WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 6 | 7 || 9 | 10 |   ...   | 11 |

eE eE Исходная частица из дираковского моря входит в барьер в точке z = z1 и выходит из него при z = z2. Подбарьерное действие легко находится z m2c2 +p2 c S = | p z | dz =.

z2 eE В итоге экспоненциальный фактор в вероятности W подбарьерного перехода таков:

m2c2 +p2 c h W e-2S/ = exp -. 31.eEh Заметим, что внешнее поле можно считать постоянным, если оно слабо меняется на подбарьерном пути. Отношение l/ длины этого пути l = z2 - z1 mc2/ eE к комптоновской длине волны электрона = h/ mc равно по порядку величины подбарьерному действию S в единицах h, так что в квазиклассической ситуации l.

Вычислим теперь предэкспоненциальный фактор в вероятности рождения пар. Экспонента (31.3) — это вероятность того, что одна частица из дираковского моря, которая подходит слева к барьеру (см. рис. 13), протуннелирует сквозь него, став, таким образом, реальным электроном. Рассмотрим исходные частицы в элементе импульсного пространства d3p = d2p dpz, плотность которых равна dn = 2d3p/ 2 где множитель 2 соответствует двум возможh 3, ным проекциям спина электрона. В единицу времени через площад_ ку dx dy слева от барьера пройдет dN = djz z dx dy частиц, где ток djz z = vz z dn. В это выражение входит величина E vz z dpz = dpz = dE, pz где частная призводная берется при фиксированных значениях z и p. С другой стороны, как нетрудно сообразить, интервал энергий туннелирующих частиц dE прямо связан с интервалом dz продольных координат точек, в которых частицы входят в барьер: dE = eE dz (с точностью до несущественного здесь знака). Чтобы полу чить полное число пар, рожденных в единицу времени в объеме dV = _ dx dy dz, экспоненту (31.4) следует домножить на dN. В итоге пол ное число пар, рожденных в единицу времени в единице объема, равно dW d2p m2c2 +p2 c P1/2 = 2 eE exp -.

dt dV 2 eEh h Интегрируя это выражение по поперечным импульсам, находим окончательный ответ:

e2E2 m2c P1/2 = exp -. 31.43h2c eEh Мы снабдили вероятности P в формулах, полученных выше, индексом 1/2, чтобы подчеркнуть, что результат относится к частицам со спином половина. Разумеется, понятие моря Дирака, а с ним и наш подход, неприменимы сами по себе к рождению пар заряженных бесспиновых частиц, которые описываются уравнением Клейна–Фока–Гордона. Но в используемом квазиклассическом приближении вероятности рождения разного спина отличаются лишь числом спиновых состояний. Таким образом, вероянтность рождения скалярных частиц, вычисленная в этом приближении, вдвое меньше:

e2E2 m2c P0 = exp -. 31.83h2c eEh Соответствующие точные результаты для постоянного электрического поля таковы:

e2E2 1 m2c P1/2 = exp -n, 43h2c n2 eEh n= e2E2 -1 n-1 m2c P0 = exp -n.

83h2c n2 eEh n=Разумеется, учет высших членов, с n 2, в этих суммах осмыслен > лишь для очень сильных электрических полей, при E m2c3/ eh.

Для меньших полей формулы (31.4) и (31.5) верны количественно.

Гамильтонова форма уравнения Дирака Умножив уравнение (31.2) на 0 слева, получим уравнение Дирака в гамильтоновой форме ^ ^ i = H, H = -i-eA + m0 + eA0.

t Отсюда x-компонента скорости ^ x = i H, x = x.

_ Так как x = I, то собственные значения x равны ±1, или±c вобычных единицах. Однако собственные функции x не соответствуют определенному знаку энергии, то есть обычным физическим состояниям. И наоборот, в состоянии с фиксированной энергией px x = u+xu =, как и должно быть. Операторное уравнение движения во внешнем поле d ^ - eA = eE + e B p dt — аналог классического уравнения движения d mv = eE + ev B.

dt - v^ В центральном поле орбитальный момент l = r p и спин ^ 1 ^ = = s 2 в отдельности не сохраняются:

^ ^ i H,^ = p, i H,^ = - p.

l ^ s ^ ^ ^ Естественно, однако, что сохраняется полный момент j = l + ^.

s Сходство и различие уравнений Дирака и Клейна–Фока–Гордона Применив оператор µ iµ - eAµ + m к уравнению Дирака, квадрируем это уравнение:

ie { iµ - eAµ 2 - µFµ - m2} = 0, Fµ = µ A - Aµ.

Отличие этого уравнения от уравнения Клейна–Фока–Гордона во втором спиновом слагаемом.

Рассмотрим движение заряженной частицы в постоянном (но не обязательно однородном) магнитном поле в отсутствие электрического поля. В этом случае спиновое слагаемое переходит в e B. В силу квадрированного уравнения, ^ - eA 2 = ^ - eA 2 - e B = E2 - m2.

p p В магнитном поле, не зависящем от времени, энергия сохраняется.

Поэтому в таком магнитном поле p - eA = const.

В квазиклассическом приближении p - eA совпадает с mv/ 1 - vи в магнитном поле, не зависящем от времени, по модулю сохраняется. Таким образом, в этом случае сохраняется и спиральность электрона, то есть проекция его спина на направление движения.

В действительности это утверждение нарушается за счет аномального магнитного момента электрона. Магнитный момент электрона равен eh µ = 1 +, 1.

2mc Эту поправку можно учесть в уравнении Дирака следующим образом:

ie µ iµ - eAµ - m - µFµ = 0.

4m Ультрарелятивистский предел уравнения Дирака Введем оператор 0 -I 5 =.

-I Он коммутирует с гамильтонианом, если в последнем пренебречь в ультрарелятивистском пределе массой:

^ ^ H = ^ - eA + e, H, 5 = 0.

p Собственные функции оператора L,R = 1 ± выглядят так:

L,R L,R =, L,R где L,R = 1 n и n — орт скорости. Очевидно, n L,R = L,R, то есть у L ( или R спин антипараллелен (или параллелен) скорости. Отсюда названия L — левый, R — правый. В ультрарелятивистском пределе спиральность электрона сохраняется в произвольном внешнем электромагнитном поле. Действительно, уравнения для L,R расщепляются:

L,R eA0 ^ - eA L,R L,R p ^ H = = L,R ^ - eA eA0 L,R L,R p или ^ - eA L,R eA0 L,R = L,R.

p Вполне возможно, что нейтрино существует только левое, антинейтрино — только правое, а масса их равна нулю. Во взаимодействиях двухкомпонентного нейтрино четность не сохраняется.

ВОПРОСЫ 31.1. Указать релятивистские единицы энергии, времени, длины, силы.

31.2. Чему равно (в эВ/см) критическое поле E0 = m2c3/ eh, при котором исчезает экспоненциальное подавление рождения пар внешним полем 31.3. Зарядовое сопряжение (задачи 15.2, 15.3, 15.27 ГКК).

^ ^ ^ ^ 31.4. Найти H,^, H,^ H,^ + ^ где H= p + 0m + U r (ср. с l s, l s, задачей 15.20 ГКК).

^ ^ 31.5. Используя тождество n| H, pr |n = 0, где H= p + 0m ^ Ze2/r, показать, что энергия En = n| 0 |n.

31.6. Преобразование Лоренца для плоской волны, являющейся решением уравнения Дирака (задачи 15.25 и 15.26 ГКК).

31.7. Решение в виде плоской волны с определенными энергией, импульсом и спиральностью (задачи 15.21, 15.26 и 15.27 ИГГ).

31.8. Решение в виде плоской волны для нейтрино (задачи 15.и 15.29 ГКК).

31.9. Сечение рассеяния заряженной релятивистской частицы на кулоновом центре в борновском приближении (задачи 15.17 и 15.ГКК).

31.10. Электрон в однородном постоянном магнитном поле (задачи 15.11 и 15.33 ГКК).

§32. Релятивистский электрон в кулоновом поле. Тонкая структура Пусть релятивистский электрон рассеивается в кулоновом поле U r = -e2/r, переходя из начального состояния i r = up exp ipr в конечное состояние f r = up exp ip r. Борновская амплитуда рассеяния с точностью до множителя равна фурье-образу потенциала взаимодействия (см. §21), или матричному элементу Ufi 4e+ Ufi = f r U r i r d3r = - u+ up = q2 p 4e2 q2 i p p = - + 1 - + i, q = p - p.

q2 f 4 + m 2 + m Выражение в фигурных скобках имеет вид p p { } = A +in B, n =, |p p| где n — нормаль к плоскости рассеяния. Если выбрать n в качестве оси квантования спина (оси z), то + A +in B i = 0, f только если начальные и конечные проекции спинов на эту ось совпадают, mi = mf. Это делает тривиальным усреднение сечения по поляризациям начального электрона и суммирование по поляризациям конечного электрона.

Если ограничиться в этом выражении первой релятивистской поправкой, положив = m, то мыполучим 1 1 i q p -4e2 - + q2 8m2 4m2q(опускаем для кратности + и i). Отличия фурье-образа этой велиf чины e2 e2 e- + r + l r 2m2 4m2rот кулонового потенциала U r = -e2/r составляют релятивистскую поправку к взаимодействию электрона с ядром.

Второе, спин-орбитальное слагаемое в этой поправке можно качественно интерпретировать, как взаимодействие магнитного момента электрона µ = e/ 2m в его собственной системе с магнитным полем B = -v E, возникающим в этой системе при движении электрона в электрическом поле ядра E = er/r3. Первое, функционное слагаемое в поправке также имеет спиновое происхождение, но является чисто квантовым.

Учитывая поправку -p4/ 8m3 к зависимости энергии от импульса, получаем следующее выражение для релятивистского возмущения кулоновой задачи:

^ ep2 2 e^ ^ V = - + r + l.

8m3 2m2 4m2rУровни с одним и тем же l, но с разными полными моментами j не смешиваются этим возмущением, поскольку оно сохраняет полный момент. Уровни с одним и тем же j, но с разными l не смешиваются ^ возмущением V, поскольку оно сохраняет четность, а четность таких состояний противоположна. Таким образом, при вычислении релятивистской поправки к энергии можно пользоваться невырожденной теорией возмущений.

Среднее значение первого слагаемого было вычислено в аналогичной задаче для уравнения Клейна–Фока–Гордона (см. §30).

Среднее значение второго слагаемого отлично от нуля лишь при l = 0:

njl| r |njl = | 0 |2 l0.

Среднее значение последнего слагаемого отлично от нуля лишь при l = 0:

^ l 3 njl njl = j j +1 - l l +1 - · 1 - l0.

r3 4 rВеличины | 0 |2 и 1/r3 удобно вычислить, воспользовавшись тождеством d ^ ^ ^ njl| C |njl = 0, C =, Hr, dr где 1 d2 2 d l l +1 e^ Hr = - + - 2m dr2 r dr r2 r — гамильтониан радиального движения. Явное вычисление коммутатора дает 1 d l l +1 e^ C = - +.

mr2 dr mr3 rЗначение 1/r2 было найдено ранее (см. (17.2)). Первое слагаемое в правой части можно преобразовать к виду 1 d 1 d = d r2 dr = r2 dr r2 dr 1 d||= d dr = -2| 0 |2.

2 dr для l = 0. Таким образом, находим njl| r |njl = | 0 |2 = l0, a3 nB 1 njl njl = 1 - l0.

r3 a3 n3l l + 1 l +1/B В итоге поправка к энергии равна (в обычных единицах) me4 2 1 Enj = - -.

2 n3 j +1/2 4n h 3d5/ 3p3/2, 3d3/2 n = 3s1/2, 3p1/2p3/n = 2s1/2, 2p1/2s1/2 } n = Тонкая структура уровней атома водорода согласно уравнению Дирака.

Видно, что сохраняется вырождение уровней с одинаковыми n и j.

ВОПРОСЫ 32.1. Найти расщепление -линии серии Бальмера (переход с уровня n = 3 на уровень n = 2) с учетом тонкой структуры для уравнения Клейна–Фока–Гордона и уравнения Дирака.

32.2. Оценить с помощью соотношения неопределенности критическое значение Zc заряда точечного ядра, при котором в релятивистской кулоновой задаче возникает падение на центр.

32.3. Пусть два точечных ядра с зарядами Z1 и Z2 находятся на расстоянии R друг от друга. При этом Z1 Zc.

Оценить, при каком R в задаче возникает падение на центр.

§33. Атом в магнитном поле Выберем для постоянного и однородного внешнего магнитного поля B калибровку, в которой вектор-потенциал A = B r. Тогда линейное по полю слагаемое в гамильтониане Паули преобразуется к виду e e e h h ^ V1 = - ^ + A^ - B = - ^ + B.

pA p l 2mc 2mc 2mc Для многоэлектронного атома получаем eh e e h h ^ ^ ^ ^ ^ V1 = - ^ + a B = L+ 2S B = - J + S B, la 2mc a 2mc 2mc ^ ^ ^ где L, S, J — суммарный орбитальный, спиновый и полный моменты атома.

p3/ p1/Аномальный эффект Зеемана для одного p-электрона.

lz = 1, sz = 1/lz = 0, sz = 1/lz = ±1, sz = 1/lz = 0, sz = -1/lz = -1, sz = -1/Нормальный эффект Зеемана для одного p-электрона.

В слабом внешнем поле в качестве невозмущенных состояний мож^ ^ ^ но использовать состояния с определенными значениями S2, L2, J^ и Jz. Тогда поправка к энергии атома равна eh ^ E = SLJJz| V1 |SLJJz = - gJzB, 2mc где J J +1 - L L +1 + S S +g = 1 + 2J J +— фактор Ланде (см. §28). Это так называемый аномальный эффект Зеемана.

В сильном магнитном поле можно пренебречь тонкой структурой невозмущенных уровней и тогда e h ^ E = SSzLLz| V1 |SSzLLz = - Lz +2Sz B.

2mc Это так называемый нормальный эффект Зеемана.

В промежуточной области, когда энергия взаимодействия магнитного момента с полем сравнивается со спин-орбитальным взаимодействием, эти два взаимодействия нужно учитывать одновременно. Это так называемый эффект Пашена-Бака. Порядок величины критического поля Bc 104 Гс.

При L = S = 0 работает лишь квадратичный член в гамильтониане e2 eV2 = A2 = r B 2.

2mc2 8mcПоправка к энергии атома положительна и сводится с учетом сферической симметрии задачи L = 0 к e2B2 E = ra.

12mc2 a В этом случае диамагнитная восприимчивость атома 2 E e2 = - = - ra.

B2 6mc2 a Если J = 0, но L = S = 0, то из-за малых интервалов тонкой структуры доминирует поправка второго порядка по V1. Эта поправка к энергии основного состояния отрицательна, так что возникает своеобразный парамагнетизм в отсутствие исходного магнитного момента.

ВОПРОС 33.1. Определить расщепления терма с S = 1/2 в эффекте Пашена– Бака (КМ задача 1 к §113).

§34. Атом гелия Основное состояние 1s2 симметрично по координатам. Поэтому оно, в силу принципа Паули, антисимметрично по спинам, то есть является синглетом S0. В первой возбужденной конфигурации 1s2s триплетное ортосостояние S1 лежит ниже синглетного парасостояния 1 S0. Действительно, волновая функция S1 симметрична по спинам, и поэтому антисимметрична по координатам, что уменьшает кулоновское отталкивание электронов. Во втором возбужденном состоянии 1s2p снова триплетное состояние P лежит ниже синглетного 1 3 3 P по той же причине. Последовательность P, P, P определя1 0 1 ется положительным знаком спин-орбитального взаимодействия.

P 1s2p P P PS1s2s S1s2 { SСхема уровней атома гелия.

Оценим с помощью соотношения неопределенности энергию основного состояния атома гелия. Естественно принять импульсы обоих электронов равными p1 = p2, а радиус-векторы равными и противоположными по направлению, r1 = -r2.

Тогда из гамильтониана p2 p2 2e2 2e2 e1 H = + - - + 2m 2m r1 r2 |r1 - r2| получаем следующую оценку для энергии:

p2 7 eE -.

m 2 r Минимизируя это выражение с учетом соотношения неопределенности, находим Emin - Ry = -6, 1 Ry.

Это не так далеко от экспериментального значения Eexp = -5.808 Ry.

§35. Вариационный принцип ^ Уравнение Шредингера H = E следует из условия минимума функционала ^ H - E dx.

Иначе это можно сформулировать как условие минимума функционала ^ Hdx при дополнительном условии dx = 1, которое учитывается с помощью лагранжева множителя E.

Pages:     | 1 |   ...   | 6 | 7 || 9 | 10 |   ...   | 11 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.