WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     || 2 | 3 | 4 | 5 |   ...   | 12 |
МИНИСТЕРСТВО ОБЩЕГО И ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Московский государственный институт электроники и математики (Технический университет) В.А. Носов Комбинаторика и теория графов Утверждено Редакционно-издательским советом института в качестве учебного пособия Москва, 1999 УДК 519.1 Носов Валентин Александрович Комбинаторика и теория графов Учебное пособие Пособие содержит изложение основ комбинаторики и теории графов в соответствии с программой семестрового курса для студентов младших курсов, обучающихся по специальности "Прикладная математика" Рецензенты:

Кафедра математической теории интеллектуальных систем МГУ им. М.В. Ломоносова (зав. кафедрой профессор Кудрявцев В.Б.) профессор Строгалов А.С. (РГГУ) Электронная версия подготовлена к публикации на web-сервере "Интеллектуальные системы" (http://intsys.msu.ru) кафедры Математической теории интеллектуальных систем механико-математического факультета МГУ имени М.В. Ломоносова Все вопросы использования пособия просьба согласовывать с автором Электронный адрес автора - vnosov@intsys.msu.ru 1 Оглавление ОГЛАВЛЕНИЕ......................................................................................................... 2 ВВЕДЕНИЕ................................................................................................................ 0 ГЛАВА I. ВВЕДЕНИЕ В КОМБИНАТОРИКУ.................................................. 1 § 1. МНОЖЕСТВА. ОТОБРАЖЕНИЯ........................................................................... 1 1. Множества..................................................................................................... 1 2. Отображения................................................................................................. 3 3. Алгебра множеств......................................................................................... 5 Упражнения........................................................................................................ § 2. ПРИНЦИПЫ ПЕРЕЧИСЛЕНИЯ И ПРИМЕРЫ........................................................... Элементарные тождества.............................................................................. Упражнения...................................................................................................... § 3. БИНАРНЫЕ ОТНОШЕНИЯ.................................................................................. 1. Определения.................................................................................................. 2. Операции над отношениями....................................................................... 3. Свойства операций над отношениями...................................................... Упражнения...................................................................................................... § 4. СПЕЦИАЛЬНЫЕ КЛАССЫ БИНАРНЫХ ОТНОШЕНИЙ.......................................... 1. Отношения эквивалентности.................................................................... 2. Отношения толерантности....................................................................... 3. Отношения частичного порядка................................................................ Упражнения...................................................................................................... § 5. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОДСТАНОВОК................................................................ Упражнения...................................................................................................... § 6. ПОРОЖДЕНИЕ СОЧЕТАНИЙ И ПЕРЕСТАНОВОК................................................. ГЛАВА II. МЕТОДЫ ПЕРЕЧИСЛЕНИЯ......................................................... § 1. МЕТОД ВКЛЮЧЕНИЯ-ИСКЛЮЧЕНИЯ................................................................ § 2. МЕТОД РЕКУРРЕНТНЫХ СООТНОШЕНИЙ......................................................... § 3. ПРОИЗВОДЯЩИЕ ФУНКЦИИ И ФОРМУЛЫ ОБРАЩЕНИЯ.................................... § 4. ОБРАЩЕНИЕ МЕБИУСА................................................................................... § 5. ПЕРМАНЕНТЫ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ К ПЕРЕЧИСЛИТЕЛЬНЫМ ЗАДАЧАМ............ УПРАЖНЕНИЯ......................................................................................................... ГЛАВА III. ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ ГРАФОВ............................................... § 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ГРАФОВ........................................................... § 2. ЭЙЛЕРОВЫ ГРАФЫ........................................................................................... § 3. ГАМИЛЬТОНОВЫ ГРАФЫ.................................................................................. § 4. КРАТЧАЙШИЕ ПУТИ......................................................................................... § 5. ДЕРЕВЬЯ.......................................................................................................... § 6. ПЛАНАРНЫЕ ГРАФЫ........................................................................................ § 7. РАСКРАСКА ГРАФОВ...................................................................................... § 8. ПОТОКИ В СЕТЯХ........................................................................................... УПРАЖНЕНИЯ....................................................................................................... ЛИТЕРАТУРА...................................................................................................... ВВЕДЕНИЕ Настоящее пособие подготовлено на основе лекций по одноименному семестровому курсу, читаемому в 2-м семестре для студентов, обучающихся по специальности "Прикладная математика".

В настоящее время имеется ряд обстоятельных руководств как по комбинаторике, так и по теории графов, однако, по мнению автора, ощущается потребность в небольшом пособии, охватывающем все темы курса, ориентированном на читателя со скромной математической подготовкой.

Предлагаемое пособие отличается от известных руководств такого типа двумя существенными обстоятельствами. Изложение организуется так, чтобы кроме необходимых сведений дать материал, относящийся к приложениям и к развитию изучаемой проблематики. Уделено повышенное внимание конструктивному направлению, связанному с разработкой комбинаторных и графических алгоритмов.

Список литературы представлен в конце пособия. Нумерация утверждений и ссылок независима в каждом параграфе.

Знаки и означают начало и конец доказательства.

Автор выражает признательность всем прочитавшим рукопись пособия и сделавшим свои замечания по его улучшению.

ГЛАВА I. ВВЕДЕНИЕ В КОМБИНАТОРИКУ.

§ 1. Множества. Отображения.

1. Множества.

Основные понятия теории множеств будут играть в дальнейшем существенную роль. Понятие “множество” является первичным и неопределяемым. Предметы (объекты), составляющие данное множество, называются его элементами. Тот факт, что элемент x принадлежит множеству A записывается так: x A, в противном случае пишем x А. Для однозначного описания некоторого множества мы будем пользоваться следующими способами:

а) давать список элементов, входящих в данное множество. Если множество А состоит из элементов a1, …, an то будем писать А = { a1, …, an }.

б) указывать общее свойство элементов, принадлежащих множеству А. Будем писать А = {x P(x)}, что означает “множество всех x, таких, что выполнено P(x)”. Здесь P(x) - означает свойство, характеризующее в точности все элементы множества А.

в) указывать порождающую процедуру, т.е. способ получения элементов множества А.

г) указывать разрешающую процедуру, т.е. правило решения вопроса, верно ли x А для любого x.

Если каждый элемент множества А является элементом множества B, то А называется подмножеством множества B. (обозначение АB). Два множества А и B называются равными, если справедливо АB и BА. (обозначение А = B).

Объединение множеств А и B(обозначение - А B ) есть множество, состоящее из тех и U только тех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств А или B, т.е.

A B = {x x A или x B} U Аналогично определяется объединение произвольной системы множеств A1, …, An:

A1 … A = {x x Ai для некоторого i 1,n } U U n Пересечением множеств А и B (обозначение: А B ) называется множество, состоящее I из тех и только тех элементов, которые принадлежат обоим множествам А и B, т.е.

A B = {x x A и x B} I Аналогично определяется пересечение произвольной системы множеств A1, …, An:

A1 K An = {x x Ai для всех i 1,n } I I Разностью множеств А и B (обозначение: А\B) называется множество, состоящее из тех и только тех элементов А, которые не принадлежат B, т.е.

A\B = {x x A и x B} Если А - подмножество множества Е, то дополнение множества А в множестве Е (обозначение: A или CEA) есть множество, состоящее из тех и только тех элементов Е, которые не принадлежат А, т.е.

A = {x x E и x A} Множество, не содержащее элементов, называется пустым множеством и обозначается.

Примем следующее соглашение об обозначениях: Высказывание “из P следует Q” будем обозначать P Q. Если P Q и Q P, то используем обозначение P Q, что эквивалентно высказыванию “P справедливо тогда и только тогда, когда справедливо Q”. Высказывание “для всех x справедливо P(x)” будем обозначать x P(x), высказывание “существует x, такое, что справедливо P(x)” будем обозначать x P(x). Булеан множества А (обозначение: B(А)) есть множество всех подмножеств множества А, т.е.

B(A) = {x x A} Прямое (декартово) произведение непустых множеств А и B(обозначение: АB) определяется как множество всех упорядоченных пар вида (x1,x2), где x1 А, x2 B. Для упорядоченных пар (x1,x2), ( ) справедливо:

x1, x (x1,x2) = ( ) x1 = x1, x2 = x.

x1, x Аналогично определяется прямое произведение системы множеств A1, …, An:

A1 … An { (x1, …, xn) x1 A1, …, xn An } причем (x1, …, xn) = ( x1, …, x ) xi = x1, i 1,n n Если A1 = … = An = A, то A1… An обозначим An.

2. Отображения.

Пусть А и B непустые множества. Если каждому элементу x А ставится в соответствие единственный элемент y B, то говорят, что задано отображение F множества А в множество B(обозначение: F: А B). Говорят также, что задана функция F с областью определения А и областью значения B. При этом элемент y называется образом элемента x (обозначение: y = F(x)), а элемент x - прообразом элемента y. Отображение F: А B называется инъективным, если разным элементам из А ставятся в соответствие разные элементы из B, т.е.

F - инъективно (x1 x2 F(x1) F(x2), x1, x2 A) Отображение F: А B называется сюръективным, если каждый элемент из B является образом некоторого элемента из А, т.е.

F - сюръективно ( y B, x A Fx) = y) ( Отображение F: А B называется биективным, если оно одновременно инъективно и сюръективно. Пусть N = {1, 2, … } - множество натуральных чисел и Nn = {1, 2, …, n} - его начальный отрезок из n элементов. Пусть дано множество А и пусть существует биективное отображение множества А в множество Nn. В этом случае говорим, что мощность множества А равна n или А является n-множеством (обозначение: A = n).

Два отображения F1 : А1 B1 и F2: А2 B2 считаются равными, если A1 = A2, B1 = B2 и F1(x) = F2(x), x A. Если А = B, то отображение F: А B называется преобразованием множества А, биективное преобразование F множества А называется его подстановкой. Если A = n, то говорят, что подстановка множества А имеет степень n.

Если А является n-множеством, причем А = {x1, …, xn }, то любое отображение F: А B может быть задано в виде двустрочной таблицы x1 x2... xn F = ( ( ( Fx1) Fx2 )... Fxn ) Пусть А - конечное множество из n элементов и F - произвольное отображение множества А в себя.

Справедлива Теорема 1. Следующие утверждения равносильны:

1) Отображение F - инъективно 2) Отображение F - биективно 3) Отображение F - сюръективно.

Пусть F задано в виде двустрочной таблицы:

x1 x2... xn F:, причем А = {x1, …, xn} ( ( ( Fx1) Fx2 )... Fxn ) Пусть l0 - число элементов множества А, которые отсутствуют в нижней строке табличного задания F, l1 - число элементов множества А, которые в ней представлены точно раз, l2 - число элементов, представленных точно 2 раза и т.д.

Имеем следующие отношения:

l0 + l1 + … + ln = n a) l1 + 2l2 + … + nln = n б) В а) просуммированы все элементы, в б) просуммировано число мест в нижней строке табличного задания F.

Пусть теперь F инъективно, тогда l2 = … = ln = 0 и поэтому из а) и б) имеем l0 + l1 = n, l1 = n. Значит l0 = 0 и F - сюръективно. Отсюда получаем справедливость 1) 2) 3).

Пусть F - сюръективно. Тогда l0 = 0. Вычтем из б) соотношение а). Имеем l2 + 2l3 + … + (n-1)ln = Поскольку все li 0, то отсюда имеем l2 = l3 = … = ln = 0 и, следовательно, l1 = n, что означает, что F инъективно, т.е. справедливо 3) 1).

Иногда приходится рассматривать частичные отображения F: А B, для которых F определено только на элементах подмножества А1 A (и не определено на элементах А\A1). Приведем утверждение, известное как диагональный принцип Кантора, часто используемый для доказательства глубоких утверждений теории множеств.

Теорема 2. Пусть А - некоторое множество, F - отображение (вообще говоря, частичное) из А в его булеан B(А). Пусть AF - область определения F и пусть K = {x x AF и x F(x)} (т.е. K - множество всех элементов А, для которых F определено и которые не принадлежат своему образу при F). Тогда K не есть значение отображения F, т.е. F(x) K, x AF.

Предположим, что существует b AF, такое, что F(b) = K. Тогда либо b K, либо b K. Если, b K, K = F(b) то b принадлежит своему образу, и по условию на K, элемент b не может принадлежать K - получили противоречие. Пусть b K, K = F(b).

Тогда b не принадлежит своему образу и, следовательно, по условию на K, он принадлежит множеству K - снова получили противоречие. Таким образом, K не является значением отображения F.

3. Алгебра множеств.

Зафиксируем непустое множество E и рассмотрим его булеан B(E). Множество B(E) замкнуто относительно операций объединения, пересечения и дополнения множеств - элементов B(E). Множество B(E) вместе с введенными операциями,, - называется булевой алгеброй подмножеств множества E. Перечислим основные законы, которым подчиняются эти операции:

Pages:     || 2 | 3 | 4 | 5 |   ...   | 12 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.