WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 5 | 6 || 8 | 9 |   ...   | 11 |

Покажите, что l + m +1 Ylm, 1 l+,m+ = 2 l - m Ylm+2l + l - mYlm.

l- 1 1 =,m+ 2 - l + m +1 Ylm+2l +^ Указание: первая из этих функций пропорциональна Ylm+, а вто^ рая 1 - Ylm+, где 1 1 ^ ^ = l +^ - l - l - +1 = s 2l +1 2 = s-^ +^ l- +2sz^ + l +^ l+ s+^ ^ lz 2l +— проекционный оператор для мультиплета с j = l +1/2.

§27. Правила отбора для матричных элементов скалярных и векторных операторов ^ Для каждого скалярного оператора S, построенного из операторов ^2 ^ r2, p2, r^ l, l^ и т.д., справедливо ^ p, s ^ ^ J, S = или ^ ^ ^ ^ Jz, S = 0, J2, S = 0, ^ где J — оператор полного момента импульса системы. Пусть |JM ^ ^ — собственная функция операторов J2 и Jz с собственными значениями J J +1 и M соответственно, набор квантовых чисел характеризует другие возможные физические величины, имеющие определенные значения в этом состоянии. Из соотношения ^ ^ ^ ^ ^ J M |JzS - SJz|JM = M - M J M |S|JM = ^ следует, что матричный элемент J M | S |JM может быть отличен от нуля лишь при M = M. Аналогично, из соотношения ^ ^ J M | J2, S |JM = следует, что этот же матричный элемент может быть отличен от нуля лишь при J = J. Наконец, рассматривая матричные элементы от ^ ^ ^ ^ ^ ^ операторных равенств типа J-SJ+ = SJ-J+, получим, что обсуждаемый матричный элемент вообще не зависит от M (при M = M), то есть ^ J M | S |JM = a J,, JJ MM.

В качестве простого примера векторного оператора рассмотрим единичный вектор n = r/r. Известны соотношения между компонентами вектора n и сферическими функциями Y1m, :

4 nz = Y10, n± = nx ± i ny = Y1±1.

3 Отсюда ясно, что произведение nz|JM может быть представлено в виде суперпозиции функций jm с m = M и j = J - 1, J, J + при J 1 и j = 1/2, 3/2 при J =. Поэтому матричный элемент J M | nz |JM может быть отличен от нуля при M = M и J = J, J ± 1 при J 1 и J = 1/2, 3/2 при J = 1/2. Аналогично, для J M | n± |JM получим правила отбора M = M ± 1 и те же правила отбора для J. Существенным для доказательства этих правил отбора был не конкретный вид оператора n, а его векторный харак^ тер. Поэтому и для любого векторного оператора V справедливы правила отбора: матричный элемент ^ J M | Vz |JM отличен от нуля лишь при M = M, матричный элемент ^ J M | V+ |JM отличен от нуля лишь при M = M+1, а матричный элемент ^ J M | V- |JM отличен от нуля лишь при M = M - 1, и во всех этих случаях J = J - 1, J, J +1 при J 1 или J = 1/2, 3/2 при J = 1/2.

^ Найдите правила отбора по M для векторного оператора V, используя соотношение ^ ^ ^ Jz, V± = ±V±, ^ ^ ^ следующее из Jm, Vn = imnl Vl.

^ Дополнительные правила отбора. Четность состояния V Ylm рав^ ^ на -1 l, если V — полярный (аксиальный) вектор, поэтому l m |V|lm отличен от нуля лишь при l = l ±1 для полярного вектора (например, для V = r) илишь приl = l для аксиального вектора (например, ^ ^ для V = l = r p/ ^ h).

§28. Усреднение векторного оператора ^ ^ ^ Используя правила коммутации Jm, Vn = imnl Vl, покажите, что ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ J2 J2 V-V J2 - J2 V-V J2 J2 = J2, J2, V = 2 J2 V+ V J2 -4J JV.

Взяв от этого соотношения матричный элемент по состояниям |JM ^ и |JM, отличающимся лишь значениями проекции Jz, получим формулу усреднения ^ ^ ^ ^ JM |V|JM = JM |J|JM · JM|JV|JM, J J +то есть усредненный вектор V направлен по усредненному вектору J. В частности, при M = M получаем ^ ^ ^ JM|V|JM = C · 0, 0, M, C = JM| JV |JM.

J J +ВОПРОСЫ a a 28.1. Найти a b ; a n; ei ; e ; UmU-1, где U= eiz/2.

28.2. Задача 5.4 ГКК. Могут ли квадраты проекций электронного спина на оси x, y, z иметь одновременно определенные значения 28.3. Задача 5.12 ГКК. Показать, что для состояния, описываемого спиновой волновой функцией cos = ei sin ei (это наиболее общий вид нормированной волновой функции спинового состояния частицы со спином s = 1/2 при 0 /2, 0 < 2), можно указать такую ось в пространстве, проекция спина на которую имеет определенное значение +1/2. Найти полярный и азимутальный углы этой оси.

28.4. Найти ^ d, = Y11 + Y1-1, l и сравнить полученный результат с результатом предыдущей задачи.

1 28.5. Найти, для которой sx =. То же для sy =.

^ ^ 2 28.6. Задача 5.15 ГКК. Для частицы со спином s = 1/2 указать закон преобразования спиновой волновой функции a = b при вращении системы координат на угол относительно оси, направление которой определяется единичным вектором n.

Показать, что величина 2 aa2 + bb2 не меняется при указан1 1 ном преобразовании, то есть является скаляром.

28.7. Показать, что угловая волновая функция состояния p1/2 l = 1, s = 1/2, j = 1/2 может быть представлена в виде - n, где n — орт радиус-вектора, — обычный двухкомпонентный спинор.

28.8. Найти относительные интенсивности расщепленных пучков нейтронов в опыте типа Штерна–Герлаха, если поляризованные вдоль оси x нейтроны движутся вдоль оси z, а магнитное поле B направлено в плоскости xy под углом = 450 к оси x.

28.9. Распад p- (Фейнмановские лекции по физике. Вып.

9, гл. 15, § 5).

28.9. Спин в магнитном поле (задачи 7.40-7.42 и 7.44 ГКК).

Найти операторы скорости v и ускорения a (в шредингеровском ^ ^ представлении) нейтральной частицы (например, нейтрона), находящейся в магнитном поле.

Найти зависимость от времени спиновой функции и средних значений компонент спина нейтральной частицы со спином s = 1/и магнитным моментом µ, находящейся в однородном постоянном магнитном поле B.

Обобщить результат предыдущей задачи на случай однородного непостоянного магнитного поля, направление которого остается неизменным, т. е. B t = B t n0.

Частица со спином s = 1/2 и магнитным моментом µ находится в однородном магнитном поле B t вида Bx = B0 cos 0t, By = B0 sin 0t, Bz = B1, где B0, B1, 0 – постоянные величины.

При t = 0 частица находилась в состоянии с проекцией спина на ось z, равной sz = 1/2. Найти вероятность различных значений прекции спина на ось z в момент времени t. Обсудить, в частности, случай, когда |B1/B0| 1; обратить внимание на резонансный характер зависимости вероятности “переворота” от частоты 0 в этом случае.

1 1 28.10. Сложение моментов, 1 1, 1 (в том числе с 2 2 использованием таблиц коэффициентов Клебша-Гордана).

28.11. Найти среднее значение магнитного момента электрона в состоянии p1/2 с jz = 1/2 двумя способами: а) используя результаты предыдущей задачи; б) используя формулу усреднения векторного оператора.

28.12. Система состоит из двух спинов s1 = s2 = 1/2, взаимодействие которых имеет вид Ks1s2. Найти уровни энергии системы во внешнем магнитном поле B, если гиромагнитные отношения равны g1 и g2.

28.13. Найти правила отбора для матричных элементов дипольного l m |xj|lm и квадрупольного l m |xjxk|lm моментов.

28.14. Найти в борновском приближении сечение рассеяния быстрых нейтронов кулоновским полем (Задача 13.43 ГКК, а также § 42 из книги Берестецкого, Лифшица и Питаевского ”Квантовая электродинамика” (М.: Наука, 1989).

§29. Тождественность частиц Благодаря отсутствию точной локализуемости в квантовой механике тождественность частиц приводит к их неразличимости. Поэтому x2, x1 = ei x1, x2.

Так как двухкратная перестановка двух частиц — тождественная операция, то x2, x1 = ± x1, x2.

Благодаря принципу суперпозиции, симметрия всех состояний физической системы одинакова.

Волновая функция бозонов симметрична относительно перестановок a x1 b x2 + a x2 b x1, a = b;

x2, x1 = a x1 b x2, a = b.

Волновая функция фермионов антисимметрична:

a x1 b x2 -a x2 b x1, a = b;

x2, x1 = 0, a = b.

Принцип Паули: два фермиона не могут находиться в одном состоянии. Он обеспечивает стабильность атома — системы электронов (частиц со спином 1/2).

В релятивистской квантовой теории поля доказывается теорема Паули о связи спина со статистикой: частицы с целым спином — бозоны, частицы с полуцелым спином — фермионы.

Составная частица, построенная из четного числа фермионов — бозон, из нечетного числа фермионов — фермион.

§30. Уравнение Клейна–Фока–Гордона Операторы ^ H i h p0 = = p = -i ^ ^ h c c t образуют 4-мерный вектор pµ = i, - = i ^ h hµ.

c t Из классического соотношения для компонент 4-импульса релятивистской частицы e p - A = m2c2, c µ где Aµ = A0 =, A — 4-потенциал электромагнитного поля, следует релятивистское волновое уравнение (1926 - 1927 г.) h e e i t - - -i 30.h- A = m2c2.

c c c Четырехмерная плотность тока 1 e e jµ = i - Aµ + -i Aµ · hµ hµ 2 c c сохраняется:

µjµ = 0.

Уравнение (30.1) и плотность тока jµ инвариантны относительно калибровочного преобразования (сравни с нерелятивистским случаем в §19) hc Aµ Aµ - µf x, eief x /, 30.где f x — произвольная функция.

Релятивистская поправка к закону дисперсии, то есть к зависимости энергии от импульса, p2 p2 V = c m2c2 +p2 - mc2 - 2m 8m3cснимает вырождение по l в спектре кулоновой задачи, приводит к тонкой структуре уровней. Возникающая поправка к энергии равна (см. уравнения (10.1) и (17.2)) 1 p^ ^ Enl = nl| V |nl = - nl nl = 2mc2 2m 1 e2 me4 2 1 = - nl En + nl = - -. 30.2mc2 r 2 n3 l +1/2 4n hЗдесь e2 = hc — безразмерная константа, постоянная тонкой структуры.

l = 1 n = l = n = l = 0 } n = Тонкая структура уровней атома водорода согласно (30.2).

Однако реальный спектр атома водорода отличается от этого спектра. Причина в том, что уравнение (30.1) не учитывает спин электрона.

§31. Уравнение Дирака Естественное релятивистское обобщение уравнения Паули (см. §25) 1 e i - e = p - A ht ^ 2m c которое учитывает спин электрона, выглядит так:

h e 0 i t - e - p - A - m2c2 = 0, 31.^ c c где µ = 0, — некоторые матрицы. Оператор второго порядка {...} в левой части уравнения (31.1) факторизуется:

e e µ i - Aµ + mc µ i - Aµ - mc.

hµ hµ c c Функция удовлетворяет уравнению (31.1), если она является решением уравнения первого порядка e µ i - Aµ - mc = 0. 31.hµ c Это и есть уравнение Дирака (1928 г.).

Сколько компонент у волновой функции Бесконечно малый поворот 2-компонентного спинора на угол вокруг оси n i = 1 + n сохраняет P -инвариантность (то есть инвариантность относительно отражений), так как и момент, и ось поворота n — аксиальные векторы; соответственно, n — скаляр. Но единственно возможное бесконечно малое преобразование Лоренца со скоростью v для 2компонентного спинора = 1 + v нарушает P -инвариантность, так как скорость v — полярный вектор, а следовательно, v — псевдоскаляр (то есть меняет знак при отражении координат). Поэтому приходится вводить второй спинор. Если ^ ^ P=, то P= -.

И тогда преобразование Лоренца вида 1 = - v, = + v 2 P -инвариантность сохраняет.

Двухкомпонентные спиноры и объединяются в 4-компонентный спинор, или биспинор =.

^ Найдем 4 4 матрицы µ. Свободное уравнение Дирака µpµ mc = 0 под действием оператора µpµ + mc должно перейти в p2 ^ ^ m2c2 = 0. Отсюда следует µ + µ = 2gµI.

При отражении координат p0 не изменяется, а p изменяет знак. По^ ^ этому ^ ^ P 0p0 - p = 0p0 + p P.

^ ^ ^ ^ ^ Таким образом, матрица P удовлетворяет условиям ^ ^ ^ ^ P0 = 0P, P = -P.

^ Ясно поэтому, что 0 = P. С другой стороны, по определению, ^ P =, так что I ^ 0 = P =.

0 -I ^ ^ Из P + P = 0 следует, что 0 B =.

C А соотношение mn + nm = -2mn I удовлетворяется, если Bn = -Cn = n, где n — матрицы Паули.

Итак, I 0 0 =, =.

0 -I - Функция = +0 удовлетворяет уравнению µ -iµ - eAµ - m = 0, где производная µ действует налево. 4-мерная плотность тока jµ = µ удовлетворяет уравнению непрерывности µµ = 0.

Для дираковской частицы плотность вероятности равна = +, а плотность тока — j = +, где матрицы = 0 =.

эрмитовы.

Уравнение Дирака и плотность дираковского тока, разумеется, инвариантны относительно калибровочного преобразования (30.2).

Свободное движение дираковской частицы Cвободному движению соответствует плоская волна µ x = u p eip xµ, где биспинор u p удовлетворяет системе алгебраических уравнений µpµ - m u p = 0.

Здесь и ниже в §32 полагаем h =1, c =1.

Для двухкомпонентных спиноров, через которые выражается u =, получаем систему уравнений E - m - p = 0, p - E + m = 0.

Эта система имеет ненулевое решение, если ее определитель равен нулю, то есть при условии E2 = p2 + m2.

Введем арифметический, положительный корень = + p2 + m2.

Существуют две возможности(рис. 12):

1.

p E =, =.

+ m При нормировке + = 1, u+u = 1, + m p up =, A = A 2 + m 2.

+ m -A E = -, u-,p =.

Четыре компоненты волновой функции соответствуют двум возможным ориентациям спина при двух возможных знаках энергии.

Исключить состояния с отрицательной энергией нельзя, так как в квантовой механике возможны переходы между состояниями. Дирак постулировал, что уровни с отрицательной энергией заполнены.

Тогда переходов на них нет в силу принципа Паули. Дырка в дираковском море ведет себя как частица той же массы, что и электрон, но с противоположным зарядом, то есть является позитроном.

Рождение электрон-позитронных пар постоянным внешним электрическим полем Рождение электрон-позитронных пар внешним электрическим полем — замечательное предсказание релятивистской квантовой механики (Заутер, 1931 г.; Швингер, 1951 г.). Напряженности электрического поля, достаточно большие для реального наблюдения Рис. 12: Возможные значения энергии для свободной дираковской частицы: E = + m2c4 +p2c2 > mc2 и E = - m2c4 +p2c2 < -mc2. Дираковской щели соответствует область энергий: -mc2 < E < mcэффекта, достигаются в столкновениях атомных ядер с большими зарядами при сближении ядер на малые расстояния.

Мы рассмотрим модель явления, допускающую точное решение:

случай однородного постоянного внешнего поля E. Будет использовано представление о дираковском море, это резко упрощает решение задачи.

Начнем с расчета основной, экспоненциальной зависимости эффекта. Направим ось z вдоль постоянной силы F = -eE = 0, 0, eE, тогда потенциальная энергия U = -eEz. При движении в таком поле сохраняется полная энергия E = ± m2c4 +p2c2 - eEz и поперечный импульс p = px, py, 0. В этом поле обычная дираковская щель (рис. 12) перекашивается (рис. 13). В результате электрон, который имел отрицательную энергию в отсутствие поля, может теперь протуннелировать сквозь щель (см. пунктирную линию на рис. 13) и уйти на бесконечность как обычная частица. Конечно, дырка, возникшая таким образом, — это не что иное как позитрон.

Пусть E = - m2c4 +p2c2 - eEz — энергия частицы дираковского моря. Продольный импульс частицы pz z = eEz + E 2 - m2c4 - p2 c c Рис. 13: Изменение дираковской щели при наличие постоянного электрического поля обращается в нуль при -E m2c4 +p2 c z1,2 =.

Pages:     | 1 |   ...   | 5 | 6 || 8 | 9 |   ...   | 11 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.