WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 2 | 3 || 5 |

a = j a bjk ij i iQ iQ сводится к минимизации (2.4.2) при ограничениях:

bjk a j, j = 1,3, i iQ которые можно заменить одним ограничением:

bjk a min max j = B.(2.5) i k j iQ Таким образом, в данном случае задача сведена к обычной задаче о ранце.

Пример 2.4. Имеются шесть предприятий со значениями а1 = 8, а2 = 3, а3 = 7, а4 = 6, а5 = 2, а6 = 4. Пусть 1 = 1, 2 = 2, 3 = 1. Возьмем три варианта программы из примера 2.2:

1 = (2, 3, 1); 2 = (1, 2, 3); 3 = (2, 2, 2), значения bjk которых приведены в таблице 2.4. Определим величину B из ограничения (2.5). Определяем сначала bj10 18 B1 = max = max ; ; = 10, j j 1 2 5 12 B2 = max ; ; = 23, 1 2 10 12 B3 = max ; ; = 16.

1 2 Находим B = min(B1; B2; B3) = 10. Возьмем затраты Сi из примера 2.2. Получаем следующую задачу о ранце: определить xi = 0 или 1, i = 1, 6, минимизирующие 2x1 + x2 + 3x3 + 4x4 + 2x5 + 3xпри ограничении 8x1 + 3x2 + 7x3 + 6x4 + 2x5 + 4x6 10.

Ее решение x1 = 1, x2 = 1, остальные xi = 0. Таким образом, в программу включаются первые два предприятия, причем выбирается первый вариант программы.

Условие сильной сбалансированности естественным образом выполняется, если комиссия по отбору предприятий в программу будет проводить отбор, учитывая сбалансированность программы реформирования, то есть если оценка программы будет проводиться по критерию aij Ki = min.

j Очевидно, что максимизируя Ki, предприятие разработает сбалансированную программу, в которой aij = jai (Ki = ai).

ГЛАВА 3. Общая постановка задачи Дадим теперь общую постановку задачи оптимизации программы по стоимости, рассмотренную на примерах в предыдущих разделах. Итак, примем, что задана процедура комплексного оценивания вариантов программы, на основе которой можно построить сеть напряженных вариантов (с резервами или без резервов). Эта сеть позволяет определить все напряженные (Парето-оптимальные) варианты программы, обеспечивающие требуемое значение комплексной оценки. Обозначим через r – число таких вариантов, bk = {bjk} – вектор, компоненты bjk которого определяют требуемое значение критерия по j-му направлению в k-ом варианте программы, j = 1, m (m – число оцениваемых направлений (факторов)), k = 1, ( – число вариантов программы). Пусть, далее, имеются n предприятий – потенциальных участников программы, разработавших и представивших на конкурс программы реформирования и реструктуризации. Каждое предприятие может представить несколько вариантов программ реформирования, которые отличаются результатами (то есть вкладом в увеличение критериев по направлениям) и требуемыми затратами Администрации. Пусть каждое предприятие представляет не более q j программ реформирования. Обозначим через ais вклад i-го предприятия в увеличение критерия по j-му направлению региональной программы в варианте s программы реформирования, сis – затраты Администрации на реализацию s-го варианта программы реформирования для i-го предприятия. Введем переменные xis = 1, если i-е предприятие включено в региональную программу с s-ым вариантом программы реформирования и xis = 0 в противном случае.

Выпишем ограничения, определяющие допустимые варианты программы развития региона. Первое ограничение отражает требование выбора для каждого предприятия не более одного варианта программы реформирования, то есть q (3.1) x 1, i = 1, n is s=Следующая группа ограничений опирается на условие достижения требуемых значений критериев по направлениям j (3.2) aisx b, j = 1, m is jk i,s где bk = {bjk} – требуемые значения критериев по направлениям для выбранного варианта k региональной программы из множества вариантов, обеспечивающих требуемое значение комплексной оценки.

Требуется решить задачу выбора варианта региональной программы, выбора множества предприятий, участвующих в региональной программе и, наконец, выбора варианта программы реформирования для каждого из этих предприятий, так чтобы затраты администрации C(x) = xis (3.3) c is i,s были минимальными.

Задача (3.1)-(3.3) относится к классу задач системной оптимизации, поскольку требуется выбрать правые части ограничений (3.2), а затем решить задачу (3.1)-(3.3), которая, в свою очередь, является сложной комбинаторной задачей (многомерной задачей о ранце).

Как было показано выше для случая сбалансированных программ реформирования предприятий, решение задачи сводится к обычной задаче о ранце. К сожалению, эффективных алгоритмов проверки условий сбалансированности программ реформирования пока не получено. Однако, легко проверить выполнение условий сильной сбалансированности. Напомним, что программы реформирования предприятий являются сильно сбалансированными по направлениям, есj ли параметры ais удовлетворяют соотношениям j ais = jais, j = 1, m, i = 1, n, s = 1, q.

В этом случае ограничения (3.2) можно заменить одним ограничением bjk a xi,s min max j = b.(3.4) i,s k j i,s Заметим, что без ограничения общности всегда можно взять 1 = 1.

Для проверки условий сильной сбалансированности достаточно определить j ais j is = для всех i, s и j = 2, m.

ais j Если is = j, то есть одно и то же для всех i, s, то варианты программ реформирования являются сильно сбалансированными.

j Для получения приближенного решения представим числа ais приближенно в виде j ais = jais, j где 1 = 1, ais = ais, то есть первое направление является базовым.

Поставим задачу определения чисел j так, чтобы ошибка j max ais - jais = j (3.5) i,s была минимальной.

Представим (3.5) в виде j - j ais - jais j, j j ais - j ais + j j, (3.6) ais ais j j ais - j ais + j max j min.

is is ais ais Очевидно, что минимальному j соответствует уравнение j j ais - j ais + j max = min.(3.7) is is ais ais Опишем итерационный алгоритм определения j. Для упрощения записи примем, что каждое предприятие имеет по одному варианту программы реформирования, причем обозначим aij1 = aij.

1 шаг. Определяем j j aij aq aij ap max = и min = i i ai aq ai ap и вычисляем j j apaq - aqap 1 =.(3.8) aq + ap 2 шаг. Определяем j j aij - 1 aq - 1 aij + 1 ap + max = и min =.

i i ai aq ai ap Если j j aq - 1 ap + >, aq ap то вычисляем 2 по формуле (3.8) и повторяем эту процедуру до тех пор, пока на очередном шаге не получим j, такое что выполняется равенство (3.7). Если ошибки j допустимы для всех j = 2,m, то можно считать программы реформирования предприятий сбалансированными.

Пример 3.1. пусть множество потенциальных участников региональной программы состоит из трех предприятий, данные о которых приведены в таблице 3.1.

Таблица 3.1.

Предприятие Варианты 1 2 1 2 1 a1 3 8 2 7 2 i a2 3 7 3 6 3 i a3 4 10 4 8 5 i ci 1 2 2 3 3 Пусть далее имеются три варианта программы, дающие требуемое значение комплексной оценки:

1 = (2, 3, 1); 2 = (1, 2, 3); 3 = (2, 2, 2) с векторами bk следующего вида:

b1 = (10, 18, 5); b2 = (5, 12, 23); b3 = (10, 12, 16).

Рассмотрим возможность считать программы реформирования предприятий сбалансированными.

Рассматриваем второе направление.

1 шаг. Определяем ais 3 7 3 6 3 7 min = min ; ; ; ; ; = 3 8 2 7 2 6 ais a2 3 7 3 6 3 7 is max = max ; ; ; ; ; = 3 8 2 7 2 6 ais 7 3 - 6 1 = = 1.

2 шаг. Определяем 3 + 1 7 + 1 3 + 1 6 + 1 3 + 1 7 + min ; ; ; ; ; = 1, 3 8 2 7 2 3 -1 7 - 1 3 -1 6 -1 3 -1 7 - max ; ; ; ; ; = 1.

3 8 2 7 2 Таким образом, 2 = 1 = 1, 2 = 1.

Рассмотрим третье направление.

1 шаг. Определяем a3 4 5 8 5 5 is min = min ; ; 2; ; ; = 3 4 7 2 3 a is a3 is max = ais 7 5 - 2 8 1 = = 2.

9 2 шаг. Определяем 1 1 1 1 1 4 + 2 10 + 2 4 + 2 8 + 2 5 + 2 10 + 9 9 9 9 min 9 ; ; ; ; ; = 1, 3 8 2 7 2 6 1 1 1 1 1 - 2 10 - 2 4 - 2 8 - 2 5 - 2 10 - 9 9 9 9 max 9 ; ; ; ; ; = 1.

3 8 2 7 2 6 Таким образом, 3 = 14/9, ошибка приближения 3 = 21/9.

Если признать ошибки приближения 2 = 1 и 3 = 21/9 допустимыми, то можно применить метод решения для случая сбалансированных программ реформирования.

Решаем задачу о ранце для первого направления при различных уровнях затрат, то есть строим сеть аналогичную сети рис. 2.5 из примера 2.3. Соответствующая сеть при уровне затрат от 1 до 6 приведена на рис. 3.1.

C [14,14,20] [16] [15,13,18] [10] [10,10,14] [7] [7,6,8] [8] [8] [8,7,10] (6) (2) [3] (8) [3] [3,3,4] (7) (3) [0] [0] 0 1 2 Рис. 3.1.

Оптимальные пути (с точки зрения первого направления) выделены толстыми линиями. У конечных вершин поставлены значения критериев для всех трех направлений.

Теперь осталось определить минимальный уровень затрат, при котором значения критериев по направления не ниже требуемых хотя бы для одного из векторов bk. Простым перебором находим, что минимальные затраты cmin = 5. Значения критериев для соответствующего оптимального решения (15, 13, 18) превосходят требуемые величины для вектора b3 = (10, 12, 16). Таким образом, оптимальным является выбор третьего варианта региональной программы 3 = (2, 2, 2) и включение в программу первых двух предприятий со вторыми вариантами программы реформирования.

Если нет уверенности в выполнении условия сбалансированности программ реформирования предприятий, то решение задачи становится более сложным. Можно, конечно, применяя описанный ваше метод, построить сеть, позволяющую определить все Паретооптимальные варианты, однако, их число может быть достаточно большим. Рассмотрим еще один подход к решению задачи в основе которого лежит другой способ построения комплексной оценки, а именно, будем оценивать не величины критериев по направлениям, а непосредственно программы реформирования предприятий. Так в предыдущем примере потенциальными участниками программы были три предприятия, каждое из которых представляло две программы реформирования. Поступим следующим образом. Сначала получим обобщенную оценку программ первых двух предприятий.

Возможный вариант приведен на рис. 3.2.

2 3 3 1 2 3 Предприятие 0 1 2 0 1 Предприятие Рис. 3.2.

Шкалу обобщенной оценки возьмем состоящей из четырех градаций – 1, 2, 3, 4. Теперь агрегируем обобщенную оценку двух первых предприятий с вариантами программ третьего предприятия, рис. 3.3.

4 2 2 3 1 1 2 1 1 1 1 1 0 1 Предприятие Рис. 3.3.

Таким образом мы получаем возможность определять комплексную оценку для любого набора предприятий, участвующих в программе. Если теперь построить сеть напряженных вариантов, то применяя описанный в разделе 1 алгоритм, мы определяем оптимальный по стоимости состав предприятий, участвующих в программе. Сеть напряженных вариантов для комплексной оценки рис. 3.2, 3.3 приведена на рис. 3.4.

Индексы вершин поставлены в квадратных скобках. Оптимальный вариант выделен толстыми линиями. Ему соответствует включение в программу первых двух предприятий с вторыми вариантами реформирования, что совпадает с решением, полученным в примере 3.1. Основная проблема при применении описанного подхода связана с построением комплексной оценки в определенном смысле согласованной с комплексной оценкой направлений. Согласованность означает, что любое подмножество программ предприятий, имеющее [5] [5] [6] 4, 0 3, [5] [2] 3 [3] [5] [4] 0, 2 1, 1 2, 0 2, [0] [4] 0 1 2 0 1 2 0 [0] [1] [2] [0] [2] [3] Предприятие Предприятие 1 Предприятие Рис. 3.4.

комплексную оценку K при агрегировании оценок по направлениям, имеет ту же оценку при агрегировании по предприятиям. И наоборот, если данное подмножество программ предприятий имеет комплексную оценку K при агрегировании по предприятиям, то оно имеет ту же комплексную оценку K при агрегировании по направления. Так, например, в рассмотренном примере 3.1 комплексную оценку 2 имеют следующие напряженные варианты программы предприятий:

Комплексная оценка 2 2 2 2 2 Предприятие 1 2 0 2 2 1 Предприятие 2 2 2 0 1 2 Предприятие 3 0 2 2 1 1 Легко видеть, что комплексная оценка программ реформирования предприятий в данном случае не согласована с комплексной оценкой направлений региональной программы. Действительно, вариант, в котором первое предприятие входит во второй программой, а остальные два – с первой, имеет комплексную оценку 2 при агрегировании по направлениям и в то же время – комплексную оценку при агрегировании по предприятиям. Пример согласованной оценки по предприятиям приведен на рис. 3.5.

4 2 2 3 1 2 2 1 1 2 3 3 4 1 1 1 1 2 3 3 0 1 Предприятие 0 1 2 3 Предприятие 0 1 Предприятие Рис. 3.5.

Непосредственной проверкой можно убедиться, что любой напряженный вариант, имеющий оценку 2 при агрегировании по направлениям, имеет такую же оценку при агрегировании по предприятиям и наоборот.

Задача построения комплексной оценки программ реформирования предприятий, согласованной с заданной комплексной оценкой направлений региональной программы развития, относится к сложным комбинаторным задачам. Важно, однако, что такую комплексную оценку всегда можно построить.

Теорема 2. Для любой комплексной оценки направлений программы регионального развития всегда можно построить согласованную комплексную оценку программ реформирования предприятий, входящих в региональную программу.

Доказательство. Возьмем произвольную структуру комплексной оценки предприятий, например, сначала получим обобщенную оценку программ реформирования первого и второго предприятий, затем делаем свертку этой оценки с третьим предприятием и т.д.

Рассмотрим первые два предприятия. Пусть число вариантов программы реформирования каждого предприятия равно m (включая вариант «не участвовать в региональной программе»). Тогда число возможных вариантов реформирования двух предприятий равно m2.

Каждому варианту k соответствует вектор bk = {bkj}, j = 1,q, где q – число направлений региональной программы. Обозначим через mчисло различных векторов bk и присвоим каждому из них обобщенную оценку sk, такую что sk > sp если bk >> bp (bk >> bp, если bk bp и bkj bpj для всех j). Продолжая таким образом, получаем обобщенную оценку программ реформирования (n-1) предприятий с mn-1 различными вариантами, каждому из которых соответствует определенный вектор b, причем различные варианты имеют разные векторы b. На последнем шаге строим матрицу, строкам которой соответствуют различные варианты программ реформирования первых (n-1) предприятий, а столбцам – варианты программы реформирования n-го предприятия. На пересечении строк и столбцов ставится комплексная оценка соответствующего варианта региональной программы, получаемая по заданной комплексной оценке направлений региональной программы.

Заметим, что доказательство проводится аналогичным образом для любой структуры комплексной оценки предприятий.

Пример 3.2. Имеются три предприятия, каждое из которых разработало по два варианта программы реформирования. Таким образом, для каждого предприятия имеются три возможных варианта:

Pages:     | 1 |   ...   | 2 | 3 || 5 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.