WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 2 | 3 || 5 | 6 |   ...   | 11 |

^ Применяя n раз понижающий оператор l- к состоянию с наибольшим mmax = l, мы получим ^ l l-n. Увеличивая n, мы приl- n дем к наименьшему значению mmin = -l, в этом случае l - n = -l, то есть 2l -. 14.^ Найдем матричные элементы операторов l±. Будем обозначать состояние m с = l l +1 как |lm и усредним (14.6) по этому состоянию, тогда l l +1 = lm|^ l-|lm + m2 -m = lm|^ l-|lm l+^ l+|lm-1 lm-1|^ + m2 -m, то есть | lm|^ - 1 |2 = l2 + l - m2 + m.

l+|lm Отсюда следует, что ^ ^ lm| l+ |lm - 1 = lm - 1| l- |lm = l + m l - m +1.

Извлекая квадратный корень, мы выбрали определенный (положительный) знак, что соответствует фиксированию фазовых соотношений между различными состояниями |lm с данным l.

Полученные формулы определяют также и коэффициенты C в соотношении (14.7) ^ l+ |lm = l + m + 1 l - m |lm +1, ^ l- |lm = l + m l - m +1 |lm - 1. 14.В заключение этого раздела укажем, что нетрудно проверить следующие обобщение коммутационных соотношений (14.2):

^ ^ ^ ^ Ak = ijksAs, ^ A2 = 0, 14.lj, lj, ^ ^ где A = r, или p, или l или векторная функция вида ^ ^ A = r f1 +^ f2 + l f3, fj fj r2, p2, r^ pr.

p ^ p+ ^ Сферические функции Для получения конкретного вида собственных функций удобно использовать сферические координаты, в которых ^ ^ lz = -i, l± = e±i ± + i ctg, 1 1 ^l = - sin +.

sin sin^2 ^ Совместные собственные функции операторов l и lz удобно искать в виде Ylm, = lm m, где функция m определена в (14.1) с m = 0, ±1, ±2,..., ±l. Для нахождения функции lm мож^ но использовать такой прием. Условие l+ Yll = 0 приводит к уравнению d - l ctg ll = 0, d откуда получаем Yll = const eil sinl. Последовательно применяя понижающий оператор в соответствии с (14.9), получим сферические функции m+|m| 2l +1 l -|m| ! Ylm, = -1 Plm cos eim, 4 l + |m| ! где Plm x — присоединенные полиномы Лежандра. Сферические функции образуют ортонормированую систему Yl Ylm d = ll mm.

m Отражение системы координат r -r в сферических координатах выглядит так: r r, -, +. При этом Ylm -n = -1 l Ylm n.

Примеры 1 3 Y00 =, Y10 = cos = nz, 4 4 3 Y1±1 = ± sin e±i = ± nx ± iny.

8 ВОПРОСЫ 14.1. В состоянии частицы, заданном волновой функцией = A cos2, найти вероятности различных значений m проекции момента на ось z и lz. То же для = A ei cos2.

14.2. Обсудить вопрос о том, куда направлен вектор |^ | в l состояниях = Yll и = Y11 + Y1-1. Показать, что в состоянии m с определенной проекцией момента m на ось z средние значения lx = ly = 0.

14.3. Исследовать качественно угловое распределение плотности вероятности для состояний, описываемых сферическими функциями Yl,m=l и Yl,m=0, считая l 1.

14.4. Указать, при каких m и m могут быть отличны от нуля матричные элементы дипольного m | xi |m и квадрупольного m | xixj 1/3 ijr2 |m моментов.

14.5. Частица находится в состоянии с моментом l = 1 и его проекцией m m = 0, ±1 на ось z. Найти вероятности W m, m различных значений проекции момента m на ось z, составляющую угол с осьюz. Рассмотреть, в частности, случай, когда ось z перпендикулярна оси z (задача 3.24 ГКК).

§15. Центральное поле Для центрального поля удобны сферические координаты. УШ в них имеет вид h2 2 2 h2^ l - + + + U r r,, = E r,,.

2m r2 r r 2mrЕго можно легко получить, используя тождество h2^2 1 l = - p r r p = p2 - ^ · r r · p ^ ^ ^ p ^ r2 r2 rРазделяя переменные = R r Ylm,, получим для радиальной функции уравнение h2 2 2 h2l l + - + + U r Rl = El Rl, U = U r +.

2m r2 r r 2mrОт первой производной по r можно избавиться заменой Rl = l/r.

Для l r получаем обычное одномерное уравнение Шредингера h - l + U r l = El l, 2m но с эффективным потенциалом U r, зависящим от l. Из того, что Rl r конечно в нуле, следует l 0 = 0. Условие нормировки таково:

|l r |2 dr = 1.

Терминология. l = 0, 1, 2, 3,... s, p, d, f,... — азимутальное, m — магнитное квантовые числа. Радиальное квантовое число nr равняется числу узлов функции l r (кроме точек r = 0 и r = ).

Поведение при r 0. Пусть r2U r 0 при r 0, тогда решениями уравнения l l + l = l rслужат b b l = arl+1 Rl = arl и l = Rl =.

rl rl+Второе решение сингулярно и поэтому не годится. Отметим, что 0 = 0 лишь для l = 0.

Поведение при r. Считая, что поле убывает достаточно быстро, получим 2mE l = - l, h так что e±ikr sin kr + l E>0, l e-r E<0.

Свободное движение При l = 0 решением уравнения + k2 = 0 с граничным условием 0 = 0 служит k0 r = A sin kr.

Нормировка на -функцию “по шкале k”:

A k - k = k k dr = - ei k+k r +e-i k+k r - k -k dr = 0 A2 A= - ei k+k r dr + k -k = - 2 k+ k -2 k-k ;

4 отсюда следует A =.

Витоге k0 = sin kr.

Можно показать (см. КМ § 33), что при l >l rl+1 1 d k0 r kl r = - = krJl+1/2 kr ;

kl r dr r отсюда kr l+ при r 0, kl r · 2l + 1 !! l sin kr - при r.

Если поле убывает при r достаточно быстро, то при E>0 и больших r движение становится свободным, поэтому 2 l kl r sin kr - + l ;

здесь l — так называемая фаза рассеяния.

ВОПРОСЫ 15.1. Показать, что задача 1 из § 33 КМ сводится к вопросу 5.1.

15.2. Задача 3 из того же § 33.

15.3. Задача 4.20 ГКК. Как меняются значения En l энергетичеr ских уровней частицы в дискретном спектре:

а) при фиксированном значении l с увеличением nr;

б) при фиксированном значении nr с увеличением l 15.4. Задача 4.21 ГКК. Для частицы, находящейся в центральном поле, а) могут ли быть двукратно вырожденные уровни;

б) какую кратность вырождения может иметь первый возбужденный уровень 15.5. Задачи 4.23 ГКК и 4.24 ГКК. Найти уровни энергии и нормированные волновые функции стационарных состояний сферического осциллятора U r = kr2/2, используя декартовы координаты.

Определить кратность вырождения уровней.

Произвести классификацию четырех нижних уровней осциллятора по nr, l и четности, исходя только из известного значения кратности вырождения уровней.

Какая комбинация волновых функций n n2n3 отвечает состоянию осциллятора с моментом l = 0 (при N = n1 + n2 + n3 = 2) §16. Атом водорода Задача сводится к движению частицы приведенной массы m = memp/ me+ mp в поле U = -e2/r, ниже рассматривается только случай E < 0 (связанные состояния). Естественная система единиц включает h, e, m. Из них строятся единицы длины (боровской радиус) h aB = = 0, 53 · 10-8, meэнергии (удвоенный Ридберг) meE = = 27, 2 = 2 Ry, h времени h t = = 2, 4 · 10-17, meскорости ev = = c, h где e2 = hc — так называемая постоянная тонкой структуры. (Найдите единицы импульса, силы, напряженности электрического и магнитного полей.) Переходя к безразмерным величинам r = r/a, E = E/E, получим УШ в виде d2l 2 l l + + 2E + - l = 0.

dr 2 r r В дальнейшем штрихи опускаем.

Мы знаем, что l rl+1 при r 0 и l e-r при r (здесь = -2E). Поэтому ищем решение в виде l = rl+1 e-r w r.

Для w r получаем уравнение rw +2 l +1 - r w + 2 1 - - l w = 0.

Его решение ищем в виде ряда w = asrs. Рекуррентное соотноs=шение для коэффициентов таково:

s + l +1 - as+1 = 2 as.

s + 1 s +2l +Из него получаем as+1 as s.

s +Таким образом, as 2 2/s! и, если ряд не оборвать, он сходится к w e2r при r. Чтобы l r 0 при r, необходимо оборвать ряд на некотором s = nr. При этом nr + l +1 - 1 = 0 и w r = Ln r — полином степени nr, имеющийnr узлов (он сводится r к полиному Лагерра). В итоге, En = -, nlm = Rlm r Ylm,, Rnl = rl e-r/n Ln r, r 2nn = nr + l +1 = 1, 2, 3,..., nr = 0, 1, 2,..., l = 0, 1,..., n-1.

Кулоновское вырождение. Уровню En с данным главным квантовым числом n соответствует n- 2l +1 = nl=различных состояний (различных волновых функций).

Состояния с l = n - 1. Для них nr = 0 и Ln r — просто конr станта, которую легко определить из условия нормировки, используя известный интеграл n! xne-x dx =.

n+Таким образом, получим 2n+1 Rn,n-1 = rn-1e-r/n. 16. 2n ! n Отсюда найдем, что в данном состоянии 1 r r = n n + ; =.

2 r 2n +У основного 1s состояния 3 r r =, = 60.

2 r Таким образом, здесь нет сходства с моделью Бора, для которой r = 1, r = 0 (не говоря уже о том, что в 1s состояние момент M = 0, а в модели Бора в основном состоянии M = h).

При l = m = n - 1 1, напротив, квантовая механика дает ответ, близкий к боровской модели. А именно, средний радиус велик:

r n2, относительная дисперсия мала: r/ r 1/ 2n, в угловом распределении |Yn-1,n-1|2 sin2n-2 вероятность найти электрон сконцентрирована в узком интервале углов вблизи = /2, что очень похоже на классическую траекторию в форме окружности радиуса n2 в плоскости xy.

Первый возбужденный уровень n = 2. Волновая функция состояния 2p с l = 1 (см. (16.1)) r R21 = e-r/не имеет узлов. Для 2s состояния рекуррентное соотношение дает a1 = -1 a0, а условие нормировки a0 =, итого 1 - r e-r/2, R20 = имеется один узел при r = 2.

Спектральные серии 1 h = - Ry, ni >nf.

n2 nf i При nf = 1 возникает серия Лаймана в ультрафиолетовой области спектра; при nf = 2 – серия Бальмера, причем четыре линии H, H, H, H, соответствующие ni = 3, 4, 5, 6, лежат в видимой области спектра; при nf 3 возникают серии в инфракрасной области спектра.

Водородоподобные атомы.

Возможные поправки к формуле Бора для En.

ВОПРОСЫ 16.1. Для состояния 1s атома водорода дать графики dW/d3r и dW/dr в зависимости от r. Найти 100 p и дать графики dW/d3p и dW/dp в зависимости от p. Оценить p, p и p.

16.2. Найти R20 из условия ее ортогональности к R10. Ортогональны ли R20 и R21 16.3. Задача 2 из § 36 КМ. Оценить напряженность электрического поля атома водорода на расстоянии r = aB.

16.4. Для 2s и 2p состояний атома водорода дать графики dW/d3r в зависимости от r и. Определить среднее магнитное поле, создаваемое электроном в центре атома водорода в состоянии 2p.

16.5. Для того, чтобы учесть отсутствие случайного кулоновского выражения по l в спектрах водородоподобных атомов, можно попытаться использовать потенциал вида Zae2 Zae2 h U r = - - r0, r0 =, r r2 mZaeгде второй член моделирует поляризуемость атомного остатка под действием валентного электрона. Найти уровни энергии в этом потенциале.

16.6. Найти вероятность того, что при -распаде трития электрон останется в основном состоянии.

16.7. У волновой функции = A200 + B210 определить коэффициенты A и B, дающие наибольшее среднее значение дипольного момента |er| = d, и найти величину d.

16.8. Оценить размеры и уровни энергии водородоподобных атомов He+, Li++, e+e-, µ-p, µ-+, µ- в поле ядра свинца Pb+82.

§17. Стационарная теория возмущений ^ Пусть некий гамильтониан H можно представить в виде ^ ^ ^ H = H0 + V, ^ где для гамильтониана H0 известны его собственные функции и соб0 ственные значения, n x и En, 0 0 ^ H0n = Enn, ^ а V — малое возмущение. Рассмотрим, как под действием этого возмущения сдвигается n-й невырожденный уровень En и как изменя0 ется волновая функция n x. Подставим = cmm в уравнение m ^ ^ H0 + V = E, домножим уравнение слева на k и проинтегрируем по x. Получим E- Ek ck = Vkm cm. 17.m Пусть 0 1 E = En + En + En +..., cm = c0 + c1 +....

m m ^ Так как 0 при V 0, то c0 = 1 при m = n и c0 = 0 при m = n, m m то есть c0 = mn. Более того, из условия нормировки ||2dx = m имеем c0 + c1 +... = 1 + 2Re c1 +... = 1, m m n m так что c1 = 0.

n Таким образом, из (17.1) получаем 0 0 1 En - Ek + En + En +... kn + c1 +... = Vkm mn + c1 +....

k m m В первом порядке при k = n отсюда следует En = Vnn. При k = n 0 получаем En - Ek c1 = Vkn, откуда k Vkn c1 = при k = n.

k En - Ek Итак, Vmn 1 0 0 0 ^ En = Vnn = n|V |n, = n + m 0 0.

En - Em m=n Критерий применимости: должна мало отличаться от n, то есть 0 |Vmn| |Em -En|.

Во втором порядке при k = n получаем |Vmn|En = Vnm c1 =.

m 0 En - Em m m =n Отметим, что если поправка второго порядка к основному уровню отлична от нуля, то она отрицательна, E0 0.

Примеры Производная от энергии по параметру ^ ^ ^ ^ Пусть H0 = H, а H = H + = H0 + V, где ^ H ^ V =.

^ В первом порядке поправка к энергии равна En = n H/ n.

С другой стороны, En = En/, поэтому ^ En H = n n.

В частности, для центрального поля при l h2 2 2 h2l l + ^ H l = - + + + U r, 2m r2 r r 2mrи En l H h2 2l + r = nrl nrl = nrl nrl.

l l 2mrТак как En l/l > 0, то в центральномполе с ростом l (при фикr сированном nr) энергии уровней растут, что вполне согласуется с классическими представлениями.

Для атома водорода meEn l = r 2 + l +1 h2 nr и поэтому 1 1 nl nl =. 17.r2 a2 n3 l + B Если к кулоновскому полю U = -e2/r есть малая поправка вида /r2, то энергия начинает зависеть не только от n, но и от l:

me4 m2eEnl = - +.

h2n2 h4 n3 l + Обратим внимание на то, что в пределе больших квантовых чисел их полная степень в найденной поправке совпадает со степенью h:

Enl h4n3l -1. Так и должно быть для любого матричного элемента, имеющего классический предел.

Поляризуемость Для атома в слабом однородном электрическом поле E возмуще^ ние V = -dE, где d = -e ara — дипольный момент атома (здесь сумма идет по координатам ra всех электронов). В невырожденном 0 состоянии n среднее значение d = 0, так что En = 0 и | m| dE |n |2 En = En = - ijEiEj.

0 En - Em m=n Отсюда тензор поляризуемости равен n|di|m m|dj|n ij = 2.

0 Em - En m =n Пусть состояние атома сферически симметрично, тогда ij = ij и n|dz|m m|dz|n = 2.

0 Em - En m =n Очевидно, в основном состоянии >0.

Оценим величину для основного состояния атома водорода. Для оценки снизу оставим в сумме по m лишь одно слагаемое |m |nlm = |210. Отсюда (в атомной системе единиц) | 100|z|210 |2 > 2 = 2, 96.

-1 + 8 0 0 0 0 Для оценки сверху заменим всюду Em - E1 E2 - E1 =. Тогда 16 16 < 100|z|m m|z|100 = 100|z2|100 = 5, 33.

3 m 3 Точное значение = 4, 5 aB (см. КМ задача 4 к § 76).

Силы Ван-дер-Ваальса На больших расстояниях R aB два атома в S-состояниях имеют диполь-дипольное взаимодействие -3 d1n d2n +d1d2 -2d1zd2z + d1xd2x + d1yd2y V = =.

R3 RПоправка первого порядка по этому взаимодействию равна нулю для невырожденных состояний атомов. Поправка второго порядка имеет вид U R = E00 = -, Rгде 0|V |n1n2 n1n2|V |0 | 0|d1zd2z|n1n2 | = = 6.

En + En n1n2 1 2 - 2E0 En + En n1n2 1 2 - 2EОценки для атома водорода 2, 46 < < 8.

320 e2aB Расчет дает = 6, 5 e2a5.

B §18. Стационарная теория возмущений при наличии вырождения Пусть уровню En соответствуют s различных функций 0, 0,..., 0.

1 2 s s Ищем решение в виде = cm 0, что приводит к уравнению m=1 m s E - En ck = Vkm cm, m=^ где Vkm = 0|V |0 и все cm, вообще говоря, не малы. Подставляя k m 0 E = En + En +..., получим в первом порядке систему линейных однородных уравнений для определения cm:

Pages:     | 1 |   ...   | 2 | 3 || 5 | 6 |   ...   | 11 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.