WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 || 3 | 4 |   ...   | 5 |

Пусть поставлена задача перехода из состояния x0 = (1, 1, 1) с комплексной оценкой «плохо» в состояние с комплексной оценкой «удовлетворительно». Рассматриваем матрицу сверток показателей социального уровня и уровня экономической эффективности. Отмечаем все элементы матрицы, имеющие оценку 2 (удовлетворительно, рис. 1.5) и являющиеся напряженными. Это элементы, имеющие оценку 1 и слева и снизу от них. Имеем три таких элемента: (1; 3), (2;

2) и (3; 1). Для получения каждого из указанных состояний необходимо достичь соответствующих значений по показателям социального уровня (С) и экономической эффективности (Э). Так состояние (1; 3) достигается при достижении оценки 1 по показателю «С» и оценки по показателю «Э». На рис. 1.5 отмечены значения показателей «С» и «Э», которые должны быть достигнуты для получения каждого из трех указанных выше состояний.

Показатели экономической эффективности являются исходными показателями. Показатель социального уровня является агрегированным показателем. Поэтому на основе матрицы свертки показателей «Ж» и «Б» необходимо указать все напряженные варианты, которые дают соответствующие оценки по показателю «С». Так, например, оценка «удовлетворительно» (2) по показателю «С» может быть получена тремя способами: (1; 4), (2; 2) и (3, 1), оценка 3 – двумя способами: (2; 4) и (3; 2), оценка 1 всего одним способом – (1; 1).

Это соответствует сохранению существующего положения в области уровня жизни и экологической безопасности. Полученный граф называется сетью напряженных вариантов. Он приведен на рис. 1.6.

1 3 1;3 2;2 3;1 3 2 1 1 1 2 3 1 2 1 1 3 3 2 1;1 1;4 2;2 3;1 2;4 3;1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 3 1 2 4 1 2 УЖ УБ УЭ Рис.1.6.

Как следует из алгоритма его построения, он содержит все напряженные варианты, имеющие комплексную оценку «удовлетворительно».

Для получения какого-либо напряженного варианта поступаем следующим образом. Рассматриваем начальную вершину (вход) сети. Из нее исходят три дуги. Берем любую из них, например, дугу, ведущую в вершину (2; 2). Из вершины (2; 2) исходят две дуги. Отмечаем обе эти дуги. Дуга, ведущая в вершину 2 по показателю «Э» указывает, что по этому показателю требуется достичь состояния «удовлетворительно». Дуга, ведущая в вершину 2 по показателю «С» указывает, что по этому показателю также требуется достичь состояния «удовлетворительно». Из трех вариантов достижения оценки по показателю «С» выбираем любой (например, вариант (3; 1), что соответствует оценке «хорошо» по показателю «Ж» и оценке «плохо» по показателю «Б». Полученному напряженному варианту соответствует подграф сети, выделенный на рис. 1.6 толстыми дугами.

Он определяет напряженный вариант (3; 1; 2). Имея сеть напряженных вариантов нетрудно определить число напряженных вариантов, обеспечивающих получение требуемой оценки. Для этого применяем следующий алгоритм индексации (пометки) вершин сети:

1 шаг. Помечаем конечные вершины сети индексами 1 (индексы указаны в верхней половине вершины).

2 шаг. Двигаясь снизу вверх последовательно помечаем все вершины. Индекс вершины-кружка на рис 1.6 равен произведению индексов смежных с ней двух вершин нижнего уровня. Индекс вершины-квадрата на рис 1.6 равен сумме индексов смежных с ней вершин нижнего уровня. Индекс начальной вершины-квадрата определяет число напряженных вариантов.

Обоснование алгоритма непосредственно следует из описанного способа определения индексов. Индексы вершин указаны на рис. 1.в верхней части вершин. Число напряженных вариантов равно 6.

Построив сеть напряженных вариантов можно решать различные задачи формирования программы развития с учетом факторов стоимости и риска. Рассмотрим сначала задачу выбора варианта программы, обеспечивающего достижение поставленной цели с минимальными затратами. Пусть для каждого критерия i определены затраты sij, необходимые для обеспечения уровня j, то есть разработана подпрограмма (система мероприятий), выполнение которой обеспечивает рост критерия до уровня j. Примем, что подпрограммы по различным критериям независимы, то есть мероприятия i-ой подпрограммы не влияют на другие направления (цели). В этом случае существует эффективный алгоритм определения программы минимальной стоимости. В его основе также лежит метод индексации вершин сети напряженных вариантов снизу вверх.

1 шаг. Помечаем нижние вершины сети индексами sij.

Общий шаг. Вершины следующего (более высокого) уровня сети напряженных вариантов помечаются только после того, как помечены все смежные вершины нижележащего уровня. При этом индекс вершины-квадрата (в таких вершинах записывается одно число – оценка соответствующего агрегированного критерия) равен минимальному из индексов смежных вершин-кружков нижележащего уровня, а индекс вершины-кружка (в кружке записаны два числа – это пара оценок критериев нижнего уровня, агрегирование которых дает соответствующую оценку критерия верхнего уровня) равен сумме индексов смежных вершин-квадратов нижележащего уровня.

При описанной процедуре индекс начальной вершины-квадрата равен минимальным затратам на реализацию соответствующей программы. Оптимальный вариант находится «обратным ходом» – сверху вниз. Сначала находим вершину-кружок, смежную с начальной вершиной сети и имеющую минимальный индекс среди всех вершин, смежных с начальной. Из этой вершины-кружка исходят две дуги к вершинам-квадратам нижележащего уровня. Для каждой вершины-квадрата находим вершину-кружок, имеющую минимальный индекс среди всех вершин, смежных с соответствующей вершиной-квадратом и т.д. В результате будет выделен подграф, определяющий оптимальный вариант программы.

Рассмотрим работу алгоритма на примере сети напряженных вариантов рис. 1.6.

Пример1.1. Пусть матрица затрат (sij) имеет следующий вид:

Таблица 1.1.

j i Ж 27 20 Б 3 10 35 Э 18 50 Индексы вершин сети, полученные на основе описанного алгоритма, указаны на рис. 2.8 в верхней половине соответствующих вершин. Оптимальный вариант выделен толстыми линиями. Это вариант (2; 2; 2) с затратами s0 = 25, соответствующий сбалансированному развитию по всем направлениям.

55 25 1;3 2;2 3;5 17 30 1 8 1 2 3 1 2 5 52 17 23 57 1;1 1;4 2;2 3;1 2;4 3;2 7 20 3 10 35 50 1 8 1 2 3 1 2 3 4 1 2 УЖ УБ УЭ Рис.1.7.

ГЛАВА 2. Методы оптимизации комплексной программы развития с учетом риска Рассмотренный выше подход к построению оптимальной по стоимости программы развития региона имеет один недостаток. Он связан с тем, что напряженные варианты развития обладают низкой надежностью реализации. Действительно, достаточно срыва программы по одному направлению, и поставленная цель не достигается. Для повышения надежности вариантов программы введем понятия критической оценки и резерва направления.

Пусть задан некоторый вариант развития x = (x1, x2,..., xm), имеющий комплексную оценку K. Будем уменьшать оценку xj направления j. Обозначим xjk – минимальное значение этой оценки, такое что дальнейшее уменьшение оценки xj приводит к уменьшению комплексной оценки. Оценку xjk будем называть критической оценкой для j-го направления варианта x.

Определение 2. Резервом j-го направления варианта x называется разность j(x) = xj – xjk.

Замечание. Если при уменьшении оценки до 1 комплексная оценка не меняется, то будем по определению считать, что резерв направления равен любой требуемой величине М (достаточно большой).

Заметим, что если j(x) = 0 для всех j, то есть оценки всех направлений варианта x являются критическими, то мы получаем напряженный вариант развития. Очевидно, что при разработке программы развития для повышения надежности ее реализации целесообразно предусмотреть резервы для особо рисковых направлений.

Аналогично можно определить резерв промежуточной (обобщенной) оценки относительно комплексной оценки, а также резерв оценки данного направления относительно обобщенной оценки.

Рассмотрим комплексную оценку состояния региона, связанную с программой развития малого предпринимательства. Выделим основные цели развития малого предпринимательства. Первая цель – это рост экономической эффективности и, как следствие, налоговых поступлений. Вторая цель – увеличение доходности, отражающаяся, в основном, в росте заработной платы, а третья цель – увеличение занятости. Естественно объединить уровень занятости и уровень доходности в обобщенный критерий «социальный уровень». Окончательно получаем структуру комплексной оценки состояния региона (в части, связанной с развитием малого предпринимательства), показанную на рис. 2.1.

К C Э З Д Рис. 2.1.

На рисунке направление занятости обозначено буквой «З», доходности – «Д», экономической эффективности – «Э». Обобщенная оценка социального уровня обозначена «С».

С привлечением экспертов – руководящих работников Администрации заполняются смысловые матрицы, показанные на рис. 2.2.

Как и в работе [4], оценки 1, 2, 3, 4 соответствуют качественным градациям – «плохо», «удовлетворительно», «хорошо», «отлично».

4 2 3 3 3 2 2 3 С 2 2 2 3 1 1 2 2 C 1 2 3 4 2 3 4 Э 3 2 3 3 2 1 2 2 1 1 1 2 З 1 2 3 Д З Д Э Рис. 2.2.

Заметим, что приведенные матрицы отражают политику областной Администрации в области развития малого предпринимательства. Так, например, обобщенная оценка социального уровня равна единице («плохо») и в случае, когда оценка уровня занятости равна 1, а уровня доходности – 2 («удовлетворительно»), и в случае, когда, наоборот, оценка уровня занятости равна 2, а оценка уровня доходности – 1. Действительно, в данном случае для Администрации одинаково важны обе цели – и увеличение уровня доходности, и увеличение уровня занятости. Аналогично, при объединении оценок социального уровня и уровня экономической эффективности при малых значениях оценок («плохо» или «удовлетворительно») для Администрации важно продвижение хотя бы в одном направлении. Однако, в области высоких оценок («хорошо» и «отлично») приоритет отдается уровню экономической эффективности. Это и понятно, так как рост экономической эффективности позволяет решить многие проблемы области (и социальные, и экономические).

Дадим иллюстрацию введенных понятий критической оценки и резерва направления на структуре комплексной оценки, рис. 2.2.

Рассмотрим вариант x = (3, 2, 3), имеющий комплексную оценку 3.

Для первого направления оценка Э = 3 является критической, поэтому резерв первого направления для этого варианта равен 1 = 0. Для второго направления критической оценки нет, так как даже оценка «плохо» по уровню доходности при хорошей оценке по уровню занятости дает удовлетворительную оценку социального уровня, что, в свою очередь, обеспечивает комплексную оценку «хорошо» при уровне экономической эффективности «хорошо». Таким образом, резерв второго направления равен любому требуемому значению.

Наконец, для третьего направления значение критической оценки x3k = 2 и резерв направления 3 = 1.

Определим резерв обобщенной оценки «Социальный уровень» относительно комплексной оценки. Легко видеть, что критическое значение обобщенной оценки равно Сk = 2, и резерв обобщенной оценки С = 3–2 = 1. Определим, наконец, резервы второго и третьего направления (доходность и занятость) относительно обобщенной оценки, обозначая их Д(С) и З(С). Имеем для уровня доходности – критическая оценка равна 2 и резерв Д(С) равен 0. Для уровня занятости Зk = 3 и З(С) = 0. Заметим, что Д(С) + С = 0 + 1 < Д = M, З(С) + С = 0 + 1 = 1 = З, то есть резерв направления не меньше (больше или равен) суммы резерва обобщенной оценки и резерва направления относительно обобщенной оценки.

В дальнейшем будем рассматривать матрицы, в которых изменения оценки по строке или столбцу происходит не более, чем на единицу. Заметим, что этого всегда можно добиться путем введения дополнительных строк или столбцов. Кроме того, маловероятно, что при изменении оценки направления или обобщенной оценки на единицу, оценка более высокого уровня (соответственно – обобщенная или комплексная оценка) изменилась сразу на 2 единицы. В этом случае имеет место следующая связь между резервом направления, резервом обобщенной оценки и резервом направления относительно обобщенной оценки.

Теорема 1. Резерв направления больше или равен сумме резерва обобщенной оценки и резерва направления относительно обобщенной оценки.

Доказательство. Пусть величина резерва направления относительно обобщенной оценки равна (С). Это значит, что при уменьшении оценки по данному направлению на (С) единая обобщенная оценка не изменится (а значит, не изменится и комплексная оценка).

Пусть резерв обобщенной оценки равен С. Это значит, что уменьшение обобщенной оценки на С не меняет комплексной оценки.

Уменьшим оценку направления на величину С + (С). При этом величина комплексной оценки не изменится, так как при уменьшении оценки направления на (С) + K, K = 1, 2,..., С, величина обобщенной оценки уменьшится не более чем на K единиц в силу отмеченного выше свойства матриц свертки критериев. Таким образом, резерв направления не меньше (больше или равен) чем С + (С).

Будем рассматривать варианты, резервы направлений которых не превышают 1. Этого вполне достаточно для практики, поскольку такая ситуация обеспечивает достаточную надежность реализации программы.

Следствие 2.1. Если оценка направления больше 1, а резерв направления равен 1, то он равен сумме резерва обобщенной оценки и резерва направления относительно обобщенной оценки.

Доказательство. Если резерв направления строго больше суммы резерва обобщенной оценки и резерва направления относительно обобщенной оценки, то оба последних резерва равны 0. Но из этого следует, что уменьшение оценки направления на 1 уменьшает обобщенную оценку на 1, что в свою очередь уменьшает комплексную оценку на 1 и, следовательно, резерв направления равен 0. Полученное противоречие доказывает следствие.

По аналогии с [4] введем понятие напряженного варианта с резервами.

Пусть заданы требуемые резервы для всех направлений.

Определение 3. Вариант x = (Э, Д, З) с резервами направлений не менее заданных Э, Д, З называется напряженным, если не существует другого варианта x1 = (Э1, Д1, З1) с величинами резервов направлений не менее заданных, у которого оценки направлений не более, чем у варианта x.

Значение напряженных вариантов в данном случае то же самое, что и в случае напряженных вариантов без резерва, то есть, программу минимальной стоимости при заданных резервах направлений следует искать среди напряженных вариантов с резервами направлений не менее заданных.

Опишем алгоритм определения всех напряженных вариантов с резервами.

Pages:     | 1 || 3 | 4 |   ...   | 5 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.