WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 | 2 || 4 | 5 |   ...   | 12 |

Иногда говорят, что множество пар (a1,a2) R задает график отображения F.

2. Операции над отношениями.

Исходя из операций над множествами, можно определить теоретикомножественные операции над отношениями. Для простоты считаем, что бинарные отношения заданы на множестве А. Для бинарных отношений R1 и R2 их пересечением (обозначение: R1 R2 ) называется бинарное отношение, являющееся пересечением I соответствующих множеств пар элементов из А, т.е.

a1 ( R1 R2 )a2 a1R1a2 и a1R2aI Объединением отношений R1 и R2 (обозначение: R1 R2 ) называется отношение, явU ляющееся объединением соответствующих множеств пар элементов из А, т.е.

a1 ( R1 R2 )a2 a1R1a2 или a1R2aU Очевидным образом определяется отношение включения для бинарных отношений, пишем R1 R2, если множество пар элементов из А для отношения R1 содержится в множестве пар для отношения R2.

Дополнением отношения R называется отношение R, определяемое условием:

a1 R a2 (a1a2) R. Определим теперь алгебраические операции на бинарных отношениях. Если R - отношение на А, то обратное отношение R-1 определяется условием:

a1R-1a2 a2Ra1.

Если R1, R2 - отношения на А, то их произведение R1 R2 определяется условием:

a1(R1 R2)a2 b A a1R1b и bR2a2.

Транзитивное замыкание отношения R определяется так:

R a1 R a2 (z0 = a1, z1, …, zn-1, zn = a2) An+1 | z0Rz1, …, zn-1Rzn Легко видеть, что a1 R a2 n | a1Rna Таким образом, = R R2 R3 L R U U U Выясним теперь, как введенные операции над бинарными отношениями выразить с помощью операций на соответствующими им матрицами. Поскольку матрицы отношений состоят из элементов 0, 1, то введем операции умножения () и сложения (v) на множестве {0, 1} с помощью таблиц:

. 0 1 v 0 0 0 0 0 0 1 0 1 1 1 Теперь определим операции над матрицами, соответствующие операциям над отношениями. Пусть отношениям R1 и R2 на множестве А = {a1, …, an} соответствуют матрицы DR1 = (rij) и DR2 = (ri2 ), i, j 1, n. Тогда отношению R1 R2 соответствует матрица I j 1 DR = (cij), где cij = rij rij, i, j 1, n.

1 Отношению R1 R2 соответствует матрица DR = (dij), где dij = rij rij, i, j 1, n U Отношению R1 соответствует матрица DR = (fij), где fij = rij, i, j 1, n 0,ес ли rij = причем rij = 1,ес ли rij = -Отношению R1 соответствует матрица DT - транспонированная к матрице DR1.

RПроизведению отношений R1 R2 соответствует матрица DR = (gij), где 2 2 gij = ri1 r1j ri1 r2 jLri1 rnj, i, j 1,n.

1 2 n Действительно, пусть ai(R1R2)aj. Тогда существует ak, такое, что aiR1ak и akR2aj. Значит, 1 2 1 rik = 1, rkj = 1.. Отсюда rik rkj = 1и тогда gij = 1. Обратно, пусть gij = 1. Тогда среди сла1 гаемых в выражении для gij хотя бы одно равно 1. Пусть rit rtj = 1. Отсюда 12 rit = 1 и rtj = 1. По определению матриц DR1 = (rij) и DR2 = (ri2 ) имеем aiR1at и atR2aj.

j Отсюда следует ai(RiR2)aj и поэтому матрица DR = (gij) задает отношение R1 R2. Матри ца для транзитивного замыкания R вычисляется через операции суммы и степени матрицы DR :

D = L D D D R R2 RR В качестве упражнение предоставляется установить связь между операциями над отношениями и их графическими представлениями.

3. Свойства операций над отношениями.

Поскольку операции пересечения, объединения, дополнения отношения соответствуют теоретико-множественным операциям, то они обладают теми же свойствами.

Рассмотрим теперь алгебраические операции.

-1. Свойство обращения: R-1 = R.

( ) -Имеем a1 R-1 a2 a2 R-1 a1 a1 R a( ) 2. Ассоциативный закон: ( R1 R2 ) R3= R1 ( R2 R3 ) Если a1( R1 R2 ) R3a2, то существует z A, такое, что a1( R1 R2 )z, zR3aДалее a1( R1 R2 ) влечет существование w A такое, что a1R1w и wR2z. Из wR2z и zR3a2 следует w( R2 R3 )a2, а из a1R1w и w( R2 R3 )a2 следует a1R1( R2 R3 )a2. Обратно, если a1R1( R2 R3 ) R3a2, то существует w A, такое, что a1R1w и w( R2 R3 )a2. Далее w( R2 R3 )a2 влечет существование z A, такого, что wR2z и zR3a2. Теперь, из a1R1w и wR2z имеем a1( R1 R2 )z, и учитывая справедливость zR3a2, получаем a1( R1 R2 ) R3a2.

- -3. Правило обращения произведения: (R1R2)-1 = R21 R Если a1 (R1R2)-1a2, то a2 (R1R2)a1. Значит, существует z A, такое, что a2R1z - -- -и zR2a1. Следовательно, имеем a1 R21z и z R1 a2, откуда a1( R21 R1 ) a2. Обратно, если - -- -a1( R21 R1 ) a2, то существует z A, такое, что a1 R21z и z R1 a2, откуда имеем a2R1z и zR2a1. Поэтому a2 (R1R2)a1 и, следовательно, a1 (R1R2)-1a2.

4. Дистрибутивный закон:

а) (R1 R2 ) R3 = (R1 R3) (R2 R3) U U в) R3 (R1 R2 ) = (R3 (R3 R2 ) U U R) Докажем а). Если a1( R3a2, то существует z A, такое, что R1 R2 ) U a1( z и zR3a2. Но a1( z означает, что либо a1R1z, либо a1R2z. Поэтому R1 R2 ) R1 R2 ) U U имеем либо a1R1R3a2, либо a1R2R3a2 и, следовательно, a1( a2. Обратно, R1 R3 R2 R3) U если a1( a2, то либо a1R1R3a2, либо a1R2R3a2. В первом случае существуR1 R3 R2 R3) U ет z A, такое, что a1R1z и zR3a2. Но a1R1z a1( z и поэтому снова получаем R1 R2 ) U a1( R3a2. Во втором случае существует w A такое, что a1R2w и wR3a2. Далее R1 R2 ) U a1R2w a1( w и поэтому получаем a1( R3a2, что и доказывает равенR1 R2 ) R1 R2 ) U U ство а).

Равенство в) доказывается аналогично.

Другой дистрибутивный закон записывается в виде отношения включения:

с) (R1 R2 ) R3 (R1 R3) (R2 R3) I I d) R3 (R1 R2 ) R3 R1 R3 RI I Данные соотношения доказываются аналогично. Заметим, что здесь нельзя заменить отношение включения равенством. В качестве упражнения предоставляется доказать следующие свойства отношений:

-1 6. (R1 R2 )-1 = R1 RU U -1 7. (R1 R2 )-1 = R1 RI I -1 8. R1 R2 R1 R9. R1 R2 R1R R2R и RR1 RR2, R 10. R1 R2 R1 R 11. R = R Упражнения.

1. Доказать, что R-1 = (R)-1 для любого бинарного отношения R.

2. Доказать, что если R1 R2, то -1 а. R1 R б. R1 R3. Пусть А - конечное множество из n элементов. Найти число бинарных отношений на множестве А.

§ 4. Специальные классы бинарных отношений.

1. Отношения эквивалентности.

Бинарное отношение R на множестве А называется рефлексивным, если справедливо aRa, a A. Рефлексивные отношения представляются матрицами, у которых на главной диагонали стоят единицы.

Отношение R называется симметричным, если для любых a1,a2 A из a1Ra2 следует a2Ra1. Симметричные отношения R представляются симметричными матрицами DR = (rij), т.е. матрицами с условием rij = rji, i, j 1, n.

Отношение R называется транзитивным, если для любых a1,a2,a3 A из a1Ra2 и a2Ra3 следует a1Ra3. Свойство транзитивности отношения R хорошо интерпретируется на графе, изображающем отношение R. Именно, если из вершины a1 имеется дуга в вершину a2, а из вершины a2 имеется дуга в вершину a3, то имеется также дуга из вершины a1 в вершину a3. Бинарное отношение R на множестве А называется отношением эквивалентности или просто эквивалентностью, если оно рефлексивно, симметрично и транзитивно. Данное определение отвечает интуитивному понятию одинаковости или неразличимости предметов. Пусть R - отношение эквивалентности на множестве А. Определим класс эквивалентности, содержащий элемент a A (обозначение: R[a]), как множество элементов из А, находящихся в отношении R с элементом a, т.е.

R[a] = {x x A и xRa} Теорема 1. Отношение эквивалентности R разбивает множество А на попарно непересекающиеся классы эквивалентных элементов таким образом, что каждый элемент А принадлежит точно одному классу эквивалентности.

Покажем, что если два класса эквивалентности содержат общий элемент, то они совпадают. Пусть z R[a1] и z R[a2]. Тогда справедливо zRa1 и zRa2. По симметричности отношения R имеем a1Rz, а по транзитивности R из a1Rz, zRa2 следует a1Ra2.

Следовательно, a1 R[a2]. Аналогично имеем a2 R[a1]. Отсюда получаем, R[a1] R[a2], поскольку xRa1, a1Ra2 xRa2 и аналогично заключаем R[a2] R[a1].

Следовательно, R[a1] = R[a2]. Отсюда следует, что каждый элемент А находится не более, чем в одном классе эквивалентности. Поскольку из рефлексивности R следует a R[a], a A, то значит каждый элемент a А находится по крайней мере в одном классе эквивалентности.

Если R - отношение эквивалентности, то число классов эквивалентности называется рангом отношения R.

Пример. Рассмотрим множество целых чисел Z. Зафиксируем натуральное число n и определим отношение Rn на Z. xRny x - y делится на число n (обозначение:

x y(mod n)). Легко проверяется, что отношение Rn есть отношение эквивалентности.

Класс эквивалентности [a] будет состоять из всех целых чисел вида a + kn, k Z. Поэтому, [0], [1], …, [n - 1] - различные классы эквивалентности. Других классов нет, так как любое число a может быть записано в виде a = nq + r, где 0 r < n и поэтому a [r].

Ранг отношения Rn равен n. Класс [a] называется классом вычетов по модулю n.

Пусть А - произвольное множество. Говорят, что семейство множеств X = (Xi), i S, где S - множество индексов, Xi A образует разбиение множества А, если выполнены условия:

1. Xi = A U iS 2. Xi Xj = при i j, i, j S.

I Справедливо обращение предыдущей теоремы.

Теорема 2. Пусть X = (Xi), i S - разбиение множества А. Пусть R - бинарное отношение на А, определенное условием:

a1Ra2 i S a1, a2 Xi Тогда отношение R есть отношение эквивалентности.

Ясно, что R - рефлексивное отношение, поскольку по условию каждое a А находится в некотором Xi. Симметричность R следует из определения. Осталось проверить транзитивность R. Пусть имеем a1Ra2 и a2Ra3. Значит, по определению, существуют i1, i2 S такие, что a1, a2 Xi1 и a2, a3 Xi2. Из условий a2 Xi1 и a2 Xi2 по свойству разбиения имеем i1 = i2, и тогда a1, a3 лежат в одном множестве Xi1, поэтому имеем a1Ra3, что и доказывает транзитивность R.

Рассмотрим теперь, какие операции над отношениями эквивалентности дают в результате отношение эквивалентности. Легко доказать следующие утверждения:

1. Если R - отношение эквивалентности, то R-1 - также отношение эквивалентности.

2. Если R1, R2 - отношения эквивалентности, то R1 R2 - также отношение экI вивалентности.

Заметим, что вообще говоря, объединение отношений эквивалентности не является от ношением эквивалентности.

Справедлива следующая Теорема 3. Объединение R1 R2 отношений эквивалентности R1 и R2 является U отношением эквивалентности в том и только в том случае, когда выполняется условие R1R2 = R1 RU Произведение отношений эквивалентности также, вообще говоря, не является отношением эквивалентности. Аналогично может быть доказана Теорема 4. Произведение R1R2 отношения эквивалентности R1 и R2 является отношением эквивалентности в том и только в том случае, когда выполняется условие R1R2 = R2R1.

2. Отношения толерантности.

Бинарное отношение R на множестве А называется отношением толерантности, если оно рефлексивно и симметрично. Данное определение отвечает интуитивному представлению о сходстве или похожести предметов. Множество А вместе с заданным на нем отношением толерантности называют также пространством толерантности (обозначение: (А,R)).

Пример. Пусть H - произвольное множество, B1(H) - множество непустых подмножеств множества H. Определим отношение R на элементах множества B1(H) условием xRy x y, x, y B1(H) I Симметричность и рефлексивность данного отношения R очевидны, и поэтому оно будет отношением толерантности.

Пример. Пусть H1, H2 - произвольные множества. Обозначим через M(H1,H2) - множество всех отображений F : H1 H2. Определим на множестве M(H1,H2) отношение R условием F1RF2 h H F1(h) = F2(h) Симметричность и рефлексивность данного отношения R также очевидны, и поэтому оно будет отношением толерантности. Над отношениями толерантности можно производить обычные операции. Нетрудно установить, что если T1, T2 - отношения толерантности, то отношениями толерантности также будут следующие отношения:

T1 T2, T1 T2, T1-1, TU I Произведение отношений толерантности, вообще говоря, не будет отношением толерантности. Может быть доказана Теорема 5. Для того, чтобы произведение T1T2 отношений толерантности T1, Tбыло отношением толерантности, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие:

T1T2 = T2T3. Отношения частичного порядка.

Бинарное отношение R на множестве А называется антисимметричным, если справедливо свойство: aRb, bRa a = b. Отношение R называется отношением частичного порядка, если оно рефлексивно, антисимметрично и транзитивно. Множество А вместе с заданным на нем отношением частичного порядка R называется частично упорядоченным множеством. Для обозначения отношения частичного порядка будет также использоваться знак.

Пример 1. Пусть B(A) - булеан множества А. Тогда отношение теоретикомножественного включения задает на B(А) отношение частичного порядка.

Пример 2. Пусть Em = {0, 1, …, m} и пусть - обычное отношение сравнимости для целых чисел. Рассмотрим множество En = EmLEm (n раз) и определим отm ношение частичного порядка на En, обозначаемое также, с помощью условия:

m (x1, …, xn) (y1, …, yn) xi yi, i 1, n в смысле сравнимости элементов Em, xi, yi Em, i 1, n.

Легко проверяется, что введенное отношение есть отношение частичного порядка. При m = 1 мы получаем единичный n-мерный куб, (обозначение: En ), представляющий собой множество двоичных набором длины n из элементов 0, 1.

Весом набора = (1, …, n) (обозначение - ) называется число единичных координат. Заметим, что булеан B(А) n-элементного множества A = {a1, …, an} однозначно представляется единичным n-мерным кубом En :

X B(A) X = (1, …, n) где 1, если ai X i = 0, в противном случае.

Данное соответствие определяет изоморфизм двух частично упорядоченных множеств B(A), и En,. Элементы a, b частично упорядоченного множества (А, ) называются сравнимыми, если b a или a b, в противном случае - несравнимыми. Частичный порядок называется линейным порядком (также - цепь), если любые два элемента сравнимы. Произвольное множество элементов частично упорядоченного множества называется антицепью, если любые два его элемента не сравнимы. Примером линейного порядка является лексикографический порядок слов. Пусть дан алфавит А с зафиксированным на нем порядком букв. Рассмотрим множество А* слов (т.е. последовательностей букв из алфавита А конечной длины). Определим линейный порядок на А* (обозначение: ) следующим образом:

1. На словах, состоящих из одной буквы, отношение совпадает с порядком букв в алфавите А.

2. Для произвольных двух слов s1 = a11a12 … a1m и s2 = a21a22 … a2n в алфавите А полагаем s1 s2 выполнено одно из условий:

1. s1 = paiq1, s2 = pajq2 и ai aj. Здесь p, q1, q2 - некоторые слова (возможно пустые), ai, aj A.

2. s2 = s1p, где p - непустое слово.

Pages:     | 1 | 2 || 4 | 5 |   ...   | 12 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.