WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 || 3 | 4 |   ...   | 5 |

§1.5. Счетные и несчетные множества Определение. Множество называется счетным, если оно эквивалентно множеству натуральных чисел, иначе говоря, если его можно занумеровать всеми натуральными числами.

Упражнение. Доказать, что бесконечное подмножество счетного множества счетно.

Теорема 1.5.1. Множество рациональных чисел счетно.

Д о к а з а т е л ь с т в о.

Составим таблицу чисел (открытую снизу и справа), содержащую все рациональные числа.

n\m 0 1 -1 2 -2 3 -3...

1 0/1 1/1 -1/1 2/1 -2/1 3/1 -3/1...

2 0/2 1/2 -1/2 2/2 -2/2 3/2 -3/2...

3 0/3 1/3 -1/3 2/3 -2/3 3/3 -3/3...

.........

.........

.........

Будем двигаться по клеткам этой таблицы из левого верхнего угла по пути вида нумеруя встречающиеся в клетках рациональные числа, пропуская при этом те из них, которые ранее по пути уже встречались. Очевидно, таким способом мы занумеруем все рациональные числа всеми натуральными, что и требовалось показать.

Упражнение. Доказать, что объединение счетного числа счетных множеств счетно.

16 Глава 1. Множество действительных чисел Теорема 1.5.2 (Кантор). Множество всех точек отрезка [0, 1] несчетно.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Допустим противное. Тогда все точки отрезка [0, 1] можно занумеровать: x1, x2, x3,...

Поделим отрезок [0, 1] на три равных отрезка и обозначим через [a1, b1] один из них, свободный от точки x1. Поделим [a1, b1] на три равных отрезка и обозначим через [a2, b2] один из них, свободный от точки x2. Продолжая процесс, получим систему вложенных отрезков {[an, bn]}. По теореме о вложенных отn=резках существует точка c, принадлежащая всем отрезкам системы. Эта точка c не совпадает ни с одной из занумерованных точек x1, x2, x3,..., так как произвольная из них xj не содержится в отрезке [aj, bj], в то время как c содержится в этом отрезке.

Итак, допуская, что все точки отрезка [0, 1] занумерованы, мы пришли к противоречию, найдя точку c [0, 1], отличную от каждой из занумерованных. Это противоречие показывает, что наше допущение неверно. Тем самым, теорема доказана.

Об изоморфизме различных множеств действительных чисел.

Теорема 1.5.3. Пусть имеются два множества R, R, удовлетворяющие всем аксиомам множества действительных чисел. Тогда между ними можно установить взаимно однозначное соответствие R R, при котором из (x, y R, x, y R, x x, y y ) следует, что 1. x + y x + y ;

2. xy x y ;

3. x y x y.

§1.5. Счетные и несчетные множества В этом случае говорят, что множества R, R действительных чисел изоморфны друг другу и что множество действительных чисел единственно с точностью до изоморфизма.

Глава ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ § 2.1. Определение предела последовательности Определение. Пусть A — произвольное множество и пусть каждому n N поставлен в соответствие некоторый элемент a A. Тогда говорят, что задана последовательность a1, a2, a3,..., которая обозначается также символами {an}, {an}, n={an}nN.

Пара (n, an) называется n-м элементом последовательности, an — значением n-го элемента последовательности.

Всякая последовательность имеет счетное число элементов, множество значений элементов последовательности может быть конечным или счетным. Например, множество значений элементов последовательности 0, 1, 0, 1, 0, 1,... (2.1.1) состоит из двух элементов: 0 и 1.

Мы будем рассматривать пока лишь последовательности со значениями из R и называть их числовыми последовательностями или просто последовательностями.

З а м е ч а н и е. Часто вместо «значение элемента последовательности» говорят «элемент последовательности».

Например, можно сказать: «Данный отрезок содержит бесконечно много элементов последовательности» и т.п.

Определение. Число a R называется пределом последовательности {an}, если для > 0 n N:

|a - an| < n n.

§2.1. Определение предела последовательности При этом пишут lim an = a.

n Например, lim = 0.

n n Обобщим понятие предела (числовой) последовательности, рассматривая в качестве предела не только число, но и какойлибо из символов +, -,. Для этого рассмотрим множе ства R = R {-} {+} и R = R {}.

Определение. Пусть > 0. -окрестностью числа a называется U = (a -, a + ) — интервал с центром в a; -ок рестностью элемента a = + R (a = - R, a = R) называется множество U = x : x R, x > (U = x :

1 x R, x < -, U = x : x R, |x| > ).

Через U(a) при a R обозначается произвольная -окрестность элемента a.

Сформулируем общее определение предела последовательности в терминах окрестностей.

Определение. a R называется пределом последовательности {an}, если для > 0 n N: an U(a) n n.

Это же определение можно перефразировать следующим образом.

Определение. a R называется пределом последовательности {an}, если в U(a) содержатся значения почти всех (т.е. всех, за исключением, быть может, конечного числа) элементов последовательности.

Определение. Последовательность называется сходящейся, если она имеет конечный (т.е. принадлежащий R) предел. В противном случае, последовательность называется расходящейся.

20 Глава 2. Предел последовательности Примерами расходящихся последовательностей являются {n} и последовательность (2.1.1).

Определение. Последовательность называется сходя щейся в R (в R), если она имеет предел, принадлежащий R (R).

Расходящаяся последовательность {n} является сходя щейся в R, и сходящейся в R.

Расходящаяся последовательность {(-1)nn} сходится в R, к.

Бывает полезна формулировка в позитивных терминах утверждения того, что число a не является пределом последовательности {an}. Приведем ее.

Число a не является пределом последовательности {an}, если 0 > 0: n0 N n N, n n0: |an - a| 0.

Упражнение. Воспользовавшись этой формулировкой, показать, что последовательность (2.1.1) расходится.

Теорема 2.1.1 (единственности). Числовая последовательность не может иметь в R более одного предела.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Предполагая противное, допустим, что для данной последовательности {an} каждый из двух элементов a, a R является пределом. Пусть > 0 столь мало, что U(a) U(a ) =. Тогда по определению предела n N ( n N), при котором an U(a) n n (an U(a ) n n ).

Положив n = max{n, n }, получаем, что an U(a) U(a ) n n, а это невозможно, так как это пересечение пусто. Этим теорема доказана.

§2.2. Свойства пределов, связанные с неравенствами § 2.2. Свойства пределов, связанные с неравенствами Определение. Последовательность {an} называется ограниченной (ограниченной сверху, ограниченной снизу), если множество значений ее элементов ограничено (ограничено сверху, ограничено снизу).

Определение. Последовательность {an} называется ограниченной (ограниченной сверху, ограниченной снизу), если b R : |an| b (an b, an b) n N.

Приведенные два определения, очевидно, эквивалентны (равносильны).

Теорема 2.2.1. Сходящаяся последовательность ограничена. Обратное неверно.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть последовательность {an} сходится и a = lim an. Тогда для = 1 n1 N: |a n - an| < 1 n n1, так что a - 1 < an < a + 1 n n1.

Пусть b1 max{a1, a2,..., an1-1}. Очевидно, что {an} ограничена сверху числом b1. Аналогично показывается, что {an} ограничена снизу. Последовательность {an} ограничена в силу ее ограниченности сверху и снизу.

Пример (2.1.1) показывает, что не всякая ограниченная последовательность сходится.

Следующие три свойства показывают связь между неравенствами и предельным переходом. В них пределы a, b R.

1. an bn cn, lim an = lim cn = a lim bn = a;

n n n 2. lim an = a, a < b nb N: an < b n nb;

n 22 Глава 2. Предел последовательности 3. lim an = a, an b a b ( lim an = a, an b n n a b).

Следствие 1. lim an = a, |an| b |a| b.

n Упражнение. Показать, что свойство 3 не сохраняется при замене знаков на <.

§ 2.3. Свойства пределов, связанные с арифметическими операциями В следующих свойствах пусть существуют пределы lim an = a R, lim bn = b R. Тогда n n 1. lim (an + bn) = a + b, lim (an - bn) = a - b;

n n 2. lim anbn = ab;

n an a 3. Если bn = 0 ( n N), b = 0, то lim =.

bn b n Д о к а з а т е л ь с т в о проведем лишь для свойства 3. Положим n = a - an, n = b - bn. Тогда в силу свойства an 1 n 0, n 0 при n. Оценим разность между и bn a предполагаемым пределом.

b a an abn - ban n = - = = b bn bbn |a(b - n) - b(a - n)| |a| = |n| + |n|.

|bbn| |bbn| |bn| Возьмем > 0. Тогда n, n, n N такие, что |n| < |b| |b| n n, |n| < n n, |b - bn| = |n| <, т.е. |bn| > 2 n n.

§2.4. Предел монотонной последовательности Положим n = max{n, n, n }. Тогда 2|a| n + = M при n n, b2 |b| так что n не превосходит сколь угодно малого числа M при всех достаточно больших n N, а это означает, по определеan a нию предела последовательности, что lim =.

bn b n Определение. Последовательность {n} называется бесконечно малой, если lim n = 0.

n Следствием арифметических свойств пределов последовательностей является Лемма 2.3.1. Сумма, разность и произведение двух бесконечно малых последовательностей являются бесконечно малыми последовательностями.

Упражнение. Построить примеры бесконечно малых последовательностей {n}, {n} (n = 0 n N), для которых n n n lim = 0, lim =, lim = c, где c — произвольное n n n n n n n действительное число, lim не существует.

n n Определение. Последовательность {an} называется бесконечно большой, если lim an =.

n Арифметические свойства пределов последовательностей не переносятся на бесконечно большие последовательности. Например: {an} = {n+(-1)n}, {bn} = {n} — бесконечно большие последовательности, но {an - bn} = {(-1)n} не сходится даже в R.

§ 2.4. Предел монотонной последовательности Определение. Верхней (нижней) гранью последовательности называется верхняя (нижняя) грань множества значе24 Глава 2. Предел последовательности ний ее элементов. При этом используются обозначения соответственно sup{an}, inf{an}.

В соответствии со свойствами верхней и нижней граней числовых множеств, каждая последовательность имеет в R верхнюю и нижнюю грани.

Определение. Последовательность {an} называется возрастающей (убывающей), если an an+1 (an an+1) n N.

Возрастающие и убывающие последовательности называются монотонными.

Определение. Последовательность {an} называется строго возрастающей (строго убывающей), если an < an+(an > an+1) n N.

Строго возрастающие и строго убывающие последовательности называются строго монотонными.

З а м е ч а н и е. Возрастающие последовательности называют также неубывающими, а убывающие — невозрастающими.

Теорема 2.4.1. Всякая возрастающая последовательность {an} имеет предел в R lim an = sup{an}. Этот предел коn нечен (т.е. является числом), если последовательность {an} ограничена сверху, и равен +, если последовательность не ограничена сверху.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть a sup{an} +.

Тогда, по определению верхней грани, an a n N и для > 0 n N: an U(a). Поскольку an an a при n n, получаем, что an U(a) n n.

Это означает, что lim an = a, что и требовалось доказать.

n Упражнение. Сформулировать и доказать аналогичную теорему для убывающей последовательности.

§2.5. Число e Пример. Пусть {[an, bn]} — стягивающаяся система вложенных отрезков, — (единственная) общая (для всех отрезков) точка.

Тогда {an} — возрастающая, {bn} — убывающая последовательности. Поскольку lim an =, с помощью доказанной n теоремы заключаем, что sup{an} =.

Аналогично получаем, что inf{bn} =.

§ 2.5. Число e n Определение. e lim 1 +.

n n Покажем, что этот предел существует и конечен. Будем пользоваться неравенством Бернулли (1 + h)n > 1 + nh при h > 0, n N, n 2. (2.5.1) Упражнение. Доказать (2.5.1), используя метод математической индукции.

Рассмотрим вспомогательную последовательность {xn}, n+1 n + xn = 1 + > 1 + > 2. Как видим, последоваn n тельность {xn} ограничена снизу числом 2. Покажем, что она является убывающей последовательностью.

n n xn-1 1 + - n nn = = = xn n+1 n + 1 (n + 1)(n - 1) 1 + n n n = 1 +.

n + 1 n2 - Используя неравенство Бернулли (2.5.1), получаем, что xn-1 n n n3 + n2 - n 1 + = > 1.

xn n + 1 n2 - 1 n3 + n2 - n - 26 Глава 2. Предел последовательности На основании теоремы о сходимости монотонной последовательности, заключаем, что lim xn [2, x1] = [2, 4].

n Но тогда существует и lim xn xn n e lim = = lim xn, n 1 1 n 1 + lim 1 + n n n что и требовалось показать.

Можно показать, что e — иррациональное число, десятичная запись которого e = 2,718...

§ 2.6. Подпоследовательности Определение 1. Последовательность {ank} = {ank} k=называется подпоследовательностью последовательности {an} = {an}, если nk N k N и k1 < k2 nk1 < n=< nk2 (т.е. {nk} — строго возрастающая последовательность натуральных чисел).

Пример. Последовательность 1, 3, 5, 7,... является подпоследовательностью последовательности натуральных чисел, а последовательность 1, 5, 3, 9, 7,... не является подпоследовательностью натуральных чисел.

Лемма 2.6.1. Отбрасывание конечного числа первых членов последовательности не влияет ни на сходимость ни на величину предела (в случае сходимости).

Упражнение. Доказать лемму.

Определение 2. Частичным пределом последовательности называется предел какой-нибудь ее подпоследовательности, сходящейся в R.

§2.6. Подпоследовательности Определение 3. Частичным пределом последовательности называется элемент µ R, любая окрестность U(µ) которого содержит бесконечное число элементов последовательности.

Д о к а з а т е л ь с т в о эквивалентности определений 2 и 3.

Покажем сначала, что 23. Пусть µ является частичным пределом в смысле определения 2. Тогда, по определению предела, в любой U(µ) содержатся почти все элементы некоторой подпоследовательности. Следовательно, µ удовлетворяет определению 1.

Покажем теперь, что 32. Пусть µ является частичным пределом в смысле определения 3. Выберем какой-либо элемент последовательности xn1 U1(µ), затем выберем какойлибо элемент элемент последовательности xn2 U1 (µ), удовлетворяющий условию n2 > n1. Это возможно, так как U1 (µ) содержит бесконечное число элементов. Выберем затем xn U1 (µ), n3 > n2. Продолжая процесс, получим подпоследовательность {xnk}, сходящуюся в R к µ, так как при > U(µ) содержит все ее члены, начиная с члена с номером k, где k >.

Пример. Последовательность (2.1.1) имеет в точности два частичных предела: 0 и 1.

Упражнение. Пусть {rn} — каким-либо образом занумерованная последовательность всех рациональных чисел отрезка [0, 1]. Описать множество ее частичных пределов.

Лемма 2.6.2. Последовательность имеет единственный в R частичный предел тогда и только тогда, когда она сходится.

Pages:     | 1 || 3 | 4 |   ...   | 5 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.