WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 7 | 8 || 10 | 11 |   ...   | 12 |

Если же нет, то удаляем из графа G все ребра, принадлежащие циклу С. Получаем новый граф G1, возможно несвязный. Число ребер в G1 меньше чем в G, и каждая вершина имеет четную степень. По индуктивному предположению в каждой компоненте графа G1 имеется эйлеров цикл. В силу связности графа G каждая компонента графа G1 имеет общие вершины с циклом С. Теперь проходим ребра графа G следующим образом: идем по ребрам цикла С до первой неизолированной вершины графа G1. Затем проходим эйлеров цикл в компоненте графа G1, затем снова двигаемся по циклу С до следующей неизолированной вершины графа G1. Ясно, что процесс заканчивается в исходной вершине, что и показывает существование эйлерова цикла.

Аналогичным образом доказывается Теорема 2. Связный граф G является полуэйлеровым тогда и только тогда, когда в нем существует точно две вершины нечетной степени. Аналогичное определение можно сделать для ориентированных графов. Ориентированный эйлеров путь это ориентированный путь, содержащий каждую дугу точно один раз. Ориентированный граф называется эйлеровым, если в нем существует ориентированный эйлеров путь.

Аналогично теореме 1 можно доказать следующее утверждение.

Теорема 3. Ориентированный граф G(V,E), у которого связан соответствующий скелетный граф, является Эйлеровым тогда и только тогда, когда либо для всех вершин v, di(v) = d0(v), либо существуют точно две вершины v1 и v2 такие, что d0(v1) = di(v1) + 1, d0(v2) + 1 = di(v2), а для остальных вершин di(v) = d0(v). (3) В первом случае любой эйлеров путь является ориентированным циклом, во втором - начинается в вершине v 1 заканчивается в вершине v2.

Теорема 4. Пусть G - связный граф, имеющий точно 2s > 0 вершин нечетной степени. Тогда существует s и не существует меньшего числа путей P1, …, Ps, которые в совокупности содержат все ребра графа G точно по одному разу. При этом каждый из путей P1, …, Ps начинается в одной нечетной вершине и кончается в другой.

Согласно факта 1 в графе G имеется четное число 2s вершин нечетной степени. Разобьем эти вершины на s пар (v1, w1), …, (vs, ws). Образуем теперь новый граф G1, добавив каждой паре (vi,wi), i = 1,s ребро. Тогда G - связный граф, у которого все вершины четны. Согласно теореме 1 в графе G1 существует эйлеров цикл С, проходящий по всем ребрам точно по одному разу. Удалим из цикла С добавленные ребра и получим s путей P1, …, Ps, проходящих каждое ребро точно один раз. Ясно, что каждый путь начинается и кончается в нечетной вершине. Пусть теперь имеется t путей t < s P1, …, Pt, содержащих все ребра графа G. Тогда каждая нечетная вершина должна быть концом пути и, значит, имея 2s нечетных вершин, нельзя покрыть все ребра графа G менее, чем s путями.

Приведем теперь алгоритм построения эйлерового пути в данном эйлеровом графе.

Теорема 5. Пусть G - эйлеров граф. Тогда следующая процедура всегда возможна и приводит к построению эйлеровой цепи графа G.

Выходя из произвольной вершины, идем по ребрам графа произвольным образом, соблюдая следующие правила:

1) стираем ребра по мере их прохождения (вместе с изолированными вершинами, которые при этом образуются);

2) на каждом этапе идем по ребру, удаление которого нарушает связность, только в том случае, когда нет других возможностей.

Убедимся сначала, что указанная процедура может быть выполнена на каждом этапе. Пусть мы достигли некоторой вершины v, начав с вершины u, v u. Удалив ребра пути из v в u, видим, что оставшийся граф G1 связен и содержит ровно две нечетных вершины v и u. Согласно теореме 2 граф G1 имеет эйлеров путь Р из v в u. Поскольку удаление первого ребра инцидентного u пути Р либо не нарушает связности G1, либо происходит удаление вершины u и оставшийся граф G2 связен с двумя нечетными вер шинами, то отсюда получаем, что описанное выше построение всегда возможно на каждом шаге. (Если v = u, то доказательство не меняется, если имеются ребра, инцидентные u). Покажем, что данная процедура приводит к эйлерову пути. Действительно, в G не может быть ребер, оставшихся непройденными после использования последнего ребра, инцидентного u, поскольку в противном случае удаление ребра, смежному одному из оставшихся, привело бы к несвязному графу, что противоречит 2).

В качестве одного из применений эйлеровых графов приведем следующее.

Пусть А = {0, 1, …, m-1} - алфавит из m букв. Ясно, что имеется mn различных слов длины n в алфавите А. Последовательностью де Брейна называется циклическое слово a0 a1 … aL-1 в алфавите А, такое, что подпоследовательности вида ai ai+1 … ai+n-i = 0, …, L-1 состоят из всех возможных L = mn слов длины n. Наиболее важный случай для приложений m = 2. Последовательности де Брейна производятся полноцикловыми регистрами сдвига. Покажем существование последовательностей де Брейна.

Пример. n = 1, m = 2 n = 2, m = 2 n = 3, m = Определим ориентированный граф Gm,n(V,E) следующим образом:

1) V является множеством всех mn-1 слов длины n-1 над А.

2) E является множеством всех mn слов длины n над А.

3) дуга (a1, a2, …, an) имеет начальной вершиной (a1, …, an-1)и конечной вершиной (a2, …, an).

Приведем граф G2,3 :

Ясно, что последовательности де Брейна соответствует замкнутый путь в графе Gm,n, содержащий каждую дугу точно один раз. Обратно, ориентированный цикл в Gm,n, содержащий каждую дугу точно один раз, приводит к построению цикла де Брейна, если выписывать соответствующие дуги подряд.

Пример. Для графа G2,3 имеем эйлеров путь 000, 001, 011, 111, 110, 101, 010, а соответствующую последовательность де Брейна Теорема 6. Для любых целых m и n граф Gm,n имеет ориентированный эйлеров цикл.

Покажем сначала, что граф Gm,n сильно связен, а значит его соответствующий скелетный граф связен. Действительно, пусть b1, …, bn-1 и c1, …, cn-1 две вершины. Тогда их соединяет следующий ориентированный путь (b1, b2, …, bn-1, c1), (b2, …, bn-1, c1, c2), …, (bn-1, c1, …, cn- 1).

Далее di(v) = d0(v) = m для любой вершины v.

Действительно, из вершины v = (b1, b2, …, bn-1) выходят дуги вида:

(b1, b2, …, bn-1, c) и входят дуги вида (c, b1, …, bn-1), c A.

Теперь по теореме 3 в графе Gm,n существуют эйлеровы циклы.

Следствие. Для любых целых m, n последовательности де Брейна существуют.

Известен следующий результат.

n-(m!)m Теорема 7. Для любых натуральных m, n существует точно последоmn вательностей де Брейна.

§ 3. Гамильтоновы графы.

Изучаемое понятие связано с существованием в графе цикла, проходящего ровно один раз через каждую вершину. Граф называется гамильтоновым, если в нем такой цикл существует и полугамильтоновым, если существует путь, проходящий через каждую вершину точно один раз. Ясно, что это определение можно распространить на ориентированные графы, если путь считать ориентированным. В отличие от эйлеровых графов, где имеется критерий для графа быть эйлеровым, для гамильтоновых графов такого критерия нет. Большинство известных фактов имеет вид: “если граф G имеет достаточное количество ребер, то граф является гамильтоновым”. Приведем одну из таких теорем, известную как теорема Дирака.

Теорема 1. Пусть в графе G(V,E) с n вершинами (n 3) выполняется условие n d(v) для любого v V. Тогда граф G является гамильтоновым.

Заметим сначала следующее. Если к любому графу G добавить некоторое количество новых вершин, соединяя каждую из них с каждой вершиной графа, то мы получаем гамильтонов граф G’. Пусть мы добавили к графу G(V,E) минимальное число k новых вершин, k > 0, после чего граф стал гамильтоновым. Рассмотрим гамильтонов цикл v1, w, v2, …, v1 в графе G’, где vi V, w - одна из новых вершин. Следовательно, v2 не является смежной с v1 в графе G, поскольку тогда мы могли не использовать вершину w, что противоречило бы минимальности числа k. Далее, пусть вершина v2’смежная с v2, а v1’- смежная с v1. Тогда v2’ не может следовать за v1’ в цикле. Действительно, в этом случае цикл v1, w, v2, …, v1’, v2’, …, v1 можно заменить на v1, v1’, …, v2, v2’,…, v1 и снова высвободить вершину w. Значит, число вершин графа G’, не являющихся смежными с v2, не меньше числа вершин, смежных с v1, поскольку на гамильтоновом цикле за любой вершиной, смежной с v1, следует вершина, не смежn ная с v2. Число вершин, смежных с v1, не меньше, чем + k, то же и для вершины v2.

Далее, поскольку любая вершина графа G’является либо смежной, либо не смежной n вершине v2, то, значит, общее число вершин n + k не меньше, чем 2( + k) = n + 2k. Полученное противоречие показывает, что k = 0, т.е. исходный граф гамильтонов.

Приведем примеры гамильтоновых графов.

1. Полный граф Kn гамильтонов.

2. Граф единичного куба Bn гамильтонов.

3. Определим ориентированный граф Г(Sn) - вершинами которого являются n! перестановок. При этом от перестановки s1 к перестановке s2 идет дуга, если существует транспозиция, переводящая перестановку s1 в s2. Полученный граф Г(Sn)является гамильтоновым.

В качестве примера приведем граф Г(S3) :

1 3 Из предыдущего следует, что многие важные прикладные задачи сводятся к построению гамильтонова цикла некоторого графа. Учитывая важность задачи перечисления перестановок. приведем еще один такой алгоритм на языке построения гамильтонова цикла в Г(Sn). Алгоритм построения цикла опишем индуктивно. Пусть Ln - список всех перестановок символов 1, 2, …, n. Обозначим через Ln(i) (1 i n+1) множество перестановок символов 1, …, i-1, i+1, …, n+1, полученных следующим образом: Ln(n+1) = Ln и Ln(i), (1 i n) получено из Ln(i+1) заменой всех появлений i на i+1.

Тогда положим Ln+1= Ln(n+1) (n+1), L (n) n, Ln(n-1) (n-1), L (n-2) (n-2), … (4) n n Здесь символ означает, что в списке Ln(i) i все перестановки из Ln(i) дополняются дописыванием справа элемента i. Список L (i) - это список Ln(i), написанный в обратn ном порядке. Нетрудно показать индукцией по n, что таким образом построенная последовательность перестановок содержит каждую перестановку точно один раз и каждая последующая перестановка отличается от предыдущей одной транспозицией.

Пример. n = 3 Имеем:

L2(3) : (12) (21) L2(2) : (13) (31) L2(1) : (23) (32) L3 = L2(3) 3, L (2) 2, L2(1) 1 = = (123) (213) (312) (132) (231) (321).

Понятие "почти все" графы.

Пусть G(n) – множество всех графов на множестве вершин V = {1, 2,..., n}.

Пусть P – некоторое свойство, которым каждый граф из G(n) может обладать или нет.

Пусть Gp(n) – множество тех графов из G(n), которые обладают свойством P.

Говорят, что почти все графы обладают свойством P, если |Gp (n)| lim = n |Gn)| ( и почти нет графов со свойством P, если |Gp (n)| lim = n |Gn)| ( В качестве примера использования данного понятия докажем один результат.

Теорема. Почти нет эйлеровых графов.

Пусть G1(n) – множество эйлеровых графов, G(n) – множество всех графов, G2(n) – множество графов, вершины которых имеют четную степень. По теореме Эйлера имеем G1(n) G2(n), т.к. в G2 не учтена связность.

Ясно, что графы из G2(n) можно получить из графов G(n – 1) добавлением новой вершины и соединением ее со всеми вершинами нечетной степени.

Имеем n- |Gn - 1)|= 2 ( n-1 n -n+|G2 (n)| 2 2 = 2 n |Gn)|= 2 ( Отсюда получаем, что |G2(n)| = 0(|G(n)|) и |G1(n)| = 0(|G(n)|) что и доказывает утверждение. Отметим без доказательства другие утверждения такого типа.

Теорема. Почти все графы связны.

Теорема. Диаметры почти всех графов равны 2.

Теорема. Почти все графы гамильтоновы.

Теорема. Множество автоморфизмов почти каждого графа состоит из одного тождественного автоморфизма.

§ 4. Кратчайшие пути.

Пусть G(V,E) - конечный неориентированный граф и пусть заданы две его вершины s и t. Требуется найти кратчайший путь (длина пути равна числу входящих в него ребер) от вершины s к вершине t. Сначала мы опишем алгоритм, который находит длину кратчайшего пути.

Алгоритм ДЛИНА 1) Помечаем вершину s пометкой 0. Полагаем i = 0.

2) Находим все непомеченные вершины, связанные ребром с вершинами, имеющими отметку i. Если таких вершин нет, t недостижимо из s, стоп. Если такие вершины есть, помечаем их i+1.

3) Если вершина t помечена, переходим к 4). Если нет, то увеличиваем i на 1 и повторяем шаг 2).

4) Длина кратчайшего пути от s к t равна i+1, стоп.

Корректность алгоритма следует из следующего утверждения.

Факт 1. Вершина v графа G(V,E) помечается в алгоритме пометкой l (v) тогда и только тогда, когда длина кратчайшего пути от вершины s к v равна l (v).

Доказательство индукцией по i. Ясно, что при i = 0, l (v) = 0 влечет v = s и утверждение справедливо. Предположим, что утверждение верно для всех вершин v, для которых l (v) m. Если вершина u не помечена, значит нет пути от s к u, меньше чем m+1. Если u связана ребром с вершиной, помечной,то ее пометка, во-первых, будет равна m+1, во-вторых, имеется путь длины m от s к данной вершине и, значит, длина кратчайшего пути от s к u равна m+1. Если u не связaна ребром с вершиной, имеющей пометку m, то не существует пути, короче, чем m+1 от s к u, поскольку предыдущая вершина на этом пути имела бы пометку m.

Сделаем к данному алгоритму дополнительные замечания.

1. Если граф G конечен и нет пути от s к t, то алгоритм остановится после того, как будут помечены все вершины, достижимые из s.

2. Если граф G ориентирован и ищется ориентированный путь из s к t, то алгоритм применим, и в этом случае, если шаг 2) записать в виде: 2’) Найти все непомеченные вершины, которые достижимы дугами, выходящими из вершин, имеющих пометку i. Когда Алгоритм ДЛИНА выдал нам значение l (t) кратчайшего пути от s к t, то нетрудно теперь найти некоторый такой путь, используя пометки l (v). Приводимый ниже алгоритм выдает путь v(0), v(1), …, v( l (t)) такой, что v(0) = s, v( l (t)) = t.

Алгоритм ПУТЬ.

1) Полагаем i = l (t) и помечаем v(i) = t.

2) Находим вершину u такую, что u связана ребром с v(i) и l (u) = i-1. Помечаем v(i-1) = u.

3) Если i = 1, то стоп. Если нет, уменьшаем i на 1 и повторяем шаг 2).

Приводимое ниже утверждение позволяет находить число путей фиксированной длины между любыми двумя вершинами.

Для графа G(V,E), V= n определим матрицу смежности, т.е. (nn) - матрицу A = (aij), i, j = 1, …, n, где 1, если вершины i, j cоединены ребром aij = 0, в противном случае.

(l) l Теорема 2. Пусть А = (a ), i, j = 1, …, n, где l - натуральное число. Тогда ij (l) a равно числу путей длины l, соединяющих вершины i и j.

ij При l = 1утверждение верно по определению. Пусть для l -1 это выполняется.

l l-Тогда образуем А = А * A.

(l) (l-1) (l-1) (l-1) Имеем a = a a1j + a a2j + … + a anj.

Pages:     | 1 |   ...   | 7 | 8 || 10 | 11 |   ...   | 12 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.