WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 8 | 9 || 11 |

|e| h ^ µ = 2, 79 · p, 2mpc где 1/2 p — спин протона. Поправка к энергии s-состояния равна |e|h 8 1 |e| h E = 2, 79 p.

2mc 3 a3 n3 2mpc B Здесь p = 2F F + I - 3, ^ где F = + p — полный момент атома. Сверхтонкое расщепление основного состояния атома водорода, то есть разность энергий состояний с F = 1 и F = 0, составляет, таким образом, 16 m E E F = 1 - E F = 0 = 2, 79 · 2 Ry, 3 mp что соответствует радиодиапазону E/ 2 = 1420 МГц или длине h волны 21 см.

Оценим зависимость СТС от Z в сложных атомах, сравнив ее с тонкой структурой. Как было показано раньше, тонкая структура растет Z22. Но спин-орбитальное взаимодействие обусловлено электрическим полем ядра, которое пропорционально Z, а стс — магнитным полем ядра, которое от Z не зависит. Таким образом, оценка для СТС в атомных единицах составляет m Z2.

mp ВОПРОСЫ 39.1. Найти СТС для основного состояния атома водорода, вычисляя непосредственно B 0 — магнитное поле, создаваемое электроном в области ядра.

39.2. Сравнить СТС водорода и дейтерия.

39.3. Найти расщепление уровней с n = 1 для атома водорода в магнитном поле, если энергия взаимодействия с полем сравнима с интервалами сверхтонкой структуры. Оценить необходимую для этого напряженность магнитного поля.

39.4. Терм D5/2 в оптическом спектре K имеет сверхтонкую структуру, состоящую из четырех компонент. Каково значение спина ядра Какое следует ожидать соотношение интервалов в сверхтонком квадруплете §40. Изотопический сдвиг Эффект массы обусловлен изменением массы ядра M от изотопа к изотопу.

В водороде приведенная масса равна mM m µ = m 1 -.

m + M M Относительная разность уровней водорода и дейтерия составляет E m m m = - = 2 · 10-4.

E mp 2mp 2mp В многоэлектронных атомах удобно начать с кинетической энергии ядра P2/ 2M. Импульс ядра P равен с обратным знаком сумме импульсов электронов: P = - pn. Сдвиг составляет n M A EM = - pn = - p2 + pnpm.

n 2M2 n A2 2mp n n =m Оценка величины эффекта здесь такова:

A m EM Ry, A2 mp где A — атомный номер ядра.

Эффект объема обусловлен изменением радиуса ядра от изотопа к изотопу и соответствующим изменением электростатического потенциала ядра. Расчет (см.: КМ §120) дает следующую зависимость соответствующей поправки к энергии от радиуса ядра R:

Ze2R2| 0 |2.

УядерRA1/3r0, где r0 = 1, 2·10-13 см. Разность уровней составляет r0 EV A · A-1/3Z2 Ry, aB eще один множитель Z возник здесь от | 0 |2 (см.: КМ §71).

Отношение эффекта объема к эффекту массы таково:

EV mp r0 Z2A5/3 10-6Z11/3, EM m aB напомним, что A 2Z. Начиная с Z 40, эффект объема обычно доминирует.

Исследование изотопического смещения в тяжелых атомах и сверхтонкой структуры — источник ценной информации о свойствах атомных ядер.

§41. Нестационарная теория возмущений (См.: КМ §§40-42).

Пример. Возбуждение атома водорода пролетающим ионом Ион считается настолько тяжелым, что траектория его R t прямолинейна, заряд иона Ze. Возмущение V t складывается из взаимодействия с электроном и с ядром:

Ze2 ZeV t = - +, R t = +vt.

|R t - re| |R t - rp| Относительно прицельного параметра предполагаем, что aB.

Тогда Ze2Rr xvt + y V t = - = -Ze2, R3 2 + v2t2 3/где r = re - rp — обычная атомная координата. По правилам отбора, это возмущение вызывает переходы из основного s-состояния в p-состояния с lz = ±1. Ограничимся состоянием 2p и рассмотрим сначала lz = +1. Тогда 1 27 Ze2 aB -i + dt eit V21 t = d ei.

0 h 35 hv 1 + 2 3/ Здесь = /v – характерное время пролета, = E2 - E1 / —чаh стота перехода.

1. Быстрый ион, 1, ei 1. В результате интегрирования получаем 28 Ze2 aB -i.

35 hv Если достаточно велико, то эта величина мала при любом Ze2/ hv и теория возмущения применима. Вероятность перехода (с учетом удвоения от вклада lz = -1 ) 217 Ze2 aB W =.

310 hv 2. Медленный ион, 1. Интеграл по вычисляется с помощью перехода в комплексную плоскость и оказывается, как и следовало ожидать, экспоненциально малым:

217 Ze2 a8 e2 -B W = e-2.

39 hv 8 hv Полное сечение возбуждения равно max = 2 d W.

min Из-за экспоненциального падения на больших можно принять max v/.

По пределу применимости, во всяком случае min aB. Если v v, то есть e2/ 1 (при этом Ze2/ может быть немаhv hv лым), то сечение с логарифмической точностью по параметру hv/e вычисляется:

v/ 218 Ze2 hv 2 d W = a2 ln.

B aB 310 hv e §42. Фотоэффект Пусть атом водорода, находящийся в основном состоянии i r = на e-r/a / a3, a = h2/ me2 с энергией Ei = -Ry, падает плоская моно хроматическая волна, описываемая 4-потенциалом = 0, A r, t = A0 ei kr-t +A e-i kr-t, = c |k|, kA0 = 0.

Найдем сечение фотоэффекта, предполагая, что скорость выбитого электрона v = p/m велика по сравнению с атомной, но мала по сравнению со скоростью света: e2/ v c. Такой электрон можh Рис. 14: Схема фотоэффекта h но считать свободным, так что его волновая функция f r = eip r/, а его энергия pEf = = h + Ei h.

2m При этом переданный импульс hq = p - hk p, так как hk p2 v = 1.

p 2mcp 2c Оператор возмущения атома полем фотона e ^ V r, t = - A r, t ^ p mc представим в виде e + ^ ^ ^ ^ V r, t = F e-it + F eit, F = - A0eikr p, ^ mc ^ где оператор F определяет вероятность выбивания электрона в единицу времени 2 d3p dwfi = | Ffi |2 Ef - Ei - h.

h h Матричный элемент равен ieh e-r/a 8eh a3 pA Ffi = A0 e-iqr d3r -.

mc mc pa/ h h aПреобразуем фазовый объем конечного состояния d3p = p2dpd = mpdEfd, тогда Ef - Ei - h d3p mpd.

Электрическое поле волны 1 A E = - = E0 ei kr-t + E e-i kr-t c t имеет амплитуду E0 = i /c A0, так что |pA0|2 = c/ 2 |pE0|2. В итоге вероятность выбивания электрона в элемент телесного угла d составляет в единицу времени 64 | nE0 |2 a3 0 7/2 p Ry dwfi = 0 d, n =, 0 =.

h p h Чтобы получить дифференциальное сечение фотоэффекта d, остается разделить dwfi на плотность потока фотонов j, связанную с величиной усредненного вектора Пойнтинга S соотношением S = hj. В свою очередь, c c S = |E t |2 = |E0|4 (черта сверху означает усреднение по времени). Таким образом, дифференциальное сечение фотоэффекта равно d 0 7/= 64a2 cos2, d где — угол между направлением вылета электрона p и вектором электрического поля волны E0. Обращение d в нуль при = /2 соответствует классической картине электрона, раскачиваемого вдоль направления электрического поля. Полное сечение фотоэффекта быстро падает с ростом частоты:

256 0 7/ = a2.

В водородоподобном ионе с зарядом ядра Ze сечение растет как Z5. При этом Z2 возникает от квадрата матричного элемента, который пропорционален скорости атомного электрона вблизи ядра, еще Z3 — от вероятности нахождения этого электрона вблизи ядра (ясно, что свободный электрон не может поглотить фотон). Сечение фотоэффекта на нейтральных атомах также растет как Z5 за счет вклада K-оболочки.

< При прохождении фотонов не слишком больших энергий h МэВ) через вещество, полное сечение их поглощения определяется в основном фотоэффектом.

ВОПРОСЫ 42.1. Найти вероятность ионизации атома водорода под действием электрического поля E t = E0 e-|t|/ (рассмотреть случай, когда конечный электрон можно считать свободным). Указание: для вероятности перехода удобно использовать формулу 1 Vfi d3p dWfi = eit dt, h22 - t h в которой Vfi e = E t pfi.

t m 42.2. Встряхивание атома водорода (задача 11.78 ГКК).

42.4. Если при расчете фотоэффекта, вместо - e/mc A^ испольp, зовать в качестве возмущения -erE, то в том же приближении ответ для матричного элемента оказывается вдвое больше приведенного выше. Который из ответов правильный В чем причина расхождения §43. Квантование электромагнитного поля Используем кулонову калибровку div A r, t = 0, в которой в отсутствие источников скалярный потенциал = 0, а трехмерно-поперечный векторный потенциал A r, t удовлетворяет волновому уравнению 1 2A - A = 0.

c2 tВ импульсном представлении, учитывающем в явном виде вещественность векторного потенциала, d3k A r, t = Ak t eikr +A t e-ikr 43.k 2 амплитуды Ak t удовлетворяют осцилляторному уравнению Ak + k Ak = 0, k = c| k|,. 43.Итак, в каждой моде, то есть для каждого k, имеем гармонический осциллятор, так что Ak t e-ikt, A t eikt. 43.k Разложение по плоским волнам (43.1) позволяет говорить об электромагнитном поле как о бесконечном наборе осцилляторов, частоты которых k пробегают непрерывный ряд значений. При квантовании этих осцилляторов возникает квантованное электромагнитное поле. Для придания большей наглядности процедуре квантования, удобно перейти к дискретному набору осцилляторов. Для этого рассмотрим поле в конечном объеме V = L1L2L3 и используем условие периодичности поля на границах объема. При этом компоненты волнового вектора (и частоты) становятся дискретными ki = 2ni/Li, где ni — целые (положительные и отрицательные) числа. В итоге вместо разложения в интеграл Фурье (43.1) возникает разложение в ряд Фурье A r, t = Ak t eikr +A t e-ikr, 43.k k где новые амплитуды Ak t удовлетворяют тем же соотношениям 43.2 - 43.3, что и раньше. Разложение, подобное (43.4), можно написать и для полей E r, t и B r, t, причем амплитуды этих полей в силу уравнений 1 A E = -, B = A c t связаны с амплитудами векторного потенциала ik Ek = Ak, Bk = ik Ak. 43.c Из-за условия div A r, t = 0 или k·Ak = 0, вектор Ak лежит в плоскости, ортогональной волновому вектору k, то есть имеет лишь две независимые компоненты. Две степени свободы осциллятора соответствуют поперечности свободных электромагнитных волн в вакууме. Введем два вектора поляризации k, = 1, 2 (комплексные в базисе циркулярных поляризаций), они удовлетворяют условиям поперечности: k · k, ортогональности: · k = и полноты:

k kikj k i j = ij - 43.k k (здесь i, j означает компоненты вектора поляризации; справа стоит единичный тензор в плоскости, ортогональной вектору k). Разложим вектор Ak t по векторам поляризации Ak t = Ck ak t k и выберем нормировочный множитель Ck в виде hcCk =.

k V Тогда легко показать, что энергия каждой моды колебаний с заданной поляризацией равна Ek = hk a ak, k а импульс моды равен k/k Ek/c.

Действительно, при использовании разложения 2hc A r, t = ak t k eikr + a t e-ikr 43.k k k V k выражение для энергии электромагнитного поля E2 +BE = d3r 43.сводится к сумме осцилляторных энергий E = Ek, k а выражение для полного импульса поля E B P = d3r 4c сводится к сумме соответствующих импульсов для каждой моды колебаний k Ek P =.

k c k Напомним, что для обычного линейного осциллятора гамильтониан p2 m2xH = + 2m в переменных mx +ip mx - ip a =, a = 2mh 2m h имеет вид H = haa. При квантовании осциллятора (см. §7) за висящие от времени классические величины a t и a t становятся операторами уничтожения a и рождения a+ кванта с энергией h ^ ^ (при этом сами операторы в обычном шредингеровском представлении не зависят от времени, а временная зависимость определяется волновыми функциями). Классичесий гамильтониан H становтся оператором Шредингера ^ H = h ^ ^ +^ ^.

a+a aa+ При использовании перестановочных соотношений a, a+ = 1 опе^ ^ ^ ратор H приводится к виду ^ H = h n +1/2, n = a+a, ^ ^ ^ ^ ^ где n — оператор числа квантов, собственные значения которого суть целые числа n = 0, 1, 2,...

Аналогично, при квантовании электромагнитного поля величины a t и ak t становятся операторами рождения a+ и уничтожения ^ k k ak кванта, соответствующего фотону с энергией hk, импульсом ^ hk и поляризацией, а векторный потенциал (43.7) становится не зависящим от времени оператором hc^ A r = akk eikr +^ e-ikr. 43.^ a+ k k k V k Поля E r, t и B r, t также становятся операторами ik hc^ E r = akk eikr - a+ e-ikr, 43.^ ^ k k c k V k hc^ B r = ik akk eikr - a+ e-ikr, ^ ^ k k k V k а выражения для энергии (43.8) и импульса электромагнитного поля становятся суммами операторов Шредингера и операторов импульса для отдельных фотонов:

^ ^ ^ H = Hk, Hk = hk a+ ak +^ ^, ^ ^ aka+ k k k ^ k Hk ^ P=.

k c k При использовании перестановочных соотношений ak, a+ = kk ^ ^ k ^ оператор Hk приводится к виду ^ Hk = hk nk +1/2, nk = a+ ak, ^ ^ ^ ^ k где nk — оператор числа квантов, собственные значения которого ^ суть целые числа nk = 0, 1, 2,...

Пусть | nk, t — состояние поля, содержащее nk фотонов с энергией hk, импульсом и поляризацией каждый. Так как hk a+ | nk, t = nk +1 | nk +1, t eikt, ^ k ak | nk, t = nk | nk -1, t e-ikt, ^ ^ то из (43.9) или (43.10) видно, что при действии оператора A r или ^ оператора E r на начальное состояние поля может происходить излучение или поглощение одного фотона. Таким образом, матрич^ ные элементы опратора A r равны:

при излучении фотона ^ nk +1, t| A r | nk, t = Afi r eikt, 2hc Afi r = nk +1 e-ikr, 43.k k V при поглощении фотона ^ nk - 1, t| A r | nk, t = Afi r e-ikt, hcAfi r = nk k eikr. 43.k V Обратим внимание на то, что излучение может происходить и тогда, когда начальное состояние поля не содержит фотонов, то есть при nk = 0. Это так называемое спонтанное излучение.

Вторичное квантование применимо и к нерелятивистскому уравнению Шредингера. Но там это лишь удобный технический прием, позволяющий автоматически учесть тождественность частиц. Фермионы квантуются с помощью антикоммутаторов. Но вторичное квантование принципиально важно в релятивистских задачах, где частицы реально рождаются и аннигилируют.

Пример Линейно поляризованный свет проходит через оптически активную среду, вращающую его плоскость поляризации. Оценим минимальное число квантов, необходимое для регистрации малого угла поворота плоскости поляризации.

Угол совпадает (с точностью до множителя 1/2) с разностью фаз циркулярных составляющих линейно поляризованной волны, которая возникает при прохождении волны через среду. Эта разность должна быть не меньше неопределенности. Величиной, канонически сопряженной углу, является действие, равное hN, где N— число квантов. Поэтому неопределенность связана с неопреде> ленностью числа квантов N соотношением · N 1. Учиты вая, что N N, получаем > N.

Полученному результату можно придать такую интерпретацию.

Пусть волна распространяется вдоль оси z, а начальная поляризация направлена вдоль оси x. В этом случае амплитуда электриче ского поля Ex0 hN. При повороте плоскости поляризации на малый угол появляется y составляющая электрического поля. Минимальное значение ее амплитуды, соответствующее регистрации одного фотона, равно Ey0 h. Поэтому оценка для угла поворота такова: Ey0/Ex0 1/ N. Отсюда следует та же оценка для N.

Pages:     | 1 |   ...   | 8 | 9 || 11 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.