WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 8 | 9 || 11 | 12 |

ij i1 i2 in (l-1) Элемент a akj 0 в том и только в том случае, когда имеется путь длины ik (l-1) ( l -1) из вершины i в вершину k, и вершины k и j соединены дугой. По индукции a - ik (l-1) число путей длины l -1 из i в k. Значит a akj, - число путей длины l из i в j, таких, ik что k - предыдущая вершина для j. Просуммировав по всем k, получаем общее число путей длины l.

§ 5. Деревья.

1. Связный граф G(V, E), не имеющий циклов, называется деревом. Следующая теорема перечисляет некоторые основные свойства деревьев.

Теорема 1. Пусть граф G(V, E) имеет n вершин. Тогда следующие утверждения эквиваленты.

1) G является деревом;

2) G не содержит циклов и имеет n - 1 ребер;

3) G связен и имеет n - 1ребер;

4) G связен, но удаление любого ребра нарушает связность;

5) любые две вершины графа G соединены ровно одним путем;

6) G не имеет циклов, но добавление любого ребра порождает ровно один цикл.

При n = 1 утверждение очевидно, поэтому считаем n 2. 1) 2). По определению G не имеет циклов. Рассмотрим некоторое ребро l = (v1, v2) и удалим его. Получим граф G. В графе G нет пути из v1 в v2, т.к. если бы такой путь был, то в графе G был бы цикл. Значит G не связен и не имеет циклов. Значит он состоит из двух компонент, являющихся деревьями с числом вершин n1 и n2 соответственно (n1 + n2 = n). По индуктивному предположению G имеет n1 - 1 + n2 -1 ребер. Следовательно, граф G имеет n - 1 ребер.

2) 3). Если бы G был несвязен, то каждая его компонента представляла бы собой связный граф без циклов. Из предыдущего имеем, что число ребер в каждой компоненте меньше на один числа ее вершин. Значит, общее число ребер меньше числа вершин по крайней мере на два, что противоречит тому, что G имеет n - 1ребер.

3) 4). Удаление любого ребра приводит к графу с n вершинами и n-2 ребрами, который не может быть связным в силу Факта 2 § 1.

4) 5). В силу связности G, каждая пара вершин соединена путем. Если бы данная пара была соединена более, чем одним путем, то они образовывали бы цикл. Но тогда удаление любого ребра в цикле не нарушает связности графа.

5) 6). Если бы G содержал цикл, то любые две вершины на цикле соединялись бы по крайней мере двумя путями. Добавим теперь к графу G ребро l = (v1, v2).

Тогда образуется цикл, т.к. вершины v1 и v2 уже соединены путем. Ясно, что цикл единственный.

6) 1). Если бы G был несвязен, то добавление ребер, соединяющих вершины из разных компонент, не приводит к образованию цикла.

Следствие. Дерево с более чем одной вершиной имеет по крайней мере две вершины степени 1.

Действительно, пусть v1, …, vn - множество вершин, тогда имеем n d(v ) = 2(n - 1) i i=В силу связности d(vi) 1, отсюда и следует утверждение.

2. Для графа G(V, E) определим два полезные понятия.

Вершинный подграф G(V, E) - это граф на множестве вершин V V и ребрами E E, такими, что оба конца ребра e E принадлежат V.

Реберный подграф G(V, E) - это граф, определяемый подмножеством ребер E E и множеством вершин V V, состоящим из концевых вершин ребер из E. Остовным (покрывающим) деревом графа G(V, E) называется его реберный подграф с множеством вершин V, являющийся деревом.

Факт 2. Граф G(V, E) имеет остовное дерево тогда и только тогда, когда он связен. Предложим процедуру построения остовного дерева. Ясно, что если граф G не связен, то он не может иметь остовного дерева.

Пусть граф связен. Если в графе нет ребра, удаление которого сохраняет связность графа, то G - дерево.

Если такое ребро есть, удалим его и продолжим процедуру. Когда процедура не может быть продолжена, полученный граф является деревом.

Рассмотрим теперь известную проблему нахождения минимального остовного дерева. Пусть G(V, E) неориентированный граф и пусть каждому ребру e Е поставлено в соответствие положительное число l (e), называемое его весом. Требуется найти связный реберный подграф G(V, E), такой, что V = V, причем сумма M(G) = l(e) eE минимальна.

Ясно, что граф G(V, E) должен быть деревом. Действительно, если G(V, E) содержит цикл, то тогда любое ребро цикла можно удалить из графа и тем самым уменьшить суммарный вес ребер графа G(V, E).

Факт 3. Пусть V - произвольная вершина связного графа G(V, E) и пусть e - смежное с ней ребро, для которого l (e) минимально для всех ребер, смежных с V. Тогда существует минимальное остовное дерево для G(V, E), которое содержит ребро e.

Пусть Т - любое минимальное остовное дерево для G(V, E). Если e не является ребром Т, добавим e к Т. Поскольку T - дерево, то в силу теоремы, при этом образуется цикл. Возьмем ребро e, лежащее на цикле и смежное с вершиной V, и удалим его.

Поскольку l (e) l (e), то получившееся дерево также минимально.

Следующая теорема дает алгоритм построения минимального остовного дерева, известный под названием алгоритма Краскала.

Теорема 4. Пусть G(V, E) связный граф с n вершинами. Тогда следующая процедура приводит к построению минимального остовного дерева.

1) Выберем ребро e1, обладающее в G наименьшим весом.

2) Определим по индукции последовательность ребер e2, …, en-1 (), выбирая на каждом шаге ребро, отличное от предыдущих, с наименьшим весом и не образующее цикла с уже выбранными ребрами. Полученный подграф Т графа G, образованный ребрами e1, …, en-1, и есть искомое остовное дерево.

Поскольку Т не содержит циклов и имеет n - 1 ребер, то Т - остовное дерево, в силу теоремы 1. Покажем, что сумма весов всех ребер Т минимальна. Предположим, что в G существует некоторое другое остовное дерево Т, такое, что M(Т) < M(Т). Пусть ek - первое ребро из последовательности () теоремы, которое не принадлежит Т. Добавим ребро ek к Т - тогда в Т образуется цикл С, содержащий ребро ek. Цикл С содержит ребро e, принадлежащее Т и не принадлежащее Т. Удалим из Т ребро e и добавим ребро ek.

Полученный подграф Т также является остовным деревом. По построению l (ek) l (e), поэтому M(Т) M(Т). При этом число общих ребер у Т и Т на одно больше, чем у Т и Т. Повторяя описанную процедуру, можно преобразовать Т в Т, причем сумма весов на каждом шаге не увеличивается. Значит, M(Т) M(Т), что противоречит допущению. Сделаем теперь несколько замечаний о применениях понятия остовного дерева.

Представим себе, что мы хотим построить сеть связи, которая бы соединяла n данных городов, причем так, чтобы каждый город имел связь с каждым, быть может транзитную. Если при этом из экономических соображений требуется, чтобы общая длина линий была минимальной, то ясно, что речь идет о минимальном остовном дереве графа, вершины которого соответствуют городам, а ребра - соединяющим их линиям связи. Поиск минимального остовного дерева можно искать с помощью алгоритма теоремы 4. Это замечание справедливо, если минимальное остовное дерево определяется как остовное дерево, доставляющее минимум некоторой монотонной симметрической функции от весов составляющих его ребер.

3. В этом пункте мы получим формулу Кирхгофа для числа остовных деревьев произвольного неориентированного графа и формулу Кэли для числа остовных деревьев полного графа. Получим сначала подготовительные результаты. Пусть G(V, E) ориентированный граф без петель, где V = {v1, …, vn}, E = {e1, …, em}. Определим матрицу инцидентности А графа G следующим образом:

A = (aij), i = 1, …, n, j = 1, …, m, где + 1, если vi начальная вершина ej ;

aij = - 1, если vi конечная вершина ej ;

0, если vi не инцидентна ej.

i1 i2... ip Напомним, что минором A называется определитель подматрицы, поj1 j2... jp лученный из А строками i1, …, ip и столбцами j1, …, jp.

Факт 5. Миноры матрицы инциденций А равны + 1, - 1 или 0.

По определению, каждый столбец матрицы А имеет один элемент +1 и один i1 i2... ip -1, остальные элементы 0. Рассмотрим произвольную подматрицу A.

j1 j2... jp Если имеется столбец из нулей, то ее определитель равен нулю. Если имеется столбец, содержащий один ненулевой элемент (+ 1 или - 1), то утверждение следует по индукции, т.к. оно верно для размера p = 1.

Если все столбцы содержат оба элемента + 1 и - 1, то суммированием всех строк получаем нулевую строку и, значит, определитель равен нулю.

i1 i2... in- Факт 6. Минор A матрицы инциденций А ориентированного j1 j2... jn- графа G(V, E) отличен от нуля (т.е. равен + 1 или - 1) тогда и только тогда, когда соот~ ветствующий скелетный граф G реберного подграфа, определенного E = { e,K,e } j1 jn-является деревом.

~ Пусть G не является деревом. Тогда, поскольку число ребер равно ~ n - 1, то по теореме 1 G должен содержать цикл. Если взять сумму столбцов, которые ~ соответствуют ребрам простого цикла в G, то получим нулевой столбец. Минор в этом ~ ~ случае равен нулю. Обратно, пусть G дерево. Если n = 2, то G состоит из одного ребра.

Соответствующая матрица А имеет размер 21, а ее миноры равны + 1 и - 1. Предполо~ жим, что если G дерево с k - 1 вершинами, то соответствующий минор ненулевой, и ~ пусть G имеет k вершин. Пусть E ={ e,e,K,e }- соответствующий ему набор j1 j2 jk-ребер, а {vi1,vi2,K,vik-1,vik }- набор вершин. Поскольку каждое дерево имеет по крайней мере 2 конечные вершины, то среди k - 1 вершин vi1,vi2,K,vik-1 имеется одна конечная, скажем vt. Разложим минор по строке t. Ясно, что эта строка содержит единственный, отличный от нуля элемент (+ 1 или - 1) и k - 2 нулей. Значит, с точностью до ~ ~ знака, минор равен минору, который соответствует дереву G, полученному из G удалением вершины vt и всех ребер, смежных с ней. По индуктивному предположению данный минор отличен от нуля.

Нам понадобится известная формула Бинэ-Коши из линейной алгебры.

Пусть А - (n m)- матрица и B - (m n)- матрица, где n m. Тогда справедливо следующее тождество 1 2... n j1 j2... jn det(AB) = A B j1 j2... jn 1 2... n 1 j1< j2

Теорема 7. Пусть М - ((n - 1) m)-матрица, полученная из матрицы инциденций А ориентированного графа G(V, E) вычеркиванием некоторой строки. Тогда det(ММ) равен числу остовных деревьев соответствующего скелетного графа. (Здесь М - транспонированная матрица М).

По формуле Бинэ-Коши имеем 1 2... n - 1 j1 j2... jn- det(ММ) = M = M j1 j2... jn-1 1 2... n - 1 j1< j2

Если дан произвольный неориентированный граф G(V, E), то нет необходимости приписывать ребрам ориентацию, определять матрицы М и М и перемножать их.

Можно вычислить ММ непосредственно, исходя из графа G(V, E). Пусть V = {v1, v2,..., vn}. Пусть вычеркиваемая строка в матрице инциденций А соответствует vn. Нетрудно заметить, что элемент (ММ)ii - это степень вершины vi, а элемент (ММ)ij при i j- это число ребер, соединяющих vi с vj, взятое со знаком минус.

Пример. Рассмотрим граф G:

-1 Тогда ММ = 2 -- -1 и значит det(ММ) = 4.

Значительный интерес имеет случай полного неориентированного графа на n вершинах. Число покрывающих деревьев такого графа найдено Кэли.

Теорема 8. Число остовных деревьев полного неориентированного графа на n вершинах равно nn-2.

Матрица ММ в этом случае имеет вид:

n - 1 -1... - -1 n -1... -...

-1 -1... n -Отнимем первый столбец от остальных и получим n - 1 -n... -n -1 n......

-1 0... n Теперь прибавим все строки к первой строке, получаем 1 0... -1 n......

-1 0... n Ясно, что определитель последней матрицы есть nn-2.

4. Вернемся еще раз к вопросу о порождении подстановок транспозициями, рассмотренному в главе I. Пусть Sn - группа всех подстановок степени n, Тn - множество всех транспозиций. Напомним, что некоторое множество элементов М из группы G является системой образующих для G или порождает G, если множество М произведений с конечным числом сомножителей элементов из М, взятых с положительными и отрицательными степенями, совпадают с группой G.

Поставим теперь вопрос, когда произвольное множество транспозиций Rn из Tn является системой образующих для Sn Пусть Rn = {t1,..., tr}. Поставим множеству Rn в соответствие граф Г(Rn), называемый графом Пойа и определяемый следующим образом:

Вершинами графа Г(Rn) являются элементы 1, 2, …, n. Каждой ti Rn, если ti = (p, q) в Г(Rn) соответствует ребро, инцидентное вершинам p и q. Может быть доказана Теорема 9. Множество транспозиций Rn = {t1, …, tr}, (r n - 1) тогда и только тогда порождает симметрическую группу Sn, когда соответствующий граф Пойа Г(Rn) связен.

Следствие 1. Множество из n - 1 транспозиций Rn порождает Sn тогда и только тогда, когда соответствующий граф Пойа Г(Rn) является деревом.

Следствие 2. Число систем образующих симметрической группы Sn, состоящих из n - 1 транспозиций, равно nn-2.

§ 6. Планарные графы 1. В некоторых случаях требуется, чтобы изображение графа удовлетворяло определенным условиям. Будем изображать графы так, что его вершинам соответствуют точки плоскости, а ребрам непрерывные, спрямляемые линии без самопересечений, причем ребра не должны иметь общих точек кроме инцидентных им вершин.

Такое изображение будем называть плоским графом, а граф, изоморфный плоскому, назовем планарным. Легко указываются примеры планарных графов. Например, K2, 3, K4. В то же время не удается установить планарность графов K3, 3, K5. Ниже будет доказано, что графы K3, 3, K5 не являются планарными. Отметим, что справедлив факт, приводимый без доказательства.

Теорема 1. Почти все графы не являются планарными.

Рассмотрим сначала укладку графов в действительном трехмерном пространстве R3.

Теорема 2. Каждый граф укладывается в R3.

Все вершины произвольного графа G помещаем в различных точках координатной оси х. Рассмотрим пучок плоскостей, проходящих через ось х, и зафиксируем |E| различных таких плоскостей. Теперь каждое ребро (u, v) изобразим полуокружностью, проходящей в соответствующей плоскости через вершины u, v. Ясно, что различные ребра не будут пересекаться кроме как в общих вершинах. 2. Пусть G – плоский граф. Определим отношение эквивалентности на множестве точек плоскости: объявим две точки u и v эквивалентными, если их можно соединить непрерывной, спрямляемой, без самопересечений кривой, не пересекающей ребра графа.

Pages:     | 1 |   ...   | 8 | 9 || 11 | 12 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.