WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 2 | 3 || 5 |

n Возьмем произвольное > 0. Тогда, в силу определения I ( I ) = () > 0 такое, что f(x) U(A) x (a).

40 Глава 3. Предел функции В силу сходимости xn a (n ) для нашего = () n() N: xn () n n(). Но тогда f(xn) U(A), т.е.

f(xn) A при n, что и требовалось показать.

Покажем теперь, что III. Пусть A = lim f(x) в смысле xa определения II. Допустим противное, т.е., что 0 > 0 : > 0 x (a) : f(x) U0(A).

В качестве будем брать = и соответствующее значение n x обозначать через xn, т.е. при n N для = > n xn 1 (a) : f(xn) U0(A).

n Но это означает, что для последовательности {xn} имеем xn = a, xn a (n ), f(xn) A (n ), т.е. A не является пределом f(x) при x a, что противоречит исходному условию. Этим утверждение доказано.

Пример 3.3.1. Покажем, что lim sin не существует.

x xРассмотрим для этого две сходящиеся к нулю последо 1 вательности {xn} =, {x } =. Имеем n 2n 2n + 1 1 lim sin = = lim 0 = 0, lim sin = lim 1 = xn 2n + x n n n n n = 1.

С помощью определения II предела заключаем, что никакая точка A не может быть пределом lim sin, т.е. этот предел не x xсуществует.

§3.4. Свойства пределов функции § 3.4. Свойства пределов функции Теорема 3.4.1. Пусть функции f, g, h определены на 0(a), a R, f g h на 0(a), f(x) A, h(x) A при x a, A R. Тогда g(x) A при x a.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Убедимся, что lim g(x) = A xa с помощью определения II. Рассмотрим для этого произвольную последовательность {xn} : xn 0(a) n N, xn a (n ).

Имеем f(xn) g(xn) h(xn).

Поскольку f(xn) A, h(xn) A (n ), в силу соответствующего свойства последовательностей получаем, что g(xn) A (n ).

В силу произвольности последовательности {xn} заключаем с помощью определения II, что lim g(x) = A.

xa Теорема 3.4.2. Пусть функции f, g определены на 0(a), a R, lim f(x) = A, lim g(x) = B, A, B R. Тогда:

xa xa 1. lim(f(x) ± g(x)) = A ± B;

xa 2. lim f(x)g(x) = AB;

xa 3. Если дополнительно g(x) = 0 при x 0(a), B = 0, то f(x) A lim =.

xa g(x) B Д о к а з а т е л ь с т в о всех свойств проводится по одной и той же схеме, поэтому приведем доказательство лишь для свойства 2.

Пусть {xn} такова, что xn 0(a) n N, xn a (n ).

42 Глава 3. Предел функции Тогда lim f(xn) = A, lim g(xn) = B в силу определения II.

n n По свойству пределов последовательностей lim f(xn)g(xn) = n = AB. В силу произвольности последовательности {xn} и определения II получаем, что lim f(x)g(x) = AB.

xa § 3.5. Критерий Коши Теорема 3.5.1 (Критерий Коши существования конечного предела функции). Пусть функция f определена на 0(x0), x0 R.

Для существования конечного предела lim f(x) необхоxxдимо и достаточно, чтобы выполнялось условие Коши:

> 0 = () > 0 : |f(x )-f(x )| < x, x (x0).

Д о к а з а т е л ь с т в о. Необходимость. Пусть lim f(x) = A R. Тогда для > 0 = () > 0: |f(x ) xx- A| <, |f(x ) - A| < x, x (x0). Отсюда |f(x ) - f(x )| |f(x ) - A| + |f(x ) - A| < + = 2 x, x (x0), что и требовалось показать.

Достаточность. Пусть выполнено условие Коши. Покажем, что lim f(x). Воспользуемся для этого определеxxнием II предела функции (т.е. определением в терминах последовательностей). Пусть xn 0(x0), xn x0 при n.

Возьмем произвольное > 0. Пусть = () > 0 взято из условия Коши. В силу определения предела последовательности найдется n() N такое, что xn ()(x0) n n() = n.

Отсюда и из условия Коши имеем |f(xn) - f(xm)| < n, m n.

В силу критерия Коши для последовательностей, последовательность {f(xn)} сходится. Пусть A = lim f(xn).

n §3.6. Односторонние пределы Для завершения доказательства остается показать, что для любой последовательности {x }, x 0(x0), x x0 (n n n n ) lim f(x ) (существующий по уже доказанному) также n n равен A. Предположим противное: lim f(x ) = B для некоn n торой последовательности {x }, x 0(x0), x x0 (n n n n ). Рассмотрим последовательность f(x1), f(x ), f(x3), f(x ),... Она, очевидно, расходится (имеет два различных частичных предела A и B). Это противоречит доказанной сходимости всякой последовательности значений функции для сходящейся к x0 значений аргументов.

Теорема доказана.

§ 3.6. Односторонние пределы Пусть x0 R, > 0. Множество U(x0 - 0) = (x0 -, x0] называют левой полуокрестностью точки x0 радиуса. Через U(x0 - 0) обозначают левую полуокрестность точки x0 произвольного радиуса.

Множество U(x0 + 0) = [x0, x0 + ) называется правой полуокрестностью точки x0 радиуса. Через U(x0 + 0) обозначают правую полуокрестность точки x0 произвольного радиуса.

Проколотыми полуокрестностями называют соответственно (x0 - 0) = U(x0 - 0) \ {x0} = (x0 -, x0), (x - 0) = U(x - 0) \ {x0}, (x0 + 0) = U(x0 + 0) \ {x0} = (x0, x0 + ), (x0 + 0) = U(x0 + 0) \ {x0}.

Определение. Пусть x0 R, функция f определена на 0(x0 - 0). Точка A R называется пределом слева функции 44 Глава 3. Предел функции f в точке x0 (пишут f(x0 - 0) lim f(x) = A), если xx0- > 0 = () > 0 : x ()(x0 - 0), f(x) U(A).

Аналогично определяется предел справа функции f : 0(x0 + 0) R в точке x0 R. Он обозначается через f(x0 + 0), lim f(x).

xx0+Упражнение. Сформулировать определения пределов слева и справа в терминах последовательностей.

З а м е ч а н и е. Можно расширить общее определение предела функции lim f(x) = A, A R, считая в нем a либо xa числом, либо одним из символов -, +,, x0 - 0, x0 + 0, где x0 R. Тогда общее определение предела функции будет содержать и только что введенные понятия предела слева и предела справа.

Лемма 3.6.1. Пусть x0 R, функция f определена на 0(x0). Тогда для существования lim f(x) необходимо и доxxстаточно существования каждого из пределов f(x0-0) и f(x0+ + 0) и их равенства f(x0 - 0) = f(x0 + 0).

Упражнение. Доказать лемму.

§ 3.7. Пределы монотонных функций Определение. Функция f: X R называется возрастающей (убывающей) на E X, если из x1, x2 E, x1 < xследует f(x1) f(x2) (f(x1) f(x2)).

Если вместо нестрогого неравенства можно написать строгое, функцию называют строго возрастающей (строго убывающей).

§3.8. Сравнение функций Теорема 3.7.1. Пусть - a < b +, функция f возрастает на (a, b). Тогда lim = sup f(x).

xb-(a,b) З а м е ч а н и е. В случае b = + под + - понимается +.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть sup f = B +.

(a,b) Возьмем произвольное > 0. Из определения верхней грани функции следует x (a, b): f(x) U(B). Выберем = = > 0 таким, что x U(b) (т.е. U(b) лежит правее x).

Тогда, в силу возрастания функции f, f((b - 0)) U(B).

Следовательно, f(b - 0) = B.

Следствие 1. Пусть функция f монотонна на (a, b) x0.

Тогда существуют конечные пределы f(x0 - 0), f(x0 + 0).

§ 3.8. Бесконечно малые и бесконечно большие функции. Сравнение функций Определение. Пусть a R или является одним из символов -, +, x0 - 0, x0 + 0 (x0 R). Функция f: U(a) R называется бесконечно малой (бесконечно большой) при x a, если lim f(x) = 0 (lim f(x) = ).

xa xa Упражнение. Показать, что произведение конечного числа бесконечно малых функций является бесконечно малой функцией.

Упражнение. Произведение бесконечно малой функции на ограниченную является бесконечно малой функцией.

Далее будем считать, что функции f, g определены в некоторой проколотой окрестности (a), где a R либо является одним из символов: a = -, +,, x0 - 0, x0 + 0 (x0 R).

46 Глава 3. Предел функции Определение. Пусть существует постоянная C > 0 такая, что |f(x)| C|g(x)| x (x).

Тогда пишут: f = O(g) при x a.

Определение. Функции f и g называются функциями одного порядка при x a, если f = O(g), g = O(f) при x a.

При этом пишут f(x) g(x), x a.

g(x) Лемма 3.8.1. Пусть lim = K = 0. Тогда f и g f(x) xa являются функциями одного порядка при x a.

g(x) Д о к а з а т е л ь с т в о. lim = K > 0.

f(x) xa Следовательно, при некотором > 1 |g(x)| |K| = |K| 2 |f(x)| для x (a). Отсюда 3 |g(x)| |K| |f(x)|, |f(x)| |g(x)| x (a), 2 |K| т.е. f и g — функции одного порядка.

Определение. Функции f и g называются эквивалентными (асимптотически равными) при x a (записывается f g при x a), если f(x) = (x)g(x), x (a), причем lim (x) = 1.

xa Отношение эквивалентности обладает свойствами:

1. f g при x a g f при x a (симметрия);

2. f g, g h при x a f f при x a (транзитивность);

Упражнение. Доказать свойства 1, 2.

§3.8. Сравнение функций g(x) Лемма 3.8.2. Пусть lim = 1. Тогда f g при x a.

f(x) xa Примеры.

a) x2 = O(x) при x 0;

b) x = O(x2) при x +;

2x4 + c) x2 при x +;

x2 - x d) x при x 0;

x2 - e) позднее будет показано, что при x 0 x sin x tg x arcsin x arctg x ln(1 + x) ex - 1.

Определение. Функция g называется бесконечно малой по сравнению с функцией f при x a (записывается g = o(f) при x a), если g(x) = (x)f(x), x (a), причем lim (x) = xa = 0.

Если при этом функции f, g являются бесконечно малыми при x a, то говорят, что функция g является бесконечно малой более высокого порядка, чем функция f.

Запись (x) = o(1) при x a означает согласно определению, что (x) — бесконечно малая функция при x a.

Примеры.

a) x2 = o(x) при x 0;

b) x = o(x2) при x +.

З а м е ч а н и е. Последние три определения особенно содержательны, когда f и g — бесконечно малые или бесконечно большие функции.

Теорема. Пусть f f1, g g1, при x a. Если сущеf1(x) f(x) ствует lim, то существует и lim.

g1(x) g(x) xa xa Д о к а з а т е л ь с т в о. Достаточно заметить, что f 1f1 1 f1(x) = = g 2g1 2 g1(x) 48 Глава 3. Предел функции и что 1(x) lim = 1.

xa 2(x) Пример 3.8.1.

ex - 1 x lim = lim = 1.

x0 xsin x x Глава НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ § 4.1. Непрерывность функции в точке Будем считать, что функция f определена на U(x0), x0 R, f = f(x0) = f(x0 + x) - f(x0), x = x - x0.

Определения. Функция f называется непрерывной в точке x0, если (1) lim f(x) = f(x0);

xx(2) lim f = 0 ( lim lim );

xx0 xxx(3) для > 0 = () > 0: |f(x)-f(x0)| < x: |x-x0| < ;

(4) для > 0 = () > 0: f(U(x0)) U(f(x0));

(5) для U(f(x0)) U(x0): f(U(x0)) U(f(x0));

(6) для {xn}: xn U(x0), xn x0 (n ) имеет место f(xn) f(x0) (n ).

Эквивалентность определений (1)–(6) следует из эквивалентности соответствующих определений предела функции.

Обратим внимание на то, что в определении (6) не запрещается xn совпадать с x0. При добавлении в определение (6) условия xn = x0, оно меняется на эквивалентное.

Теорема 4.1.1 (о сохранении знака). Пусть f непрерывна в x0, f(x0) = 0. Тогда U(x0): sign f(x) = sign f(x0) x U(x0).

Д о к а з а т е л ь с т в о. Непрерывность в точке xозначает, в частности, что f определена на некоторой окрестности точки x0. Пусть, для определенности, f(x0) = d > 0.

d Возьмем = > 0. Тогда, по определению (63) непрерыв50 Глава 4. Непрерывные функции d ности, существует > 0 такое, что |f(x) - f(x0)| < при |x - x0| <, откуда следует, что d d f(x) > d - = > 0 при x U(x0).

2 Теорема 4.1.2 (свойства непрерывных функций).

Пусть функции f, g непрерывны в точке x0. Тогда функции f f + g, f - g, fg, а при g(x0) = 0 — и непрерывны в точке x0.

g Д о к а з а т е л ь с т в о. Напомним, что (f ± ± g)(x) f(x) ± g(x). Аналогично определяются произведение f и частное двух функций. Докажем лишь, что непрерывна в g x0 (для f ± g и fg доказательства аналогичны).

По предыдущей теореме, U(x0): sign g(x) = sign g(x0), так f что g(x) = 0 при x U(x0) и частное определено на U(x0).

g Имеем теперь, используя свойства пределов и непрерывность f, g:

lim f(x) f f(x) f(x0) f xxlim (x) = lim = = = (x0), xx0 xxg g(x) lim g(x) g(x0) g xxчто и требовалось показать.

§ 4.2. Предел и непрерывность сложной функции Пусть функция f определена на X, а функция — на T, причем (T ) X. Тогда сложная функция (суперпозиция, композиция) f определяется на T формулой (f )(t) = f((t)), t T.

§4.2. Предел и непрерывность сложной функции Теорема 4.2.1. Пусть f непрерывна в точке x0, непрерывна в точке t0, (t0) = x0. Тогда f непрерывна в точке t0.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть y0 = f(x0), U(x0) — произвольная окрестность y0. В силу непрерывности f в x0, U(x0) : f(U(x0)) U(y0) (это означает, в частности, что f определена на U(x0)). В силу непрерывности в точке t0, U(t0): (U(t0)) U(x0).

Последнее означает, в частности, что определена на U(t0) и значения ее в точках U(t0) лежат в U(x0). Следовательно, на U(t0) определена сложная функция f g, причем (f g)(U(t0)) U(y0), где y0 = (f g)(t0).

В силу произвольности U(y0) это означает непрерывность f g в точке t0 (см. определение (5) непрерывности).

Установим теперь две теоремы о пределе сложной функции.

Теорема 4.2.2. Пусть f непрерывна в точке x0, определена на (t0) и lim (t) = x0.

ttТогда lim (f g)(t) = f( lim (t)) = f(x0).

tt0 ttД о к а з а т е л ь с т в о. Рассуждая так же, как при доказательстве теоремы 4.2.1, приходим к тому, что для U(y0) U(t0): (f g)((t0)) U(y0), y0 = f(x0).

В силу произвольности U(y0) это означает, что утверждение теоремы доказано.

Другое доказательство теоремы состоит в следующем. Доопределим функцию в точке t0 (или переопределим ее, если 52 Глава 4. Непрерывные функции она изначально была определена в t0), положив (t0) = x0. Тогда становится непрерывной в точке t0, и остается воспользоваться теоремой 4.2.1.

Теорема 4.2.3. Пусть lim f(x) = y0. Пусть опредеxxлена на (t0), ((t0)) x0 и lim (t) = x0.

ttТогда lim (f g)(t) = y0.

ttД о к а з а т е л ь с т в о. Доопределим (переопределим) функцию f в точке x0, положив f(x0) = y0. Остается воспользоваться теоремой 4.2.2.

§ 4.3. Односторонняя непрерывность и точки разрыва Напомним, что U(x0 + 0), x0 R, означает полуинтервал [x0, x0 + ) при некотором > 0.

Определение. Функция f, определенная на U(x0 + 0) (U(x0 - 0)), называется непрерывной справа (слева) в точке x0, если f(x0 + 0) = f(x0) ( f(x0 - 0) = f(x0)).

Упражнение. Доказать, что функция f непрерывна в точке x0 тогда и только тогда, когда она непрерывна в xсправа и слева.

Определение. Функция f: X R, X (x0), x0 R, называется разрывной в точке x0, если она не определена в xили если определена в x0, но не является непрерывной в x0.

Определение. Точка x0 разрыва функции f называется точкой разрыва I-го рода (или скачком), если существуют конечные пределы f(x0 - 0), f(x0 + 0). При этом разность §4.4. Свойства функций, непрерывных на отрезке f(x0 + 0) - f(x0 - 0) называется скачком функции f в точке x0. Если при этом f(x0 + 0) = f(x0 - 0), то x0 называется точкой устранимого разрыва.

Точка разрыва, не являющаяся точкой разрыва I-го рода, называется точкой разрыва II-го рода.

Pages:     | 1 |   ...   | 2 | 3 || 5 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.