WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 6 | 7 || 9 | 10 |   ...   | 12 |

C E A B = O D где О - нулевая подматрица размера s1 t1, s1 + t1 = n, С - имеет размер (n - s1) t1, D - имеет размер s1 (n - t). Значит, матрицы С и D - квадратные и имеют порядок (t1 t1) и (s1 s1) соответственно. Согласно определению перманента имеем per B = per A и, per B = per C per D и поэтому из per А = 0 следует, что либо per C = 0, либо per D = 0.

Пусть per C = 0. По предположению индукции в С найдется нулевая подматрица размера u v, где u + v = t1 + 1. Пусть она расположена в строках с номерами i1, …, iu и столбцами с номерами j1, …, jv. Рассмотрим подматрицу B, состоящую из строк i1, …, iu, t1+ 1, …, n и столбцов j1, …, jv. Это нулевая подматрица размера (u + n - t1) v, где u + n - t1 + v = n + +1. Итак, в матрице B указана нулевая подматрица размера s t, где s + t = n + 1. Так как матрицы А и B отличаются перестановкой строк и столбцов, то теорема доказана.

Рассмотрим теперь важный частный случай матрицы А. Обозначим через А(k, n) - матрицу из элементов 0,1 размера n n с k единицами к каждой строке и каждом столбце (k > 0).

Теорема 3. Для любой матрицы А(k, n) справедливо per А(k, n) > 0.

Допустим противное, что per А(k, n) = 0. Тогда по теореме 2 существует нулевая подматрица размера s t, где s + t = n + 1. Тогда, переставляя строки и столбцы матрицы А(k, n) получим матрицу B C O D где О - нулевая (s t)-матрица.

Подсчитаем число единиц в матрицах B и D. Поскольку A(k, n) имеет k единиц в каждой строке и каждом столбце, то в каждом столбце B и каждой строке D имеется точно k единиц. Всего в А(k, n) имеется nk единиц, поэтому nk tk + sk = (t + s)n. Таким образом, n t + s, что невозможно, т.к. s + t = n + 1 Из данного противоречия следует справедливость утверждения.

Аналогично доказывается Теорема 3а. Пусть А - (0,1)-матрица размера nm (nm). Тогда perА = 0 в том и только в том случае, когда содержит нулевую подматрицу размера st, где s+t=m+1.

4. Рассмотрим теперь приложение рассматриваемых вопросов к построению латинских квадратов. Латинским (nm)-прямоугольником над множеством X={x1,…,xm} называется (nm) -матрица из элементов X, в которой каждая строка есть n-перестановка X, а каждый столбец есть m-перестановка множества X. При n=m латинский прямоугольник называется латинским квадратом.

Ясно, что при n=1 число латинских 1m прямоугольников равно m!. При n=после того, как выбрана первая строка, в качестве второй можно взять любую перестановку, противоречащую выбранной. Число таких перестановок Dm, поэтому число 2m латинских прямоугольников равно m! Dm.

Возникает естественный вопрос в связи с индуктивным построением латинских квадратов. Пусть мы построили латинский (nm)-прямоугольник (n

Пусть X={x1,…,xm } и L- латинский (nm)-прямоугольник с элементами из X.

Рассмотрим набор множеств A1,…,Am где Ai - элементы i -го столбца латинского прямоугольника L. Пусть А - матрица инцидентности системы множеств A1,…,Am. Она имеет размер mm, и каждая строка матрицы А содержит точно n единиц, поскольку Ai= n, i = 1, m. Каждый элемент xi X может появиться в столбцах L не более m раз, иначе нашлась бы строка, в которой этот элемент встретится дважды. Общее число элементов L равно mn, поэтому каждый элемент xi X появляется в столбцах точно n раз. Отсюда следует, что и каждый столбец матрицы А содержит точно n единиц. Рассмотрим теперь матрицу A, полученную заменой каждой единицы на нуль и каждого нуля на единицу.

Матрица A есть матрица инциденций системы множеств X1, …, Xn, где Xi = X\Ai, i = 1, m. Она содержит по m - n единиц в каждой строке и в каждом столбце. По теореме 3 per A > 0. Пусть ai1 … a 0. Тогда имеем xi1 X1,K, xim Xm и все элементы mim xi1,K, xim попарно различны. Строка xi1,K, xim может быть взята в качестве (n + 1)-ой для латинского (n m)-прямоугольника L. Продолжая эту процедуру, получим латинский квадрат.

Обозначим l - число латинских квадратовпорядка n, с элементами из множестn ва X = {1, 2, …, n}, у которых элементы первого столбца и первой строки идут в естест- венном порядке. Приведем таблицу нескольких известных значений числа l :

n n 1 2 3 4 5 6 7 1 1 1 4 56 9408 16942080 ln 5. Матрица A = (aij) размера n n с действительными, неотрицательными элементами называется дважды стохастической, если n a = ij j=для всех i 1, n и n a = ij i=для всех j 1, n Дважды стохастические матрицы играют большую роль в теории вероятностей. С перманентами таких матриц связана знаменитая проблема Ван дер Вардена, поставленная им в 1926 году: 1. Доказать, что для любой дважды стохастической матрицы А справедn! ливо per A nn 2. Равенство достигается лишь для (n n)-матрицы J = (1/n), все элементы которой равны 1/n.

Эта проблема была положительно решена в 1980 году.

Упражнения 1. Найти число r-мерных наборов чисел 0, 1, 2, 3, в которых каждое число 1, 2, появится хотя бы один раз.

Ответ: 4r - 33r + 32r -2. Пусть a1, a2, …, an - целые неотрицательные числа. Доказать соотношение n Max (a1, a2, …, an) = ai - Min(aia j)+K+(-1)n-1Min(a1,K,a n ) i=1 i< j 3. Решить рекуррентное уравнение an + 6an-1 + 12an-2 + 8an-3 = a0 = 1, a1 = -2, a2 = n2 n Ответ: an = - + 1(-2)n 2 4. Вычислить перманент (n n)-матрицы 11 1 2... 1 n 2 1 2 2... 2 n............

n 1 n 2... n n Ответ: (n!) ГЛАВА III. ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ ГРАФОВ.

§ 1. Основные понятия теории графов.

1. Граф G(V,E) - комбинаторный объект, состоящий из двух конечных множеств: V - называемого множеством вершин и множества пар элементов из V, т.е. E VV, называемого множеством ребер, если пары неупорядочены, и множеством дуг, если пары упорядочены. В первом случае граф G(V,E) называется неориентированным, во втором ориентированным. Если e = (v1, v2), e E, то говорят, что ребро e соединяет вершины v1,v2, если v1 = v2, то ребро e называется петлей. Две вершины v1,v2 называются смежными, если существует соединяющее их ребро. Аналогично, два различных ребра смежны. если они имеют общую вершину.

Степенью вершины v называется число ребер d(v), инцидентных ей, при этом петля учитывается дважды. В случае ориентированного графа различают степень d0(v) по выходящим дугам и di(v) - по входящим.

Путь - это последовательность ребер e1, e2, …, em, такая, что ei, ei+1 имеют общую вершину. Число ребер называется длиной пути. Если ни одна из вершин не появляется более одного раза, то путь называется простым. Ясно, что в простом пути ни одно ребро не используется дважды.

Путь называется циклом, если его начальная вершина совпадает с конечной, простым циклом, если это не выполняется для других вершин.

В случае ориентированного графа, если путь проходит в направлении дуг, он называется ориентированным. Аналогично определяется ориентированный цикл.

Граф называется связным, если для любых двух вершин существует путь, их соединяющий. Ориентированный граф называется сильно связным, если для любых двух вершин существует ориентированный путь, их соединяющий. Для ориентированного графа определяем скелетный граф, как неориентированный граф, полученный снятием ориентации исходного графа.

Примеры графов:

1. Полный граф Kn. Это граф на n вершинах, у которого смежны любые две разn личные вершины. Ясно, что граф Kn имеет ребер.

2. Граф отображения F: X X. Это ориентированный граф с множеством вершин X, при этом вершины xi и xj соединяются дугой, если xj= F(xi).

3. Двудольные графы. Это графы, у которых множество вершин можно разбить на два множества V1, и V2,, так что каждое ребро графа соединяет только некоторую вершину из V1 с некоторой вершиной из V2.

4. Граф единичного n-мерного куба Bn. Вершины графа - n-мерные двоичные наборы. Ребра соединяют вершины, отличающиеся одной координатой.

Факт 1. Любой граф содержит четное число вершин нечетной степени.

Если граф G имеет xi вершин степени i, то x1+ 2x2+ … + kxk = 2 E (1) поскольку мы подсчитываем число концевых вершин ребер, а каждое ребро имеет точно две концевые вершины. Отсюда получаем, что x1+ x3+ … + x2S+1 - четное число.

Число ребер в графе существенно влияет на его связность. Заметим, что любой граф можно разбить на связные части - компоненты связности, задав следующее отношение эквивалентности на множестве его вершин: две вершины эквивалентны, если существует путь из одной вершины в другую. Таким образом, связный граф состоит из одной компоненты.

Факт 2. Пусть G - граф с n вершинами и k компонентами. Тогда число m его ребер удовлетворяет неравенствам (n - k)(n - k +1) n - k m (2) Нижнюю оценку доказывают индукцией по числу ребер в G. Если множество ребер пусто, то утверждение очевидно. Если в графе G число ребер минимально (скажем m0), удаление любого ребра приводит к увеличению числа компонент на единицу. Значит, в графе k + 1 компонента и m0 - 1 ребро. По предположению индукции, m- 1 n - (k + 1), откуда m0 n - k. Для доказательства верхней оценки считаем каждую компоненту графа G полным графом. Если Ci и Cj - две компоненты с ni и nj вершинами (ni nj > 1), то заменяя их на полные графы с ni + 1 и nj - 1 вершинами, мы, не меняя числа вершин, увеличиваем число ребер. Действительно, n (n -1) (ni +1)ni (n -1)(n - 2) ni (ni -1) j j j j + - - = ni - nj + 1 > 2 2 2 Значит, максимальное число ребер имеет граф G, у которого k - 1 изолированных вершин и компонента из полного графа на n - k + 1 вершинах. Отсюда и следует верхняя оценка.

(n -1)(n - 2) Следствие. Любой граф с n вершинами, имеющий более, чем ребер, связан.

Действительно, если граф имеет k компонент, то по предыдущему, число его (n - k)(n - k +1) (n -1)(n - 2) (n - k)(n - k +1) ребер не превышает. Но неравенство < 2 2 справедливо только при k = 1.

Убедимся теперь в том, что степени вершин существенно влияют на наличие циклов в графе.

Факт 3. Если степень каждой вершины графа G(V,E) не меньше двух, то G содержит цикл.

Пусть v - произвольная вершина из V. Строим последовательность ребер (v,v1), (v1,v2), …, выбирая v1 смежной с v, …, vi+1 - смежной с vi, и отличной от vi-1. По условию вершина vi+1 существует. В силу конечности V на некотором шаге будет выбрана вершина, уже встретившаяся раньше. Пусть это vk. Тогда часть последовательности ребер между вхождениями vk образует цикл.

2. Пусть G – связный граф, u, v – произвольные вершины. Определим d(u, v) – расстояние между u и v как длину кратчайшего пути из u в v. При этом полагаем d(u, v) = 0 при u = v.

Ясно, что введенное таким образом расстояние удовлетворяет аксиомам метрики:

1. d(u, v) 2. d(u, v) = 0 u = v 3. d(u, v) = d(v, u) 4. d(u, v)+d(v, w) d(u, w) (неравенство треугольника) Для связного графа G диаметр d(G) определяется как d(G) = max d(u,v) u,v 3. Графы G1(V1, E1) и G2(V2, E2) называются изоморфными, если существует биекция f: V1 V2, такая, что выполнено (v1, v2) E1 (f(v1), f(v2)) E2.

При этом f называется изоморфизмом графов G1 и G2. Изоморфизм графа G на себя называется автоморфизмом.

Пример 1. Следующие графы имеют только тождественные автоморфмы Пример 2. Следующий граф имеет, кроме тождественного, автоморфизмы (1, 3), (2, 4), (13)(24).

1 Широко известна так называемая проблема изоморфизма графов, в которой для любых двух графов требуется установить, изоморфны они или нет. Для знакомства с результатами по данной проблеме следует обратиться к приведенному списку литературы.

4. Поскольку графы можно рассматривать как частные случаи бинарных отношений, то для них могут быть определены аналогичные операции. Укажем некоторые из них.

Пусть G1 + (V1, E1), G2 = (V2, E2) – два графа.

Объединение графов G1 и G2 есть граф, у которого V = V1 V2, E = E1 E2.

Соединение графов G1+G2 есть граф, у которого V = V1 V2, E = E1 E2 {(v1, v2)} для всех v1 V1, v2 V2.

Прямое произведение графов есть граф, у которого V = V1 V2, ((c1,v2 ),(v1,v )) E (v1,v1) E1 и (v2,v ) E2.

2 Пример. Пусть даны графы отображений f1: V1 V1, f2: V2 V2. Тогда их прямое произведение соответствует отображению f1 f2: V1 V2 V1 V2, где f1 f2(v1, v2) = (f1(v1), f2(v2)).

Пусть f1 и f2 имеют l1 и l2 начальных вершин соответственно. Тогда f1 f2 бу0 дет иметь l0 = l1 |v2 |+l2 |v1|-l1 l2 начальных вершин.

0 0 0 5. Некоторые классы графов допускают характеристическое описание. В качестве примера приведем критерий двудольности графа (Кёниг, 1936 г.) Теорема. Для двудольности графа необходимо и достаточно, чтобы он не содержал циклов нечетной длины.

Пусть G = (V, E) – двудольный граф, С – один из его циклов длины k. Фиксируем вершину v1 C и проходим цикл, начиная с v1. Пусть это вершины v1, v2,..., vk.

Поскольку концы каждого ребра лежат в разных долях, то k – четное число.

Пусть G = (V, E) – связный и все его циклы четной длины. Определим разбиение V = V1 V2 следующим образом: Фиксируем произвольную вершину v1 V и включаем ее в V1. Теперь включаем u V1 d(u, v1) – четное число. Остальные вершины включаем в V2.

Покажем, что граф G двудольный. Пусть, напротив, существует ребро (v, v), где v, v V1. Следовательно, d(v1, v), d(v1, v) – четны. Ребро (v, v) дает цикл нечетной длины, содержащий путь от v1 к v, ребро (v, v), путь от v к v1. Аналогично показываем, что нет ребер (v, v), v, v V2. § 2. Эйлеровы графы.

Эйлеровым путем графа G(V,E) называется путь e1,e2, …, et такой, что каждое ребро появляется ровно 1 раз, т.е. t =E. Граф G(V,E) называется эйлеровым, если он имеет замкнутый эйлеровый путь, и полуэйлеровым, если существует эйлеров путь, не являющийся замкнутым.

Теорема 1. Связный граф G является эйлеровым тогда и только тогда, когда каждая вершина G имеет четную степень.

Предположим, что Р является эйлеровым циклом в графе G. Тогда при всяком прохождении цикла через любую вершину графа используется одно ребро для входя и одно ребро для выхода. Поскольку каждое ребро используется один раз, то каждая вершина должна иметь четную степень. Обратное утверждение доказываем индукцией по числу ребер в графе G. Пусть граф G связен и степень каждой вершины четна. На основании Факта 3 граф содержит цикл С. Если С содержит каждое ребро, то все доказано.

Pages:     | 1 |   ...   | 6 | 7 || 9 | 10 |   ...   | 12 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.