WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     || 2 | 3 | 4 | 5 |
Московский физико-технический институт (государственный университет) О.В. Бесов КУРС ЛЕКЦИЙ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ Москва, 2004 Составитель О.В.Бесов УДК 517.

Методические указания по математическому анализу.

Курс лекций по математическому анализу. (для студентов 1го курса).

МФТИ. М., 2004. 65 с.

Изложение указанных в заглавии разделов курса математического анализа, изучаемых в МФТИ в первом семестре, отличается от изложения этих вопросов в учебниках и учебных пособиях.

© Московский физико-технический институт, 2004 3 Содержание Обозначения.................... 5 Глава 1. Множество действительных чисел 6 § 1.1. Аксиоматика................... 6 § 1.2. Верхние и нижние грани............ 8 § 1.3. Система вложенных отрезков......... 11 § 1.4. Связь между различными принципами непрерывности.................. 13 § 1.5. Счетные и несчетные множества....... 14 Глава 2. Предел последовательности.... 18 § 2.1. Определение предела последовательности. 18 § 2.2. Свойства пределов, связанные с неравенствами.................. 21 § 2.3. Свойства пределов, связанные с арифметическими операциями........ 22 § 2.4. Предел монотонной последовательности.. 23 § 2.5. Число e....................... 25 § 2.6. Подпоследовательности............. 26 § 2.7. Теорема Больцано–Вейерштрасса...... 29 § 2.8. Критерий Коши................. 30 § 2.9. Изображение действительных чисел бесконечными десятичными дробями.... 31 Глава 3. Предел функции........... 37 § 3.1. Понятие функции................ 37 § 3.2. Элементарные функции и их классификация 38 § 3.3. Понятие предела функции........... 38 § 3.4. Свойства пределов функции.......... 41 § 3.5. Критерий Коши................. 42 § 3.6. Односторонние пределы............ § 3.7. Пределы монотонных функций........ § 3.8. Бесконечно малые и бесконечно большие функции. Сравнение функций......... Глава 4. Непрерывные функции....... § 4.1. Непрерывность функции в точке....... § 4.2. Предел и непрерывность сложной функции § 4.3. Односторонняя непрерывность и точки разрыва....................... § 4.4. Свойства функций, непрерывных на отрезке § 4.5. Обратные функции............... § 4.6. Показательная функция............ § 4.7. Логарифмическая и степенная функции.. § 4.8. Тригонометрические и обратные тригонометрические функции......... § 4.9. Некоторые замечательные пределы..... § Обозначения Обозначения Для сокращения записи используются следующие обозначения.

— «для каждого; для любого; для всех» (от английского All), — «существует; найдется» (от англ. Exists), : — «такой, что; такие, что», — «по обозначению равно», — «соответствует, поставлено в соответствие», — «следует», — «равносильно», Множество является одним из исходных понятий в математике, оно не определяется. Вместо слова «множество» говорят «набор», «совокупность», «собрание». Множество состоит из объектов, которые принято называть его «элементами». Вводится также пустое множество (обозначение ) как множество, не содержащее ни одного элемента. Множества часто обозначают большими буквами A, B, C,..., а элементы множеств — малыми. Запись a A, A a означает, что элемент a содержится во множестве A, принадлежит A, множество A содержит элемент a. Запись a A означает, что множество A не содержит объект (элемент) a.

Запись A B, B A означает, что множество A является подмножеством множества B, т.е. что a B a A.

Если A B и B A, то пишут A = B. Запись a = b означает, что a и b — это один и тот же элемент.

Примеры множеств:

A = {x : x2 < 1}, A = {1, 2,..., n,...}.

Будут применяться также знаки (объединение множеств) и (пересечение множеств).

Глава МНОЖЕСТВО ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ § 1.1. Аксиоматика Определение. Непустое множество R называется множеством действительных (вещественных) чисел, а его элементы — действительными (вещественными) числами, если на R определены операции сложения и умножения и отношение порядка.

(I) Аксиомы сложения (a, b a + b) 1. a + b = b + a a, b R (коммутативность);

2. a + (b + c) = (a + b) + c a, b, c R (ассоциативность);

3. 0 R: a + 0 = a a R;

4. a R (-a): a + (-a) = 0, (-a) называется противоположным числом для a.

(II) Аксиомы умножения (a, b ab) 1. ab = ba a, b R (коммутативность);

2. a(bc) = (ab)c a, b, c R (ассоциативность);

3. 1 R, 1 = 0: a1 = a a R;

1 1 4. a R, a = 0, : a = 1, (a называется обратным a a числом для a).

(I–II) Связь сложения и умножения 1. (a+b)c = ac+bc a, b, c R (дистрибутивность умножения относительно сложения).

(III) Аксиомы порядка (Для любых a, b R установлено отношение a b или b a) 1. a b, b a a = b a, b R;

§1.1. Аксиоматика 2. a b, b c a c a, b, c R.

a b записывается также в виде b a, a b при a = b в виде a < b и b > a.

(I–III) Связь сложения и порядка 1. a b a + c b + c a, b, c R.

(II–III) Связь умножения и порядка 1. 0 a, 0 b 0 ab a, b R.

(IV) Аксиома непрерывности IVD (вариант принципа Дедекинда) Пусть A, B — непустые подмножества R такие, что a b a A, b B.

Тогда c R такое, что a c b a A, b B.

З а м е ч а н и е. Множество Q рациональных чисел удовлетворяет аксиомам (I), (II), (III), (I–III), (II-III), но не удовлетворяет аксиоме (IV). Покажем последнее. Пусть A = = {a : a Q, a > 0, a2 < 2}, B = {b : b Q, b > 0, b2 > 2}. Тогда во множестве Q не существует числа c ( Q) со свойством: a c b a A, b B.

Некоторые свойства аксиом множества действительных чисел 1. Число 0, противоположное к a число и решение уравнения a + x = b единственны, x = b - a b + (-a) a, b R.

2. Число 1, обратное к a (при a = 0) и решение уравнения ax = b (при a = 0) единственны.

b x b a, b R, a = 0.

a a 3. a 0 = 0 a R.

4. a, b R, ab = 0 a = 0 или b = 0.

8 Глава 1. Множество действительных чисел 5. a, b R всегда имеет место одно и только одно из соотношений a < b, a = b, a > b.

6. 0 < 1.

Примеры числовых множеств.

Множество натуральных чисел N = {1, 2, 3,...}, где 2 = 1+ + 1, 3 = 2 + 1,...

Множество целых чисел Z = {0, 1, -1, 2, -2, 3, -3,...}.

Множество рациональных чисел p Q = x : x =, q N, p Z.

q Отрезок, интервал, полуинтервалы [a, b] {x : a x b}, (a, b) {x : a < x < b}, (a, b] {x : a < x b}, [a, b) {x : a x < b}.

Множество действительных чисел R часто называют числовой прямой, а числа — точками числовой прямой.

§ 1.2. Верхние и нижние грани Определение. Множество X R называется ограниченным сверху (снизу), если существует число b (число a) такое, что x b x X (x a x X).

При этом говорят, что число b (число a) ограничивает множество X сверху (снизу).

Определение. Множество X R называется ограниченным, если оно ограничено сверху и снизу.

Определение. Множество X R называется неограниченным (сверху, снизу), если оно не является ограниченным (сверху, снизу).

Определение. Верхней гранью непустого множества X R называется число b, удовлетворяющее условиям:

1. x b x X;

§1.2. Верхние и нижние грани 2. b < b xb X: xb > b или иначе: > 0 x X:

x > b -.

Определение. Нижней гранью непустого множества X R называется число a, удовлетворяющее условиям:

1. x a x X;

2. a > a xa X: xa < a или иначе: > 0 x X:

x < a +.

Верхняя и нижняя грани множества X обозначаются соответственно символами sup X, inf X.

Примеры.

sup[a, b] = b, sup(a, b) = b.

Отметим, что верхняя грань множества может как принадлежать, так и не принадлежать этому множеству, ср. случаи [a, b], (a, b).

Теорема 1.2.1 (единственности). Числовое множество не может иметь больше одной верхней (нижней) грани.

Д о к а з а т е л ь с т в о проведем лишь для случая верхней грани. Допуская противное, предположим, что каждое из чисел b и b (b = b ) является верхней гранью множества X.

Пусть, для определенности, b < b. Тогда, в силу того, что b = = sup X, из определения верхней грани следует, что для числа b xb : xb X, xb > b. Но тогда b не является верхней гранью X. Из полученного противоречия следует ошибочность предположения и утверждение теоремы.

Заметим, что в условиях теоремы не предполагается существование верхней (нижней) грани. Теорема утверждает, что, если верхняя (нижняя) грань существует, то она единственна.

Значительно более глубокой (эквивалентной аксиоме непрерывности) является теорема о существовании верхней грани.

10 Глава 1. Множество действительных чисел Теорема 1.2.2 (о существовании верхней грани).

Всякое непустое ограниченное сверху (снизу) числовое множество имеет верхнюю (нижнюю) грань.

Д о к а з а т е л ь с т в о проведем лишь для верхней грани. Пусть A — непустое ограниченное сверху множество. Рассмотрим непустое множество B, элементами которого являются все числа b, ограничивающие множество A сверху.

Тогда a b a A, b B.

Из аксиомы непрерывности следует, что для некоторого c R a c b a A, b B. (1.2.1) Покажем, что sup A = c. Первое условие из определения верхней грани выполнено в силу левого из неравенств (1.2.1).

Покажем, что выполняется и второе. Пусть c < c. Тогда c B, так как для каждого элемента из B выполняется правое из неравенств (1.2.1). Следовательно, c не ограничивает множество A сверху, т.е.

xc A : xc > c, так что второе условие также выполнено.

Следовательно, c = sup A и теорема доказана.

Определение. Расширенным множеством действительных чисел R называется R = R {-} {+}, т.е. элементами множества R являются все действительные числа и еще два элемента: -, +.

Во множестве R не введены сложение и умножение, но имеется отношение порядка. Для двух элементов a, b R в случае §1.3. Система вложенных отрезков a, b R отношение порядка то же, что в R. В других же случаях оно определено так: - < a, a < +, - < + a R.

Рассматривая множество X действительных чисел как подмножество расширенного множества действительных чисел (X R), можно обобщить понятие sup X (inf X). Это обобщающее определение будет отличаться от приведенных выше лишь тем, что в качестве b (a) можно брать не только число, но и элемент + (-).

Тогда получим, что для непустого неограниченного сверху (снизу) числового множества X sup X = + (inf X = -).

Учитывая теорему 1.2.2 приходим к выводу, что всякое непустое числовое множество имеет в расширенном множестве действительных чисел R как верхнюю, так и нижнюю грани.

§ 1.3. Система вложенных отрезков Определение. Множество отрезков {[a1, b1], [a2, b2],...}, - < an < bn < + n N называется системой вложенных отрезков, если [an, bn] [an+1, bn+1] n N, т.е. каждый отрезок содержит следующий за ним.

В следующей теореме формулируется свойство, эквивалентное аксиоме непрерывности и называемое непрерывностью множества действительных чисел по Кантору.

Теорема 1.3.1. Для всякой системы вложенных отрезков существует точка, принадлежащая всем отрезкам данной системы.

12 Глава 1. Множество действительных чисел Д о к а з а т е л ь с т в о. Для системы вложенных отрезков {[an, bn]} рассмотрим два непустых множества A = = {an} и B = {bn}.

Очевидно, что n, m N an an+m bn+m bm.

В силу аксиомы непрерывности существует число c такое, что an c bm n, m N.

В частности, при m = n получаем, что c [an, bn] n N, что и требовалось доказать.

Определение. Система вложенных отрезков {[an, bn]} n=называется стягивающейся системой вложенных отрезков, если > 0 n N: bn - an <.

Теорема 1.3.2. Стягивающаяся система вложенных отрезков имеет ровно одну точку, принадлежащую всем отрезкам.

Д о к а з а т е л ь с т в о. По крайней мере одна общая точка для отрезков рассматриваемой системы имеется в силу теоремы 1.3.1. Покажем, что общих точек не больше одной. Допуская противное, предположим, что каждая из двух различных точек c и c является общей для всех отрезков системы. Пусть, для определенности, c < c, т.е. c - c > 0.

По определению стягивающей системы, n N: bn - an <.

Тогда an c < c bn. Отсюда, c - c c - an bn - an <, что противоречит выбору. Теорема доказана.

§1.4. Связь между различными принципами непрерывности § 1.4. Связь между различными принципами непрерывности Теорема 1.4.1 (Принцип Архимеда). Для a R:

n N: n > a.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Допустим, что теорема неверна. Это значит, что a R: n a n N. Следовательно, a ограничивает сверху множество N и по теореме 1.2. b R: b = sup N. Тогда по определению верхней грани для числа b b - 1 n N: n > b - 1. Но тогда n + 1 > b, n + + 1 N, что противоречит тому, что b = sup N. Этим теорема доказана.

В следующей диаграмме IVK IVD IVsup IVD (A) приняты обозначения:

IVD — вариант принципа Дедекинда, IVsup — принцип верхней грани, т.е. утверждение теоремы 1.2.2, IVK — принцип Кантора, т.е. утверждение теоремы 1.3.1, (A) — принцип Архимеда.

Эта диаграмма показывает, что перечисленные принципы эквивалентны. Любой из них (IVK в сочетании с (A)) можно было бы взять в качестве аксиомы непрерывности при определении множества действительных чисел, а другие доказать в качестве теорем.

Два из указанных в диаграмме логических следствий уже установлены, другие два предлагается доказать читателю в качестве упражнения. Было доказано также, что IVD IVK.

14 Глава 1. Множество действительных чисел Теорема 1.4.2 (Принцип математической индукции). Пусть множество A N обладает свойствами:

1. A 1;

2. A n A n + 1.

Тогда A = N.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Последовательно убеждаемся, что A 2 1 + 1, A 3 2 + 1,... Следовательно, A N. Отсюда и из A N следует A = N.

З а м е ч а н и е. Мы видим, что принцип математической индукции следует непосредственно из определения множества натуральных чисел. Существуют и другие построения теории действительных чисел, в которых этот принцип берется в качестве аксиомы.

§ 1.5. Счетные и несчетные множества Определение. Будем говорить, что между двумя множествами X и Y установлено взаимно однозначное соответствие и писать X Y, если:

1. x X поставлен в соответствие один и только один элемент y Y (x y);

2. Если x1 = x2, x1 y1, x2 y2, то y1 = y2;

3. y Y x X: x y.

Определение. Два множества X и Y называются эквивалентными (пишут X Y ), если между ними можно установить взаимно однозначное соответствие.

Эквивалентные множества называют также равномощными, говорят, что они имеют одну и ту же мощность («одинаковое» количество элементов).

Пример. N {2, 4, 6, 8, 10,...}.

Pages:     || 2 | 3 | 4 | 5 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.