WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     || 2 | 3 | 4 | 5 |   ...   | 11 |
МИНИСТЕРСТВО ОБЩЕГО И ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ В.Г Сербо и И.Б. Хриплович КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ ПО КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ Учебное пособие Новосибирск 1999.

Пособие предназначено для студентов 3-го курса физического факультета. Содержание соответствует курсу “Квантовая механика”.

Печатается по решению методической комиссии физического факультета.

Пособие подготовлено при содействии Федеральной целевой программы “Государственная поддержка интеграции высшего образования и фундаментальной науки на 1997–2000 годы”, проект No 274.

Рецензент — профессор Мильштейн Александр Ильич.

© Новосибирский государственный университет. 1999 Предисловие к серии 3 Оглавление §1. Предисловие................................................. 7 §2. Первые квантовомеханические понятия..................... 7 §3. Соотношение неопределенностей. Оценки.................. 9 §4. Координатное и импульсное представления. Операторы физических величин....................................... 11 §5. Оператор Гамильтона. Уравнение Шредингера............ 14 §6. Эрмитовы операторы....................................... 17 1 §7. Линейный осциллятор U x = m2x2...................... 18 2 Уровни энергии и волновые функции Операторы рождения и уничтожения §8. Временное уравнение Шредингера......................... 22 §9. Одномерное рассеяние..................................... 24 §10. Коммутаторы. Снова соотношение неопределенностей.

Уравнение Эренфеста. Теорема о вириале................ 26 §11. Оператор сдвига. Теорема Блоха.......................... 30 §12. Квазиклассическое приближение......................... §13. Квазистационарные состояния. -распад................. §14. Момент импульса.......................................... §15. Центральное поле......................................... §16. Атом водорода............................................. §17. Стационарная теория возмущений........................ Поляризуемость Силы Ван-дер-Ваальса §18. Стационарная теория возмущений при наличии вырождения................................................ Двухуровневая система Эффект Штарка для атома водорода при n = §19. Уравнение Шредингера для частицы в электромагнитном поле........................................................ §20. Постановка задачи рассеяния. Амплитуда рассеяния..... §21. Борновское приближение. Формула Резерфорда. Атомный формфактор................................................ §22. Фазовая теория рассеяния................................. Понятие о неупругом сечении Оптическая теорема Упругое рассеяние медленных частиц Дифракционное рассеяние быстрых частиц на черном шаре Упругое рассеяние быстрых частиц на идеально отражающем шаре Резонансное рассеяние §23. Гайзенберговское представление......................... §24. Опыт Штерна-Герлаха. Спин.............................. §25. Матрицы Паули. Уравнение Паули........................ §26. Сложение моментов....................................... §27. Правила отбора для матричных элементов скалярных и векторных операторов..................................... §28. Усреднение векторного оператора........................ §29. Тождественность частиц.................................. §30. Уравнение Клейна–Фока–Гордона........................ §31. Уравнение Дирака......................................... Свободное движение дираковской частицы Рождение электрон-позитронных пар постоянным внешним электрическим полем Гамильтонова форма уравнения Дирака Сходство и различие уравнений Дирака и Клейна–Фока–Гордона Ультрарелятивистский предел уравнения Дирака §32. Релятивистский электрон в кулоновом поле. Тонкая структура.................................................. §33. Атом в магнитном поле.................................... §34. Атом гелия............................................... §35. Вариационный принцип.................................. §36. Метод Томаса–Ферми.................................... §37. Таблица Менделеева..................................... §38. Разные типы связи в атомах.............................. Случай LS связи Случай jj связи Пример: конфигурация p§39. Сверхтонкая структура (СТС)............................ §40. Изотопический сдвиг..................................... §41. Нестационарная теория возмущений..................... §42. Фотоэффект.............................................. §43. Квантование электромагнитного поля................... §44. Испускание и поглощение света......................... Спонтанное и вынужденное излучение Угловое распределение и интенсивность спонтанного дипольного излучении Правила отбора Поглощение света §45. Лэмбовский сдвиг........................................ §46. Рассеяние света.......................................... §47. Молекулы................................................ §48. ПРИЛОЖЕНИЕ: о формализме квантовой механики.... Основные положения Вектора состояний и волновые функции Операторы. Связь представлений §1. Предисловие Пособие содержит краткий конспект лекций по квантовой механике для студентов 3-го курса физического факультета НГУ и набор задач, которые обычно решаются на семинарах. В нем приведены основные законы квантовой механики и необходимые формулы.

Данное пособие не заменяет собой лекции и семинары, оно лишь поможет в усвоении предмета.

Принятые сокращения:

КМ — Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Квантовая механика, М.: Наука, 1989.

ГКК — Галицкий В.М., Карнаков Б.М., Коган В.И. Задачи по квантовой механике, М.: Наука, 1981.

§2. Первые квантовомеханические понятия Квантовая природа света Излучение абсолютно черного тела. Рассматривается спектральный состав электромагнитного излучения, находящегося в равновесии со стенками полости, поддерживаемыми при постоянной температуре. Моделируя стенки полости набором осцилляторов (заряженных частиц, удерживаемых линейными силами вблизи положения равновесия), Планк (1900 г.) сумел объяснить экспериментально наблюдаемый спектр излучения, предположив, что осцилляторы поглощают и испускают энергию порциями:

En = h n, где h = 1, 05 · 10-27 эрг·с.

Фотоэффект +A e+ A, его основные законы, наличие “красной границы”. Уравнение Эйнштейна (1905 г.) h = mevmax + I, где I — работа выхода, фотоны.

Эффект Комптона + e + e (рис.1). Покажите, что из предположения E = h, p = hk Рис. 1: Кинематика эффекта Комптона и из законов сохранения h + E = h + E, hk+ p = hk +p следует, что наблюдавшееся Комптоном (1924 г.) изменение длины волны рентгеновского излучения при рассеянии на первоначально неподвижном электроне равно 2 - = 4e sin2, =, =.

2 k k Здесь h e = = 3, 86 · 10-11 mec — комптоновская длина волны электрона.

Понятие о нелинейном фотоэффекте и нелинейном эффекте Комптона.

Волновые свойства частиц Опыты Резерфорда по рассеянию -частиц (1911 г.), планетарная модель атома: R 10-13 10-12 см, a 10-8 см. Стабильность и стандартность атомов, противоречия с классической физикой.

Гипотеза де Бройля о волновых свойствах частиц (1923 г.) E p =, k =, h h ее экспериментальное подтверждение.

Дифракция электронов, нейтронов, атомов и т.д. Вероятностная интерпретация квадрата модуля волновой функции | r, t |2.

Плоская волна x, t = Aei kx-t, фазовая скорость E u = =.

k p Волновой пакет, близкий к монохроматической волне:

k0+ k x, t = dk A k0 ei kx-t = A k0 ei k0x-0t f x, t, 2.k0x- k k sin x - vt k f x, t = dq ei qx-qvt = 2 k, - k x - vt k где E v = |k = |p 0 k p — групповая скорость. Расплывание пакета.

§3. Соотношение неопределенностей. Оценки В монохроматической плоской волне p = 0, x = и E = 0, t =. Из формулы (2.1) видно, что в пакете при фиксированном t > амплитуда f x, t заметно отлична от нуля в области размером x 1/ k, то есть > p · x h.

Разброс частот /k k и при фиксированном x из (2.1) > видно, что f x, t заметно отлична от нуля в интервале времен t 1/, то есть > E· t h.

> Оценим, используя x · p h, энергию основного состояния гармонического осциллятора:

p2 m2xE = +.

2m Из x2 x2 и p2 p2 получаем p 2 m2 x 2 h2 > E + + m2 x 2.

2m 2 2m x 2 Минимум функции E x соответствует h x, m что дает Emin h (точное значение Emin = h).

Покажите, что энергия основного состояния атома водорода meEmin - = -13, 6.

hВОПРОСЫ 3.1. Покажите, что при лобовом соударении лазерного фотона (энергия h) с ультрарелятивистским электроном (энергия E mec2), энергия рассеянного назад фотона равна x hE h = E, x=.

x +1 m2ce Найдите h для h = 1, 2 эВ (инфракрасный лазер на неодимовом стекле), E = 46 ГэВ (ускоритель SLAC, опыты по нелинейному эффекту Комптона, 1996 г.) и h = 1, 2 эВ, E = 5 ГэВ (ускоритель ВЭПП-4М, опыты по расщеплению фотона в поле ядра, 1997 г.).

3.2. Полагая, что для дифракции на кристаллической решетке полезно иметь частицы с 10-8 см, найти энергию фотона, электрона и нейтрона с данной длиной волны.

3.3. Оценить энергию электрона, необходимую для изучения строения атома, атомного ядра, протона.

3.4. Ультрахолодными называются нейтроны, скорость которых < v 1 м/с. Найти их длину волны и температуру.

3.5. Найти | x, t |2, если 2 A k = A0 e- k-k0 / 2 k, для частиц с законом дисперсии = ck (электромагнитные волны в пустоте) и hk = 2m (нерелятивистская свободная частица массы m).

3.6. Используя соотношение неопределенностей, оценить энергию основного состояния частицы в поле U x = |x|.

3.7. Используя соотношение неопределенностей, оценить глубину уровня в одномерной мелкой яме.

§4. Координатное и импульсное представления.

Операторы физических величин Плотность вероятности найти частицу в точке x — величина dW/dx — пропорциональна | x, t |2. Если x, t нормирована условием dx| x, t |2 = 1, то dW x, t = | x, t |2.

dx Тогда среднее значение x равно x = xdW = x| x |2 dx = dx x x x.

Аналогично, среднее значение любой функции F x равняется F x = dx x F x x.

Если x = dk A k eikx, то вероятность найти частицу с импульсом p = hk пропорциональна |A k |2, или dW k |A k |2.

dk Если dx | x |2 = 1, то и dk | k |2 = 1.

Здесь A k k = — нормированный Фурье-образ функции x, то есть eikx e-ikx x = dk k ; k = dx x. 4.2 Поэтому dW = | k |dk и F k = dk k F k k.

Выразим p через x. Подставляя в соотношение p = dk k hk k выражение k через x из (4.1), получим eikx e-ikx p = dk dx x hk dx x.

2 Используя тождество d ke-ikx = i e-ikx dx и интегрируя по x по частям, получим окончательно d p = dx x -i x.

h dx Здесь при интегрировании по k использована известная формула dk eik x -x = 2 x - x.

Таким образом, при нахождении p можно пользоваться формулой p = dx x p x, ^ где оператор d p = -i. 4.^ h dx В квантовой механике постулируется, что динамические переменные описываются операторами, так что среднее значение некоторой переменной A в состоянии с заданной волновой функцией x (или p ) равно ^ ^ A = dx x A x = dp p A p.

В частности, оператор импульса в x-пространстве определяется формулой (4.2), а в p-пространстве — это просто оператор умножения p = p. Аналогично, оператор x = x в x-пространстве и ^ ^ d x = +i ^ h dp в p-пространстве.

Из операторов ^ и p строятся все динамические переменные. Наr ^ пример, оператор момента импульса ^ M =^ p = -i.

r ^ hr ВОПРОСЫ 4.1. Для потенциального ящика вида x< U x = 0 0

б) молекулы H2 в ящике с a 1 см; найти n, соответствующий энергии En kT, где T 300 К; оценить En - En-1 /En для данной энергии;

в) электрона в ящике с a 10-8 см.

Сравнить классическую плотность вероятности, определенную соотношением dW x =, dx v x T где T — классический период колебаний, и квантовую плотность вероятности dW/dx = |n x |2 при n = 1 и n 1. Провести такое же сравнение для dW/dp — плотности вероятности в импульсном пространстве.

4.2. Найти изменение с течением времени волновой функции нерелятивистской свободной частицы массы m, если в начальный момент времени r, 0 = A e- r2/a2 +ibr.

4.3. Найти k для e-r/a h r =, a = = 0, 53 · 10-8 meea(основное состояние атома водорода). Пусть данная волновая функция описывает состояние свободного электрона при t = 0. Оценить, на каком расстоянии окажется этот электрон через 1 с.

§5. Оператор Гамильтона. Уравнение Шредингера Классическая функция Гамильтона pH = + U r 2m заменяется оператором Гамильтона h ^ H = - + U r.

2m Собственная функция этого оператора с собственным значением En удовлетворяет уравнению Шредингера (УШ) (1925 г.) ^ Hn x = En n x.

Решения этого уравнениея ищутся в классе однозначных и непрерывных функций. В случае связанных состояний эти функции нормируемы (для них dx|n x |2 = 1) и поэтому n x 0 при x ±.

Pages:     || 2 | 3 | 4 | 5 |   ...   | 11 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.