассмотрении вращательного движения мы ввели угловую скорость вращения как производную по времени от угла поворота : = d/ dt. Давайте теперь зададимся вопросом, какой величиной, скалярной или векторной, является угол поворота. Ведь когда говорят о повороте, нужно указывать не только величину угла поворота, но и то, вокруг какой оси происходит вращение (поворот) и в какую сторону (по часовой стрелке или против). В разобранном выше примере осью вращения была ось z и, поскольку мы использовали правую систему координат, вращение происходило по часовой стрелке (если смотреть в положительном направлении вдоль оси z) (pис. 3.3). С этой точки зрения угол поворота должен быть величиной векторной. Однако, как мы убедимся на следующей лекции, произвольный угол поворота вектором, вообще говоpя, не является. Понятие вектора применимо лишь по отношению к бесконечно малым углам поворота.

Y X Z Рис. 3.3. Направление вращения.

Поэтому, говоря о повороте на какой-то малый угол, можно приближенно говорить о векторе, величина которого равна углу поворота, а направление показывает направление оси вращения так, чтобы поворот происходил по часовой стрелке, или в соответствии с правилом буравчика. В нашем конкретном случае вектор коллинеарен с направлением оси z. Зададимся вопросом, как связано перемещение материальной точки r при повороте ее радиус-вектора r на малый угол (pис. 3.4).

Z r Рис. 3.4. Связь вектора перемещения с углом поворота.

На этот вопрос легко ответить, если речь идет о бесконечно малых поворотах d. Тогда бесконечно малым является и перемещение dr. Его величина (равная длине хорды) совпадает теперь с длиной дуги, то есть |dr| = rd, (3.13) а по направлению вектор dr совпадает с касательной, то есть перпендикулярен r. В результате мы имеем три взаимно перпендикулярные вектора r, dr и d, образующие правую тройку (pис. 3.5), причем |dr| = |d| |r|. Те, кто помнят из школьного курса о векторном произведении векторов, без d dr r Рис. 3.5. Взаимная ориентация трех векторов.

труда сообразят, что искомое соотношение можно записать в виде векторного равенства dr = [d r]. (3.14) Действительно, по определению, векторным произведением двух векторов [A B] называется вектор C = [A B], (3.15) который направлен перпендикулярно плоскости, в которой лежат (или которую образуют) два вектора A и B, в сторону от этой плоскости, соответствующую правилу буравчика (см. рис. 3.6). Величина же вектора C равна произведению модулей векторов на синус угла между ними:

|C| = |A| |B| sin(AB). (3.16) r + r r A C B Рис. 3.6. Оpиентация тpех вектоpов в векторном произведении.

В нашем случае угол между векторами d и r равен 90, так что синус равен единице. А поскольку, как мы уже писали, |dr| = r d, то мы убеждаемся в справедливости векторного соотношения dr = [d r].

Разделив обе стороны этого равенства на бесконечно малый временной интервал dt, в течение которого произошло изменение вектора r на dr, мы получим dr d = r. (3.17) dt dt Но величина, стоящая в левой части равенства, есть не что иное, как скорость частицы v, а производная d = (3.18) dt называется вектором угловой скорости. Ее мы вначале ввели по абсолютной величине, а теперь показали, что имеет смысл говорить об угловой скорости вращения как о векторе. Ее величина определяет величину угловой скорости (скорость вращения, или скорость изменения угла), а направление параллельно оси вращения, причем так, что имеет место правило буравчика. Итак, мы получили, что v = [ r]. (3.19) Оpиентация этих тpех вектоpов показана на pис. 3.7.

v r Рис. 3.7. Ориентация радиус-вектора, вектора скорости и угловой скорости.

Чтобы получить ускорение a, надо от обеих частей взять производную по времени. Если постоянно (как по величине, так и по направлению)1, то dv dr a = = = [ v], (3.20) dt dt то есть ускорение оказывается перпендикулярным угловой скорости вращения и скорости движения v. А поскольку последняя направлена по касательной, то, значит, ускорение направлено либо параллельно r, либо антипараллельно. Как именно, можно выяснить, подставив в вышеприведенную формулу значение v:a = [ v] = [ [ r]] = = ( · r) - r( · ) = ( · r) - 2r. (3.21) Поскольку в рассматриваемом нами примере начало кооpдинат выбpано в центpе окpужности, то угловая скорость и радиус-вектор r перпендикулярны друг другу а, следовательно, их скалярное произведение равно нулю (вообще говоря, как мы сейчас увидим, далеко не всегда r) и мы получаем a = -2r, (3.22) Равномерное вращение.

Здесь мы воспользовались формулой для двойного векторного произведения [A [B C] = B(A · C) - C(A · B).

r Рис. 3.8. Вращение твердого тела.

то есть антипараллельность векторов a и r (вспомните термин“центростремительное ускорение”). По величине они таковы: |a| = 2|r|, то есть имеем уже знакомый результат.

Вы можете спросить, зачем нам понадобилось иметь дело с векторным и с двойным векторным произведением, если мы уже разобрали движение по окружности, дифференцируя по времени проекции материальной точки на оси координат (причем получили результаты, известные со школьной скамьи). Стоит ли игра свеч Да, стоит, во-первых, потому, что мы записали законы движения в инвариантной, как говорят, форме, не зависящей от выбора конкретной системы координат. Во-вторых, записанные нами соотношения справедливы и в более общем случае, когда мы рассматриваем вращение системы материальных точек или твердого тела как целого (pис. 3.8).

Имея в виду эту картину, нетрудно показать, что здесь, хотя и r не перпендикулярны друг другу, тем не менее, выполняется прежнее соотношение для скорости движения некоторой выбранной нами точки с радиус-вектором r:

v = [ r]. (3.23) Действительно, как следует из рис. 3.8, точка движется по окружности радиуса = r sin со скоростью = = r sin. Но поскольку — это угол между векторами и r, мы убеждаемся в справедливости этой формулы.

Теперь нам понятно происхождение дополнительного слагаемого в центростремительном ускорении (см. pис. 3.9):

a = ( · r) - 2r. (3.24) Таким образом, ускорение a на самом деле направлено не к центру, а к оси вpащения, поэтому его ( r) r -2r Рис. 3.9. Центростремительное ускорение.

можно было бы называть осестремительным. Но, pазумеется, дело не в названиях.

В пользу соотношения v = [ r] говорит и то, что оно справедливо в более общем случае, когда вектор угловой скорости не является постоянным и зависит от времени: (t). Тогда формула для ускорения изменится — в ней появится дополнительное слагаемое:

dv d dr a = = r + = dt dt dt = [ r] + [ v]. (3.25) Величина = d/ dt называется угловым ускорением. Оно появляется, если меняется по величине угловая скорость (замедляется, например, вращение вокруг фиксированной оси) либо поворачивается с течением времени сама ось вращения (либо и то и другое).

a Z k Y j i X Рис. 3.10. Взаимное расположение единичных ортов.

В заключение для справок приведем выражение для декартовых компонент векторного призведения C = [A B]:

Cx = [A B]x = AyBz - AzBy, {xyz}, Cy = [A B]y = AzBx - AxBz, {yzx}, (3.26) Cz = [A B]z = AxBy - AyBx, {zxy}.

Здесь для запоминания следует использовать указанные выше циклические перестановки. Эти соотношения легко доказываются, если записать каждый вектор в виде A = Axi + Ayj + Azk (3.27) и, аналогично, вектор B. Затем следует учесть, что векторные призведения единичных ортов i, j и k между собой равны соответственно (см. pис. 3.10) [i j] = k, [k i] = j, [j k] = i (3.28) и что при изменении порядка сомножителей изменяется знак векторного произведения:

[j i] = -[i j] и т. д. (3.29) Далее нужно произвести векторное умножение [A B] = [(Axi + Ayj + Azk) (Bxi + Byj + Bzk)], (3.30) воспользовавшись приведенными выше правилами.

КЛАССИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА • Лекция Векторы. Преобразование векторов. Матрица направляющих косинусов. Полярные и аксиальные векторы. Условие инвариантности физических законов по отношению к преобразованию координатных систем Понятие вектора и основные операции векторной алгебры мы считаем известными из курса физики средней школы. Так, вектор — это физическая величина, определяемая величиной и направлением, которые не зависят от выбора системы координат. Он отличается от скаляра, который характеризуется только величиной (не зависящей от системы координат). К скалярным величинам относятся масса, энергия, температура, электрический заряд, путь, пройденный частицей, и т. д. Примерами векторов являются скорость, ускорение, сила, напряженность электрического и магнитного полей. В качеcтве дополнения к приведенному определению следует указать, что не всякие направленные величины являются векторами, а только такие, которые складываются геометрически, то есть по правилу параллелограмма.

Пример. Как мы видели, угол поворота тела вокруг какой-то оси можно, казалось бы, рассматривать как вектор в том смысле, что он имеет численное значение, равное углу поворота, и направление, совпадающее с направлением оси вращения, котоpое определяется по правилу буравчика. Однако два таких поворота не складываются по закону сложения векторов, если только углы поворота не являются бесконечно малыми.

В качестве примера рассмотрим два последовательных поворота на угол вокруг двух осей, пересекающихся под углом (Oa и Ob) (pис. 4.1). При первом повороте на угол вокруг оси Oa P a b a P Рис. 4.1. Произведение двух поворотов.

точка P переходит в P, а P — в P. При этом ось Oa остается на месте. При втором повороте на угол вокруг оси Ob P P и P P, то есть точки P и P возвращаются на свои места.

Таким образом, после двух поворотов линия P P (перпендикулярная плоскости aOb) остается неподвижной и, следовательно, является осью результирующего поворота. Для определения угла этого поворота замечаем, что в результате первого поворота ось Oa остается на месте, а после второго — переходит в позицию Oa, образующую с Oa угол 2. Таким образом, два последовательных поворота вокруг осей Oa и Ob представляют собой поворот вокруг оси P P (на угол 2), перпендикулярной плоскости ab. Если считать каждый поворот вектором, направленным вдоль Oa и Ob соответственно, то “сумма” этих векторов должна лежать в плоскости ab, в то время как вектор результирующего поворота перпендикулярен этой плоскости. В результате правило “сложения” этих двух векторов (поворотов) не соответствует правилу параллелограмма. Более того, заметим, что при изменении порядка поворотов (сначала вокруг оси Ob, а затем вокруг оси Oa) получается поворот в противоположном направлении, то есть результат этого “сложения” некоммутативен, он зависит от порядка, в каком производятся эти повороты1.

Правилу сложения векторов подчиняются только повороты на бесконечно малый угол, поэтому, например, угловые скорости 1 и 2 можно складывать, в результате чего будем иметь вращение с На самом деле правильно говорить не о сумме, а о произведении поворотов, так как матрицы направляющих косинусов двух последовательных поворотов перемножаются.

угловой скоростью = 1 + 2.

Как мы уже знаем, для задания вектора в трехмерном пространстве достаточно задать три числа — его проекции, например на оси декартовой системы координат:

r = x1n1 + x2n2 + x3n3 = xini xini, (4.1) i=где x1, x2, x3 — проекции, а n1, n2, n3 — единичные векторы (орты), направленные вдоль трех взаимно перпендикулярных осей. Последний знак тождественного равенства отражает так называемое правило суммирования Эйнштейна — по дважды повторяющимся индексам (i в данном случае) подразумевается суммирование2. Если мы повернем координатную систему, то в новой системе координат проекции того же самого вектора r на оси новой системы будут уже другими, другими будут и единичные орты n, n, n (pис. 4.2).

1 2 Z r Z Y nn3 nnnY nX X Рис. 4.2. Старая и новая (повернутая) системы координат.

Вектор r можно записать и в новой системе координат как r = x n + x n + x n = x n x n. (4.2) 1 1 2 2 3 3 i i i i i=Оба выражения представляют собой один и тот же вектор, поэтому они равны:

x1n1 + x2n2 + x3n3 = x n + x n + x n. (4.3) 1 1 2 2 3 Домножим скалярно это равенство последовательно на n1, n2 и n3 и воспользуемся взаимной ортогональностью векторов n1, n1 и n3:

x1 = x (n1 · n ) + x (n1 · n ) + x (n1 · n ), 1 1 2 2 3 x2 = x (n2 · n ) + x (n2 · n ) + x (n2 · n ), (4.4) 1 1 2 2 3 x3 = x (n3 · n ) + x (n3 · n ) + x (n3 · n ).

1 1 2 2 3 В результате мы получили соотношение, выражающее старые проекции через новые. Можно было бы выразить новые проекции через старые. Для этого надо вышеупомянутое равенство r в двух системах координат (4.3) домножить скалярно на n, n и n. Например, таким образом получаем 1 2 x = x1(n n1) + x2(n n2) + x3(n n3) (4.5) 1 1 1 и аналогично два других равенства.

Pages:     | 1 | 2 || 4 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.