WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 | 2 || 4 | 5 |

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть сначала последовательность {an} сходится (в R). Пусть {ank} — произвольная 28 Глава 2. Предел последовательности ее подпоследовательность. По определению предела последовательности, любая окрестность U(a) содержит значения почти всех элементов последовательности {an}, а следовательно, и почти все элементы подпоследовательности {ank}. Следовательно, lim ank = a.

n Пусть теперь последовательность {an} имеет единственный частичный предел. Обозначим его через a и покажем, что lim an = a. Допустим противное, т.е. что a не является преn делом последовательности. Тогда 0 > 0 такое, что вне U0(a) находятся значения бесконечного числа элементов последовательности. Построим подпоследовательность {ank}, все элементы которой лежат вне U0(a). Мы докажем вскоре теорему (обобщающую теорему Больцано–Вейерштрасса), в силу которой последовательность {ank} имеет частичный предел, который является также и частичным пределом последовательности {an}. Он не совпадает с a, так как ank U0(a), что противоречит предположению о единственности частичного предела последовательности {an}. Следовательно, a = lim an.

n Определение. Верхним (нижним) пределом последовательности {an} называется наибольший (наименьший) в R из ее частичных пределов.

Его обозначают символом lim an ( lim an).

n n Упражнение. Пусть xn 0, yn 0 n N, последовательность {xn} сходится (т.е. имеет конечный предел), последовательность {yn} имеет конечный верхний предел. Доказать, что тогда lim xnyn = lim xn lim yn.

n n n §2.7. Теорема Больцано–Вейерштрасса § 2.7. Теорема Больцано–Вейерштрасса Теорема 2.7.1 (Больцано–Вейерштрасса). Всякая ограниченная последовательность имеет хотя бы один частичный предел.

Другая ее формулировка: из всякой ограниченной последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность.

Теорема Больцано–Вейерштрасса является следствием более общей и более сильной теоремы:

Теорема 2.7.2. Всякая последовательность имеет (в R) верхний и нижний пределы.

Д о к а з а т е л ь с т в о (для верхнего предела). Пусть {an} — произвольная последовательность.

X = {x: x R, правее x бесконечно много элементов последовательности}.

1 случай. X =. Это значит, что U(-) содержит почти все элементы последовательности, т.е. lim an = -.

n Следовательно, - — единственный частичный предел {an}, так что a = lim an.

n 2 случай. X =. Тогда sup X = b, - < b +.

Покажем, что b = lim an. Возьмем произвольное > 0, и n пусть b U(b), b < b. Тогда из определения верхней грани следует, что найдется x X: b < x b. Поэтому правее b лежит бесконечное число элементов последовательности {an}.

Если b > b, то b X, так что правее b — не более конечного числа элементов последовательности. Следовательно, U(b) содержит бесконечное число элементов последовательности {an} и, в силу произвольности > 0, b — частичный предел {an}.

30 Глава 2. Предел последовательности Остается показать, что b — наибольший частичный предел {an}, т.е. b = lim an. Допуская противное, предположим, что n существует частичный предел b > b. Тогда всякая окрестность U(b) содержит бесконечно много элементов последовательности. Но это противоречит тому, что при b < b < b правее b (как показано выше) — не более конечного числа элементов последовательности. Следовательно, b = lim an.

n Упражнение. Доказать теорему Больцано–Вейерштрасса с помощью стягивающейся системы вложенных отрезков.

У к а з а н и е. В качестве первого отрезка рассмотреть отрезок, содержащий все элементы последовательности.

Каждый из следующих отрезков получить делением предыдущего отрезка пополам и выбора самой правой из половин, содержащей бесконечное число элементов последовательности.

§ 2.8. Критерий Коши Определение. Последовательность {an} называется фундаментальной, если для нее выполнено условие Коши:

> 0 n : |an - am| < n, m n. (2.8.1) Теорема 2.8.1 (Критерий Коши). Для сходимости последовательности необходимо и достаточно, чтобы она была фундаментальной.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Необходимость. Пусть последовательность {an} сходится и lim an = a. Возьмем проn извольное > 0. Тогда n : |a - an| < n n.

Если теперь n, m n, то |an - am| |an - a| + |am - a| < + =, 2 §2.9. Изображение действит. чисел беск. десятич. дробями что и требовалось доказать.

Достаточность. Пусть последовательность {an} фундаментальна, т.е. удовлетворяет условию (2.8.1). Покажем, что она сходится.

Шаг 1. Покажем, что последовательность {an} ограничена.

Возьмем = 1. Тогда из (2.8.1) следует, что n1 N : |an - an1| < 1 n n1, так что |an| < 1 + |an1| n n1.

Следовательно, {an} — ограничена, так как отбрасывание конечного числа членов последовательности не влияет на ее ограниченность.

Шаг 2. По теорема Больцано–Вейерштрасса, из {an} можно выделить сходящуюся подпоследовательность {ank}.

Пусть a lim ank.

k Шаг 3. Покажем, что a является пределом {an}. Пусть > > 0. Тогда n, k : |an - ank| < n n, k k.

Переходя в этом неравенстве к пределу при k получаем, что |an - a| < n n.

В силу произвольности > 0 это означает, что lim an = a.

n § 2.9. Изображение действительных чисел бесконечными десятичными дробями Определение. Полуинтервал In = [an, an) = an, an + 10n 32 Глава 2. Предел последовательности будем называть десятичным полуинтервалом, если an 0, an = 0, 12,..., n — n-значная десятичная дробь (0 N {0}, i {0, 1,..., 9} при i N).

Символом {In} = {In} = {[an, an)} будем обозначать n=систему вложенных десятичных полуинтервалов. Очевидно, что an, an, an - an = 0 при n.

10n Пусть задано a 0. По аксиоме Архимеда, n0 N:

n0 a. Найдем 0 N {0}: 0 a < 0 + 1. Разобьем полуинтервал I0 [0, 0 + 1) на десять равных полуинтервалов и обозначим через I1 тот из них, который содержит a:

I1 = 0, 1; 0, 1 + a.

Разобьем I1 на 10 равных полуинтервалов и обозначим через I2 тот из них, который содержит a:

I2 = 0, 12; 0, 12 + a.

Продолжая процесс, получим систему десятичных полуинтервалов {In} с непустым пересечением, In = [an, an), an = = 0, 1,..., n, an = an +, In a. При этом an (an) назы10n вается нижним (верхним) n-значным десятичным приближением числа a.

Мы установили соответствие a {In} = {[an, an)}. (2.9.1) Множество всех систем вложенных десятичных полуинтервалов с непустым пересечением обозначим через.

Легко проверить, что соответствие (2.9.1) является взаимно однозначным соответствием {a R : a 0} (2.9.2) §2.9. Изображение действит. чисел беск. десятич. дробями Определение. Символ 0, 12... с 0 N {0} и i {0, 1, 2,..., 9} при i N называется бесконечной десятичной дробью.

Рассмотрим следующее соответствие.

{In} 0, 12..., {In}, (2.9.3) если In = an, an +, an = 0, 12... n.

В силу (2.9.1), (2.9.3) каждому действительному числу a 0 поставлена в соответствие бесконечная десятичная дробь a 0, 12... (a 0) (2.9.4) по правилу a {In} 0, 12...

Заметим, что при этом каждой конечной десятичной дроби a поставлена в соответствие бесконечная десятичная дробь, получающаяся из данной конечной приписыванием справа нулей.

Изучим подробнее соответствие (2.9.3).

Определение. Последовательность {an} правых концов системы десятичных полуинтервалов назовем застойной, если n0 N : an = an0+1 = an0+2 =...

Лемма 2.9.1. Система д.п. {In} имеет общую точку (т.е.

принадлежит ) тогда и только тогда, когда {an} — незастойная последовательность.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть a In n N.

Тогда a < an n N, lim an = a, n откуда видно, что последовательность {an} не может быть застойной.

Пусть теперь последовательность {an} — незастойная.

Рассмотрим систему вложенных отрезков {In} = {[an, an]}. По 34 Глава 2. Предел последовательности теореме о вложенных отрезках, a In n N. При этом a an n N. Если an0 = a при некотором n0, то {an} — застойная последовательность. Следовательно, a < an n N, т.е. a In n N, что и требовалось доказать.

Лемма доказана.

Определение. Назовем бесконечную десятичную дробь допустимой, если она не содержит (9) в периоде.

Лемма 2.9.2. Соответствие (2.9.3) является взаимно однозначным соответствием между множеством и множеством всех допустимых бесконечных десятичных дробей.

{допустимые бесконечные десятичные дроби} (2.9.5) Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть {In}.

По лемме 2.9.1, последовательность {an} — незастойная. Допустим, что бесконечная десятичная дробь, соответствующая {In}, в силу (2.9.3) содержит девятку в периоде. Это означает, что при некотором n0 N для всех n n0, In+1 является самым правым из 10 полуинтервалов, на которые разбивается In. Но тогда последовательность {an} — застойная, что противоречит предположению. Этим показано, что при соответствии (2.9.3) {допустимые бесконечные десятичные дроби}.

Покажем, что это соответствие взаимно однозначное. В самом деле, различным {In} и {In} соответствуют, очевидно, различные допустимые бесконечные десятичные дроби.

Проверим теперь, что для всякой допустимой бесконечной десятичной дроби найдется последовательность {In}, которой именно эта допустимая бесконечная десятичная дробь оказалась поставленной в соответствие. Пусть 0, 12... — произвольная допустимая бесконечная десятичная дробь. По§2.9. Изображение действит. чисел беск. десятич. дробями строим последовательность {In} = {[an, an)}, для которой an = = 0, 12... n, an = an + n N.

10n Последовательность {an} при этом не является застойной, так как иначе все десятичные знаки an, начиная с некоторого n0, были бы равны 9, что противоречит допустимости нашей бесконечной десятичной дроби. Следовательно, {In} по лемме 2.9.1. Очевидно, что построенной последовательности {In} соответствует, в силу (2.9.3) именно наша допустимая бесконечная десятичная дробь.

Лемма доказана.

Теорема 2.9.1. Отображение (2.9.4) является взаимно однозначным соответствием между множествами всех неотрицательных чисел и множеством всех допустимых бесконечных десятичных дробей.

{a : a 0} {допустимые бесконечные десятичные дроби} Д о к а з а т е л ь с т в о следует из (2.9.2) и (2.9.5).

Распространим отображение (2.9.4) на множество R всех действительных чисел, доопределив его для отрицательных чисел -a < 0 (a > 0) соответствием -a -0, 12..., если a 0, 12... в (2.9.4).

При этом (-a)n = -0, 1... n -, (-a)n = 10n = -0, 1... n называются нижним и верхним n-значным приближением числа -a.

Так доопределенное отображение является, очевидно, взаимно однозначным соответствием между множеством R всех действительных чисел и множеством всех (положительных и отрицательных) допустимых бесконечных десятичных дробей.

36 Глава 2. Предел последовательности Построенное взаимно однозначное соответствие дает возможность записывать (изображать) действительные числа в виде допустимых бесконечных десятичных дробей:

a = ±0, 12...

Оно дает возможность также перенести операции сложения и умножения и отношение порядка на множество всех (положительных и отрицательных) допустимых бесконечных десятичных дробей. Эквивалентным способом их можно определить и в терминах нижних и верхних n-значных приближений и предельного перехода.

Глава ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ § 3.1. Понятие функции Определение. Пусть каждому x X поставлен в соответствие один и только один элемент y Y. Будем говорить, что на множестве X задана однозначная функция со значениями в Y. Обозначив эту функцию буквой f, можно записать f : X Y. Через f(x) обозначают значение функции f на элементе x, т.е. тот элемент y Y, который поставлен в соответствие элементу x X, y = f(x).

Элемент x X называется аргументом или независимой переменной, элемент y = f(x) Y — значением функции или зависимой переменной.

При этом X называют областью определения функции f, Yf = {y : y = f(x), x X} Y — областью значений функции f.

Вместо термина «функция» употребляют равнозначные ему термины «соответствие», «отображение», «преобразование». Для обозначения функции наряду с f применяют также f(x), y = f(x). Таким образом, f(x) может обозначать как значение функции f на элементе x, так и саму функцию f.

Говорят, что f : X Y определена на элементе x, если x X, и что f не определена на элементе x, если x X. При E X будем говорить, что f определена на E.

При E X f(E) {y: y = f(x), x E} называется образом E, f(X) = Yf.

При D Y f-1(D) {x: x X, f(x) D} называется полным прообразом D.

38 Глава 3. Предел функции При E X функция fE: E Y, fE(x) f(x) при x E, называется сужением (ограничением, следом) функции f на E.

Графиком функции f : X Y называется множество пар {(x, f(x)): x X}.

Функция называется числовой, если ее значениями являются действительные числа.

Определение. Числовая функция f : X R называется ограниченной (сверху, снизу), если множество ее значений f(X) ограничено (сверху, снизу).

Определение. sup f sup f(X) (inf f inf f(X)) называется верхней (нижней) гранью числовой функции.

В ближайших разделах будут изучаться лишь числовые функции, заданные на числовом множестве X R.

§ 3.2. Элементарные функции и их классификация § 3.3. Понятие предела функции Как и раньше, R = R {-} {+}, R = R {}, U(a) — -окрестность a при > 0, U(a) — окрестность a (т.е. U(a) при некотором > 0).

U(a) \ {a}, (a) U(a) \ {a} (3.3.1) называются проколотыми окрестностями точки a (точкой будем называть как число, так и любой из элементов -, +, ).

Определение I. Пусть функция f определена на 0(x0), x0 R. Число A R называется пределом функции f при §3.3. Понятие предела функции x x0, если > 0 = () > 0 : |f(x)-A| < при 0 < |x-x0| <.

(3.3.2) Более общим является Определение I. Пусть функция f определена на 0(a), a R. Точка A R называется пределом функции f при x a, если > 0 = () > 0: f(x) U(A) при x (a).

В иной форме определение I можно записать в виде Определение I. Пусть функция f определена на 0(a), a R. Точка A R называется пределом f при x a, если U(A) U(a): f((a)) f(U(A)).

Для обозначения предела пишут lim f(x) = A или f(x) xa A при x a.

Определения I, I, I, сформулированы в терминах окрестностей. Приведем определение предела в терминах последовательностей.

Определение II. Пусть функция f определена на 0(a), a R. Точка A R называется пределом f при x a, если lim f(xn) = A для любой последовательности {xn}: xn n n N, xn a при n.

Теорема 3.3.1. Определения I и II эквивалентны.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Покажем сначала, что III (т.е., если A является пределом f при x a по определению I, то A является пределом f при x a по определению II).

Пусть f: 0(a) R, A = lim f(x) в смысле определения I.

xa Пусть последовательность {xn}: xn 0(a), xn a при n. Покажем, что lim f(xn) = A.

Pages:     | 1 | 2 || 4 | 5 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.