WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 4 | 5 || 7 | 8 |   ...   | 12 |

2. Пусть теперь считаются соседними элементы X вида (xi, xi+1), ( i 1, n - 1), а также (x1, xn). Тогда число g(n, k) подмножеств X из k элементов и не содержащих соседних элементов равно n n - k g(n, k) = (15) n - k k Разобьем все такие подмножества Y X на два класса: те, которые содержат x1, и те, которые не содержат x1. Подмножество, содержащее x1, не содержит x2 и xn.

Значит, число таких подмножеств равно числу (k - 1)-подмножеств из (n - 3)-множества X = {x3,..., xn-1}, не содержащих соседних элементов, и по предыдущему это число равn - 3 - (k - 1) + 1 n - k - но =. Число подмножеств второго класса равно числу k k - 1 k -подмножеств из (n - 1)-множества X = {x2, x3, …, xn}, не содержащих соседних элеn -1- k +1 n - k ментов, и, согласно предыдущему, это число равно =. Следова k k тельно, интересующее нас число k-подмножеств по правилу суммы равно n - k - 1 n - k n n - k g(n, k) = + = k - 1 k n - k k Завершим теперь доказательство теоремы 4. На множестве n! подстановок множества X = {x1,, xn} введем 2n свойств P1,..., Pn,, P1,..., Pn, где i 1, n свойство Pi подстановки означает, что (xi) = xi, свойство Pi означает, что (xi) = xi+1 при i 1, n - 1, при i = n Pn означает, что (xn) = x1.

Расположим указанные свойства в ряд P1, P1, P2, P2,..., Pn, Pn (16) Теперь для любого k-подмножества множества этих свойств определим число Vk подстановок, обладающих каждым из свойств, входящих в k-подмножество. Оно равно (n - k)!, если выбранные k свойств совместимы и 0 в противном случае. Чтобы применить формулу включения-исключения остается найти число способов выбора из 2n свойств (16) k-подмножество совместимых свойств. Ясно, что несовместимыми свойствами являются два соседних в последовательности (16), при этом свойства Pn и P1 считаются соседними. Число способов выбора k-подмножеств совместимых свойств со 2n 2n - k гласно предыдущему равно. По формуле включения-исключения полу 2n - k k чаем формулу (13).

§ 2. Метод рекуррентных соотношений Данный метод состоит в том, что решение комбинаторной задачи с n предметами выражается через решение аналогичной задачи с меньшим числом предметов с помощью некоторого соотношения, называемого рекуррентным. Говорят, что последовательность элементов u0, u1, … un, … над полем комплексных чисел C удовлетворяет рекуррентному соотношению порядка k, если un = F(un-1, …, un-k), n k (1) Если задать u0, u1, … uk-1, то un, n k определено однозначно. Рекуррентное соотношение называется линейным, если un = a1 un-1 + … + ak un-k, n k (2) где a1, …, ak - коэффициенты из C. Соотношения такого типа естественным образом возникают при решении комбинаторных задач.

Пример. Пусть имеется последовательность позиций, занумерованных числами 1, 2, …, n, … и в начальный момент предмет находится в 1-ой позиции. За один ход предмет продвигается вперед на 1 и 2 позиции. Найти число способов попадания в n-ю позицию.

Пусть un - интересующее нас число. Ясно, что u2 = 1, u3 = 2. Далее, разобьем все способы попадания в позицию с номером n на два класса: те, при которых на последнем шаге предмет передвигается на 1 шаг и те, при которых он передвигается на шага. Ясно, что в первом случае имеем un-1 вариантов, во втором un-2 вариантов. Следовательно, имеем un = un-1 + un-2 (3) В качестве начальных условий можно взять u1 = 1, u2 = 1.

Полученные числа un называются числами Фибоначчи. Наиболее известной частью рекуррентных соотношений являются линейные рекуррентные соотношения. Свяжем с линейным соотношением (2) многочлен над C P(x) = xk - a1xk-1 - … - ak (4) Многочлен P(x) называется характеристическим для линейного рекуррентного соотношения (2). Заметим, что всякая рекуррентная последовательность k-го порядка однозначно определяется заданием k ее первых членов.

Пусть - корень характеристического многочлена P(x).

Теорема 1. Последовательность u0, u1, … un, …, где un = cn, c - произвольная константа из C, удовлетворяет линейному рекуррентному соотношению (2).

Подставляя данные значения un, n = 0, 1, … в (2), имеем cn - a1 cn-1 - a2 cn-2 - … - ak cn-k = cn-k (k - a1 k-1 - … - ak) 0.

Теорема 2. Пусть последовательности un, vn, n = 0, 1, … удовлетворяют линейному рекуррентному соотношению (2). Тогда этим свойством обладает последовательность rn, n = 0, 1, …, где rn = un+ vn, n,, - произвольные константы из C.

Доказательство очевидно.

Теорема 3. Пусть 1, …, k - простые (т.е. не являющиеся кратными) корни характеристического многочлена P(x) для последовательности (2).

Тогда общее решение данного рекуррентного соотношения имеет вид un =c1n + c2n +K+ck n, n (5) 1 k где c1, …, ck - подходящие константы из C.

Согласно предыдущему замечаем, что последовательностьun, n = 0, 1, … есть решение соотношения (2). Чтобы доказать, что любое решение имеет вид (5) достаточно показать, что для произвольной последовательности vn, n = 0, 1, …, удовлетворяющей (2), существуют константы c1, …, ck, такие, что un = vn, n. Для этого достаточно, чтобы выполнялось v0 = u0, v1 = u1, …, vk-1 = uk-1. Рассмотрим данные условия u0 = c1 + c2 + … + ck = vu1 = c11 + c22 + … + ckk = v1 (6)...................

uk-1 = c1k-1 + c2k-1+K+ckk-1 = vk-1 2 k Покажем, что для любых v0, v1, …, vk-1 данная система уравнений всегда разрешима относительно c1, c2, …, ck. Определитель этой системы есть определитель Вандермонда и согласно (7, стр. 118).

1 1 L 1 2 L k det = (i - ) j....

i< j k-1 k-1 L k-1 2 k согласно предположению о корнях 1, …, k. Отсюда и следует утверждение. В качестве примера рассмотрим рекуррентное соотношение (3). Имеем характеристический многочлен P(x) = x2 - x -1+ 5 1- Его корни равны 1 =, 2 =, Общее решение имеет вид 2 nn 1+ 5 1- un = c1 + c2 2 Система уравнений для констант c1, c2 :

1+ 5 1- c1 + c2 = 2 2 1+ 5 1- c1 + c2 = 2 1 Откуда получаем c1 =, c2 = -.

5 Пусть теперь - корень кратности r характеристического многочлена P(x). Аналогично предыдущему доказывается Теорема 4. Последовательности c1n, c2nn,K, cr nr-1n, n = 0, 1, … для произвольных констант c1, …, cr из C удовлетворяют соотношению (2).

Теорема 5. Пусть характеристический многочлен P(x) имеет корни 1, …, s кратностей r1, …, rs (r1 + … + rs = k). Тогда общее решение рекуррентного соотношения (2) имеет вид un = (ci1 + ci2n+K+cir i nri -1)n, cij C (7) s i=1 i Укажем еще одно полезное свойство линейных рекуррентных соотношений.

Теорема 6. Пусть имеем соотношение un = a1un-1+ … + akun-k с начальными условиями u1, …, uk. Тогда справедливо соотношение при всех n k a1 a2 a3... an-k uk un k 1 0 0... 0 un-k- u 0 1 0... 0. =. (8).........

u u 0 0 0.. 1 0 n-k+ Доказательство индукцией по n. При n = k равенство (8) справедливо. Пусть оно верно при n. При n + 1 имеем a1 a2 a3... an+1-kuk k 1 0 0... k- u 0 1 0... 0. =........

u 0 0 0.. 1 0 a1 a2 a3... a a1 a2 a3... ak n-k uk k 1 0 0... 0 1 0 0... k- u = 0 1 0... 0 0 1 0... 0. =...............

u 0 0 0.. 1 0 0 0 0.. 1 0 a1 a2 a3... a un un+ k 1 0 0... 0 un-1 un = 0 1 0... 0. =.

.........

u u 0 0 0.. 1 0 n-k+1 n-k+В большинстве случаев, однако, при изучении перечислительных задач возникают нелинейные рекуррентные соотношения, для разрешения которых используются специфические приемы. Некоторые из них будут рассмотрены в дальнейшем. Приведем важный пример нелинейного рекуррентного соотношения.

Теорема 7. Пусть C(n, k) - число подстановок n-элементного множества, имеющих точно k циклов. Тогда справедливо C(n, k) = C(n - 1, k - 1) + (n - 1)C(n - 1, k) (9) C(0, 0) = 1, C(0, 1) = Разобьем множество подстановок множества X = {1, 2, … n,} имеющих точно k циклов, на два класса - подстановки, в которых элемент n содержится в единичном цикле, и подстановки, в которых элемент n находится в цикле длины l, l > 1. В первом случае число подстановок совпадает с числом подстановок множества X = {1, 2, …, n - 1}, имеющих k - 1 циклов, т.е. C(n - 1, k - 1). Во втором случае, удаляя элемент n, получаем подстановку множества X = {1, 2, …, n - 1} с k циклами, число которых равно C(n - 1, k). Выясним теперь, каким числом способов в подстановку степени n - 1 с k циклами можно добавить элемент n. Если имеется цикл длины i, то это можно сделать i способами. Общее число способов равно i1 + … + ik, где i1, …, ik - длины циклов подстановки. Однако i1 + … + ik = n - 1. Значит число подстановок второго класса равно (n - 1)C(n - 1, k). Отсюда и получаем (9).

Полученные числа C(n, k) связаны с известными числами Стирлинга первого рода sn,k, которые определяются так:

sn,k = (- 1)n+k C(n, k) Приведем таблицу нескольких первых значений чисел sn,k.

n sn,0 sn,1 sn,2 sn,3 sn,4 sn,0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 2 0 -1 1 0 0 3 0 2 -3 1 0 4 0 -6 11 -6 1 5 0 24 -50 35 -10 6 0 -120 274 -225 85 -Табл. Числа Стирлинга первого рода § 3. Производящие функции и формулы обращения 1. Пусть a0, a1, …, an, … некоторая последовательность чисел. Свяжем с этой последовательностью ряд R(x) = a0 + a1x + … + anxn + … называемый производящей функцией для последовательности {an}. Если ряд R(x) сходится в некотором круге радиуса R > 0 к некоторой функции F(x), то функцию F(x) также называют производящей для {an}.

Если R(x) и Q(x) - производящие функции для последовательностей {an}и {bn} соответственно, то естественным образом определяются операции:

а) Умножение на константу. Если - некоторая константа, то R(x) = a0 + a1x + … + anxn + …, т.е. R(x) - производящая функция для последовательности {an}.

в) Сложение.

R(x) + Q(x) = (a0 + b0) + (a1 + b1)x + … + (an + bn)xn + … т.е. R(x) + Q(x) - производящая функция последовательности {an + bn}.

с) Умножение.

R(x) Q(x) = a0 b0 + (a0b1 + a1b0) x + … + ( ai bn-i)xn + … n i=и значит R(x) Q(x) - производящая функция свертки последовательностей {an}и {bn}.

Обратной к производящей функции R(x) называется функция Q(x) такая, что Q(x)R(x) = 1.

Теорема 1. Обратная функция к R(x) существует тогда и только тогда, когда a0 0.

Действительно, запишем условия обращения функции R(x) a0b0 = a0b1 + a1b0 = 0 (1) … … n ai bn-i = i=Легко видеть, что система (1) разрешима относительно b0, b1, …, bn, … тогда и только тогда, когда a0 0.

1 aРешением в этом случае служит: b0 =, b1 = -.

aaЕсли b0, b1, …, bn-1 уже определены, то bn = (-a1bn-1 - … - anb0).

aЭкспоненциальной производящей функцией для последовательности {an}называется ряд a n E(x) = a0 + a1x + … + xn + … (2) n! Операция сложения, умножения на константу для экспоненциальных производящих функций определяются так же, как и для обычных производящих функций.

Произведение их определяется так: Если Ea(x), Eb(x) - экспоненциальные производящие функции для последовательностей {an} и {bn} соответственно, то cn Ea(x) Eb(x) = c0 + c1x + … + xn + … (3) n! n n где cn = a0bn + a1bn-1 + … + akbn-k + … + anb0.

1 k Производящие функции являются полезным инструментом для решения перечислительных задач, получения различных тождеств и решения рекуррентных соотношений.

Пример. Найти последовательность an, n = 0, 1, …, для которой функция (1 - 4x)-1/2 является производящей.

Решение. Согласно биномиальной теореме имеем ( - 1)L( - r + 1) (1 + x) = 1 + xr r=r! где верхний предел суммирования равен, если - положительное целое, и бесконечен в противном случае.

1 1 (- )(- - 1)...(- - r + 1) Значит (1 - 4x)-1/2 = 1 + (-4x)r = 2 r=r! 4r ( )(32)...(2r-12) = 1 + xr = r=r! 2r 1 3L(2r - 1) 2r r!1 3L(2r - 1) = 1 + xr = 1 + xr = r=1 r=r! r! r! 2r (24L2r)(13L(2r -1)) = 1 + xr = 1 + xr r=r=r! r! r Значит, данная функция будет обыкновенной производящей для последовательности 2n an =, n = 0, 1, … и будет экспоненциальной производящей для последовательности n 2n bn= n!, n = 0, 1, ….

n Теорема 2. Для любого t справедливо тождество 2i 2t - 2i = 4t (5) t i= i t - i 2i Действительно, согласно предыдущей задаче - коэффициент при xi в i 2t - 2i разложении (1 - 4x)-1/2, а - коэффициент при xt-i в (1 - 4x)-1/2. Значит левая часть t - i (5) - это коэффициент при xt в произведении (1 - 4x)-1/2 (1 - 4x)-1/2. Но (1 - 4x)-1/(1 - 4x)-1/2 = (1 - 4x)-1 = 1 + 4x + (4x)2 + … + (4x)t + … Отсюда получаем тождество (5).

Теорема 3. Пусть дана рекуррентная последовательность F(n) = F(n - 1) + F(n - 2), F(0) = a, F(1) = b Тогда функция a + (b - a)x (x) = (6) 1- x - xявляется (обыкновенной) производящей функцией для чисел F(n).

Напишем систему равенств F(0) = a F(1) = b F(2) = F(1) + F(0) … F(n) = F(n - 1) + F(n - 2) Умножаем i-ое уравнение на xi и полученные уравнения сложим. Слева получим функцию Ф(x). Справа получаем в первом столбце xФ(x) - xa + a, во втором столбце xb + x2Ф(x).

Следовательно, (x) = x(x) - xa + a + xb + x2(x) или (1 - x - x2)(x) = a + (b - a)x, откуда и следует (6).

Аналогичным образом производящие функции применяются для решения произвольного линейного рекуррентного соотношения.

Пусть дано линейное рекуррентное соотношение un+k = a1un+k – 1+... +akun.

Отсюда следует, что справедливы соотношения:

uk = a1uk – 1+... +akuuk+1 = a1uk+... +aku...

un+k = a1un+k – 1+... +akun ( Пусть Fx) = unxn – соответствующая производящая функция. Тогда n=имеем F(x) = u0+u1x+... +uk – 1xk – 1 +a1(uk – 1xk+ukxk+1+...)+ +a2(uk – 2xk+uk – 1xk+1+...)+...

+ak(u0xk+u1xk+1+...) = = u0+u1x+... +uk – 1xk – 1 +a1x(uk – 1xk – 1+ukxk+...)+ +a2x2(uk – 2xk – 2+uk – 1xk – 1+...)+...

+akxk(u0+u1x+...) = = u0+u1x+... +uk – 1xk – 1 +a1x(F(x) – u0 – u1x –... – uk – 2xk – 2)+ +a2x(F(x) – u0 – u1x –... – uk – 3xk – 3)+...

+akxk(F(x)).

Следовательно, справедливо соотношение F(x)(1 – a1x – a2x2 –... – akxk) = G(x), где G(x) – многочлен степени не выше k – 1, определенный начальными условиями.

Отсюда следует равенство Gx) ( Fx) = ( 1- a1x - a2x2 -...-akxk Теорема 4. Пусть дано рекуррентное соотношение Tn = T0 Tn-1 + T1 Tn-2 + … + Tn-1 T0, T0 = 1 (7) 2n Тогда его решением является Tn =.

n n + Составим производящую функцию f(x) = T0 + T1x + T2x2 + … + Tnxn + … и положим F(x) = x f(x) = xT0 + T1x2 + … + Tnxn+1 + … и возведем F(x) в квадрат.

Имеем F2(x) = T0 x2 + (T0 T1 + T1 T0)x3 + … + (T0 Tn-1 + T1 Tn-2 + … Tn-1 T0)xn+1 +...

Откуда, используя рекуррентное соотношение, получаем F2(x) = T1x2 + T2x3 + … + Tnxn+1 +... = F(x) - T0 x Значит F2(x) - F(x) + x = Решая данное уравнение относительно F(x), получаем 1- (1- 4x)1/F(x) = (Знак “+” не годится, поскольку F(0) = 0).

Pages:     | 1 |   ...   | 4 | 5 || 7 | 8 |   ...   | 12 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.