WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 3 | 4 || 6 | 7 |   ...   | 10 |

1. Точное аналитическое выражение зависимости между исследуемыми величинами может оставаться неизвестным и поэтому по необходимости приходится ограничиваться приближенными формулами эмпирического характера.

2. Точная функциональная зависимость выражается формулой настолько сложной, что ее непосредственное применение при вычислениях было бы очень затруднительным.

Эмпирические формулы могут быть разнообразными, т.к. при выборе аналитической зависимости руководствуются не какими-то строгими теориями (физическими или экономическими), а ставят только одно условие - возможно близкое соответствие значений, вычисленных по формуле опытным данным. Таким образом, формально описание одного и того же процесса можно дать разными по виду уравнениями. Их пригодность оценивается только по одному критерию - наиболее точное предсказание экспериментального результата.

В эмпирическую формулу можно вводить различное число постоянных параметров (коэффициентов), величину которых нужно определить с большой точностью. Более удачными (удобными) следует считать уравнения с небольшим числом коэффициентов (не более 2-3). В противном случае возрастают трудности с применением таких формул.

ГОУ ВПО УГТУ-УПИ – связи показателей коммерческой деятельности с использованием программы Excel 2.3. Метод наименьших квадратов Для определения коэффициентов уравнения регрессии b применяют разные методы (графический, метод средних), однако наибольшее распространение получил метод наименьших квадратов (МНК).

Пусть обсуждается некоторая зависимость y = f(x), которая отражает какой-то процесс, имеющий плавное течение, и поэтому все параметры системы изменяются постепенно, без скачков. В этих случаях экспериментальные точки, нанесенные на графике, должны бы укладываться на некоторую плавную кривую (в частном случае, прямую). Однако на практике определенный разброс экспериментальных точек всегда наблюдается, что связано с изменчивостью (ошибками) регистрируемых измерений. Понятно, что такого разброса удалось бы избежать, если бы результаты измерений оказались совершенно свободными от ошибок, и тогда точки, отвечающие этим результатам, строго ложились бы на соответствующую плавную кривую, или прямую линию. Поэтому все процессы, которые имеют заведомо плавное течение, принято изображать также плавными кривыми, проводя их не через точки, а так, чтобы кривая проходила по возможности ближе ко всем точкам на графике.

Однако такое указание оставляет при построении кривых определенный произвол. Его частично можно устранить основным положением МНК:

сумма квадратов отклонений i экспериментальных точек от кривой по вертикальному направлению, т.е. сумма квадратов величин i, должна быть наименьшей (i2 = минимум).

Или иначе - сумма квадратов отклонений известных (экспериментальных) значений исследуемой функции и соответствующих значений аппроксимирующей функции (теоретическими показателями) должна быть наименьшей.

ГОУ ВПО УГТУ-УПИ – Бараз В.Р. Корреляционно-регрессионный анализ Довольно часто при описании аппроксимирующей функции ограничиваются простым видом полиноминальной зависимости, полагая ее линейной, т.е. в виде уравнения прямой y = b0 + b1x. Здесь свободный член b0 характеризует сдвиг и равен тому значению у, которое получается при х = 0, а коэффициент b1 определяет наклон линии.

Отыскание коэффициентов b0 и b1 осуществляется по МНК.

Пусть имеется n экспериментальных точек (n пар наблюдений): (x1, y1); (x2, y2);… ( xn, yn). Введем следующие обозначения: уi – это измеренные (экспериментальные) значения изучаемого параметра, а i – его теоретические (рассчитанные по уравнению) показатели.

Предположим, что экспериментальные точки на графике укладываются так, что по ним вполне возможно провести прямую линию (рис.11). Значения функции i в этом случае можно записать в виде линейного уравнения:

i = b0 + b1 xi. Расстояние по ординате (вертикали) от точки yi до прямой составит: b0 + b1 xi - yi = i, где b0 + b1 xi = i - рассчитанное (теоретическое) значение функции; yi - ее измеренное (опытное) значение и i - разница (расстояние) между i и yi.

yi i уi { i Рис. 11.Схематическое пояснение содержания метода наименьших квадратов ГОУ ВПО УГТУ-УПИ – связи показателей коммерческой деятельности с использованием программы Excel В соответствии с МНК полагаем, что искомая прямая будет наилучшей, если сумма квадратов всех расстояний (b0 + b1 xi - yi)2 = i2 окажется наименьшей.

Минимум этой суммы ищется по правилам дифференциального исчисления. В результате для определения b0 и b1 используются следующие уравнения:

n n n n yi x x x yi i i i i=1 i=1 i=1 i=b0 = n n ;

n x - x i i i=1 i=n n n n xi yi - xi yi i=1 i=1 i=b1 = n n.

n xi2 - xi i=1 i=Особенности МНК:

1. Этот метод не дает ответа на вопрос о том, какого вида функция лучше всего аппроксимирует конкретные экспериментальные точки.

Вид интересующей нас функции должен быть задан на основе какихто физических или экономических соображений (либо специальным образом отыскан). МНК позволяет лишь выбрать, какая из прямых (парабол, экспонент) является лучшей прямой (параболой, экспонентой) для прогнозирования.

2. Вычисления по МНК являются достаточно громоздкими, поэтому основная нагрузка - на компьютерные программы.

3. МНК является достаточно точным приемом и позволяет получить вполне надежные результаты. Одновременно он является интерполяционным ГОУ ВПО УГТУ-УПИ – Бараз В.Р. Корреляционно-регрессионный анализ методом, поскольку обеспечивает с определенной вероятностью предсказание любых значений yi в интервале изученных значений xi.

Напомним, что экстраполяционный метод (в отличие от интерполяционного) дает возможность предсказывать результаты за пределами изученной области.

После того как уравнение регрессии найдено, необходимо определить его статистическую пригодность, т.е. выяснить, насколько оно верно (надежно) предсказывает в интервале х1; х2; … хn экспериментальные результаты для у. Подобную оценку принято называть проверкой на значимость или адекватность.

2.4. Поиск уравнения регрессии Рассмотрим на конкретном примере решение задачи по построению уравнения регрессии.

Студент Боб Деканкин решил в период летних каникул немного подзаработать, для чего устроился в контору «Ржавая подкова», занимающуюся сбором металлического лома от населения. Начальник конторы г-н Тютякин Фрол Макарович, преисполненный глубоким уважением к учености будущего дипломированного коммерсанта, попросил Боба проанализировать конкретные временные затраты на сбор (среди прочего металлолома) всяческих промышленных отходов и бытового старья из меди и ее сплавов. При этом г-на Тютякина интересовало, сколько медного металлолома в среднем можно собрать за одну рабочую смену (8 часов).

Боб Деканкин, знакомый с методом регрессионного анализа, решил взяться за порученное дело. В течение месяца он аккуратно регистрировал результаты сбора медного металлолома. Это позволило ему представить в табличной форме (табл.4) основные итоги, указав для статистического массива n = 8: а) затраченное время (часы) и б) вес собранного металлолома (кг).

ГОУ ВПО УГТУ-УПИ – связи показателей коммерческой деятельности с использованием программы Excel Таблица Результаты сбора медного лома в конторе «Ржавая подкова» Время, затраченное 1,5 4,0 5,0 7,0 8,5 10,0 11,0 12,на сбор медного лома, х, ч Количество собранного 5,0 4,5 7,0 6,5 9,5 9,0 11,0 9,металлолома у, кг Итак, исследуется некоторая зависимость y = f(x). Будем исходить из предположения, что эта зависимость описывается линейным уравнением. Об этом предварительно можно судить по виду построенного графика (рис.12).

2.4.1. Использование традиционных способов расчета На первом этапе проведем вычисление традиционным, а потому и самым утомительным способом, т.е. «вручную». Здесь нам в лучшем случае может помочь лишь калькулятор.

Рис.12. Графическое изображение исследуемой зависимости y = f(x) Вычисление коэффициентов регрессии удобнее проводить в табличной форме. Для этого заполним табл.5, в которой, помимо исходных данных (их мы расположим по столбцам), в графах 4-8 укажем вспомогательные расчетные данные.

Для проверки правильности вычисления в таблице можно использовать следующее выражение: (х+у)2 = х2 + 2ху + у2.

ГОУ ВПО УГТУ-УПИ – Бараз В.Р. Корреляционно-регрессионный анализ 1. Определим среднее арифметическое для каждого ряда - для х и у.

Они составят соответственно: х = 59,5/8 = 7,44 ч и у = 61,5/8 = 7,69 кг.

Значения полученных сумм подставляем в формулу для последующей проверки. Получим:

2072,00 = 541,75 + 2510,25 + 509,75;

2072,00 = 2072,00.

Следовательно, вычисления выполнены правильно.

Таблица Вспомогательная таблица для расчета коэффициентов регрессии № п/п х У х2 у2 ху х+у (х + у)1 2 3 4 5 6 7 1 1,5 5,0 2,25 25,00 7,50 6,50 42,2 4,0 4,5 16,00 20,25 18,00 8,50 72,3 5,0 7,0 25,00 49,00 35,00 12,00 144,4 7,0 6,5 49,00 42,25 45,50 13,50 182,5 8,5 9,5 72,25 90,25 80,75 18,00 324,6 10,0 9,0 100,00 81,00 90,00 19,00 361,7 11,0 11,0 121,00 121,00 121,00 22,00 484,8 12,5 9,0 156,25 81,00 112,50 21,50 462,Итого =59,5 =61,5 =541,75 =509,75 =510,25 =121,00 =2072,2. Рассчитаем теперь коэффициенты b0 и b1 по известным формулам:

n n n n yi x x x yi i i i i=1 i=1 i=1 i=b0 = n n, n x - x i i i=1 i=541,75 61,50 - 59,50510,= 3,73кг.

b0 = 8541,75 - 59,ГОУ ВПО УГТУ-УПИ – связи показателей коммерческой деятельности с использованием программы Excel n n n n xi yi - xi yi i=1 i=1 i=b1 = n n, n xi2 - xi i=1 i=8510,25 - 59,50 61,= 0,53кг/ч.

b1 = 8541,75 - 59,Следовательно, уравнение регрессии, т.е. формула, с некоторой вероятностью отображающая зависимость у от х, имеет следующий вид:

= 3,73 + 0,53х.

3. Для проверки значимости (пригодности) полученного уравнения регрессии применяют специальные приемы. Такую проверку называют проверкой адекватности модели.

Для количественной проверки гипотезы об адекватности можно использовать так называемый F-критерий (критерий Фишера):

Sад F = Sобщ.

Sад Где - остаточная дисперсия, или дисперсия адекватности. Она характеризует величину среднего разброса экспериментальных точек у относительно линии регрессии, т.е. у = yi - i (у есть ошибка в предсказании экспериментального результата на основании математической модели).

Остаточная дисперсия, таким образом, позволяет оценить ошибку, с которой уравнение регрессии предсказывает фактический результат. Следовательно, минимальная величина остаточной дисперсии должна свидетельствовать о более удачном выборе линии регрессии.

Вообще в статистике принято считать, что применение критерия минимальности остаточной дисперсии является вполне надежным способом отбора адекватных экономико-математических моделей.

ГОУ ВПО УГТУ-УПИ – Бараз В.Р. Корреляционно-регрессионный анализ Чтобы определить, велика или мала ошибка в предсказании эмпирических результатов, ее нужно сопоставить с некоторой статистической величиной (эталоном), принимаемой в качестве критической. Вот почему используется расчетный F-критерий, который затем сравнивают с Fкрит.

Если Fрасч < Fкрит, то модель признается адекватной, т.е. с заданной степенью достоверности (надежности) она верно предсказывает реальный результат. Если же Fрасч > Fкрит, то вывод обратный: данное уравнение не может с заданной надежностью прогнозировать эмпирические данные.

Проверка адекватности модели по критерию Фишера дает возможность ответить на вопрос, во сколько раз хуже по сравнению с опытом предсказывает результат модель.

Sад Остаточная дисперсия рассчитывается путем деления остаточной суммы квадратов на число степеней свободы f по следующей формуле:

n y i=Sад =.

f Здесь число степеней свободы f = n - (k + 1), где n - число опытов в эксперименте (т.е. объем случайной выборки); k - число изучаемых факторов.

Для однофакторного эксперимента имеем f = n - 2 и тогда n n € y ( y - y)i=1 i=Sад = =.

n - 2 n - Вторая характеристика в формуле для расчета F-критерия (знаменатель) - это так называемая усредненная, или общая дисперсия. В качестве таSобщ ковой принимается квадрат стандартной ошибки. Этот показатель фактически характеризует случайную ошибку для всей выборки, т.е. оценивает несоответствие между конкретными (текущими) значениями результата эксперимента и средним арифметическим.

ГОУ ВПО УГТУ-УПИ – связи показателей коммерческой деятельности с использованием программы Excel Общая дисперсия рассчитывается так:

n n € € (y - y)2 (y - y)i i i=1 i=Sобщ = =.

f n -Вернемся к нашему примеру. Оценим статистическую пригодность Sад полученного линейного уравнения. Показатель удобно вычислять в табличной форме (табл.6). Расчет проведем по формулам:

n n € - y)y 8,86 (yi 35,2 i=1 i=Sад = = =1,11 и Sобщ = = = 4,63.

n 8 n Таблица Вспомогательная таблица для проверки уравнения на адекватность № _ п/п x i yi i=3,73+0,53х yi - i (yi - i)2 yi - yi (yi - yi)1 2 3 4 5 6 7 1 1,5 5,0 4,53 0,47 0,221 2,69 7,2 4,0 4,5 5,85 1,822 3,19 10,-1,3 5,0 7,0 6,36 0,62 0,384 0,69 0,4 7,0 6,5 7,44 0,884 1,19 1,-0,5 8,5 9,5 8,24 1,26 1,588 1,81 3,6 10,0 9,0 9,03 0,001 1,31 1,-0,7 11,0 11,0 9,53 1,44 2,074 3,31 10,8 12,5 9,0 10,35 1,882 1,31 1,-1, =59, =61, =0,12 =8,86 =15,51 =36,5 ГОУ ВПО УГТУ-УПИ – Бараз В.Р. Корреляционно-регрессионный анализ Определим величину критерия Фишера:

Sад 1,Fрасч = = = 0,.

Sобщ 4,Определим табличное значение для = 0,05, а также степеней свободы для Sобщ Sад числителя f1 ( ) и знаменателя f2 ( ). Они составят соответственно f1 = n - 2, т.к. f = n - (k + 1), где n - число опытов в эксперименте (т.е. составляет объем случайной выборки); k - число изучаемых факторов. Для однофакторного эксперимента имеем f = n - 2.

Для второго показателя f2 = n - m, где m - количество вычисленных констант для переменной у, которая соответствует среднемарифметическому у (т.е. m = 1). Тогда f2 = n - 1,а Fкрит (0,05; f 1; f 2) = 3,87 (прил.3).

Поскольку 0,24 < 3,87, то с вероятностью 95 % можно утверждать, что рассматриваемое уравнение адекватно и способно с указанной достоверностью предсказывать экспериментальные результаты.

Если теперь возвратиться к самому обсуждаемому заданию, то можно заметить, что смышленый студент Боб Деканкин вполне управился с порученным делом. Он сообщил пытливому г-ну Тютякину, что на основании имеющихся опытных данных можно уверенно спрогнозировать (с надежностью 95 %) результат сбора медного лома: за 8 часов работы это составит почти 8 кг (3,7 + 0,538 = 7,97).

Pages:     | 1 |   ...   | 3 | 4 || 6 | 7 |   ...   | 10 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.