WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 3 | 4 || 6 | 7 |   ...   | 10 |

t n =, (2.3.8) где - дисперсия признака, вычисленная по пробной выборке; - заданная точность результатов выборочного исследования (заданная предельная ошибка выборки); t - табличный коэффициент, соответствующий заданной надежности результатов выборочного изучения (вероятности P). Если пробная выборка мала (n<30), то при определении коэффициента t учитывается также объем пробной выборки.

Пример 4.

Для рассмотренных в примере 3 данных об урожайности зерновых культур в колхозах определим требуемый объем выборки.

Зададим предельную ошибку выборки, равную 5%, она будет равна =0,34, тогда, подставляя в формулу (6.8) значения t=2,26; =1,37 и, получим n=86. Таким образом, для определения средней урожайности зерновых в колхозах с вероятностью 95% и точностью 5% необходимо произвести выборку, объемом 86 единиц.

2.4. Корреляционный анализ В реальной исторической действительности существует диалектическое взаимодействие и взаимообусловленность во всех явлениях и процессах. При этом часто воздействие одних признаков на другие осуществляется столь скрыто и опосредованно, что уловить его без специального методического инструментария практически невозможно. Решить эту задачу позволяют хорошо разработанные в статистике методы корреляционного и регрессионного анализа.

Зависимости, которые присущи объективным явлениям природы и общества, делятся на функциональные и статистические.

Функциональная зависимость – это взаимосвязь между признаками, при которой каждому значению одного признака соответствует единственное значение другого признака.

Простейшей формой функциональной связи является линейная зависимость, которая характеризуется уравнением:

y = ax + b. (2.4.1) Другими формами функциональной зависимости, применяемыми в статистическом анализе, являются парабола ( y = ax2 + bx + c ), гипербола k ( y = ), логарифмическая функция ( y = a lg x ), экспонента ax + b ( y = keax, k > 0, a > 0 ).

Функциональная зависимость предполагает изолированность взаимосвязанных признаков от воздействия других факторов. Но такая ситуация в явлениях общественной жизни практически не встречается. Здесь на связь между признаками влияет множество других факторов, и она проявляется лишь в тенденции, «в среднем». Такая зависимость называется статистической, или корреляционной.

Статистическая (корреляционная) зависимость – это взаимосвязь между признаками, при которой одному и тому же значению одного признака могут соответствовать различные значения другого признака.

Для выявления степени статистической зависимости между признаками используются методы корреляционного анализа.

Корреляционный анализ – совокупность методов математической статистики, позволяющих обнаружить корреляционную зависимость между случайными величинами или признаками и оценить значимость этой связи.

Теснота связи определяется коэффициентом корреляции.

Основной мерой связи в корреляционном анализе является линейный коэффициент корреляции, который измеряет степень линейной зависимости между признаками.

Парный линейный коэффициент корреляции определяет тесноту связи между двумя признаками и рассчитывается по формуле:

n (x - x)( yi - y) i i=r =, (2.4.2) n n (x - x)2( yi - y)i i=1 i=где xi, yi - значения признаков x и y для i-го объекта; n - число объектов;

x, y - средние арифметические значения признаков x и y.

Линейный коэффициент корреляции может принимать значения от -до +1. Чем ближе величина коэффициента корреляции к предельным значениям, тем теснее взаимосвязь между признаками. Равенство коэффициента нулю свидетельствует об отсутствии линейной связи между признаками. Если коэффициент корреляции равен +1 (или -1), то между признаками существует прямая (или обратная) функциональная зависимость.

При содержательном анализе взаимосвязей часто необходимо не только оценить тесноту связи между изучаемыми признаками, но и определить степень воздействия одного признака на другой. Для решения этой задачи используется коэффициент детерминации.

Коэффициент детерминации – показатель, определяющий долю (в процентах) изменений, обусловленных влиянием факторного признака, в общей изменчивости результативного признака:

D = r2100%, (2.4.3) где r - коэффициент корреляции.

Пример 5.

Определим степень корреляционной зависимости между доходом и размерами помещичьего хозяйства в России на рубеже XIX-XX вв. по сведениям о размерах (в десятинах) и доходах (в тыс. руб.) десяти помещичьих имений7.

Данные взяты из книги Миронова Б.Н. История в цифрах. Л., 1991. С.67.

Априори ясно, что доходность имения росла вместе с увеличением его размеров. Однако доходность имения, помимо его размеров, определялась еще качеством земли, состоянием хозяйства, деловыми способностями его владельца, близостью рынка, уровнем агротехники и другими факторами.

Поэтому интересно узнать, насколько все-таки доходность определялась именно размерами имения.

Исходные данные (xi - размеры имения в десятинах, yi - доход имения в тыс. руб.) и промежуточные вычисления запишем в таблице:

xi yi xi - x yi - y - x)2 (yi - y)( yi - y )( xi - x ) (xi 1 240 1,50 -50 -0,10 2500 0,01 5,2 255 1,25 -35 -0,35 1225 0,1225 12,3 265 1,55 -25 -0,05 625 0,0025 1,4 270 1,40 -20 -0,20 400 0,04 4,5 285 1,45 -5 -0,15 25 0,0225 0,6 295 1,60 5 0 25 0 7 310 1,80 20 0,20 400 0,04 4,8 320 1,80 30 0,20 900 0,04 6,9 325 1,85 35 0,25 1225 0,0625 8,10 330 1,90 40 0,30 1600 0,09 12,54,0 54,Получим: x = 290; y =1,60; r = = 0,87; D = r2100% = 76%.

61,8925 0,Таким образом, доход имения примерно на 76% объясняется и обусловливается его размерами и на 24% - другими факторами.

Коэффициент корреляции рассчитывается, как правило, для выборочных данных, поэтому существуют приемы проверки значимости вычисленного коэффициента корреляции для всей генеральной совокупности.

Рассмотрим, как определяется значимость парного линейного коэффициента корреляции для случая малой выборки (практически для n<50 ):

1) вычисляется статистическая характеристика t, подчиняющаяся закону распределения Стьюдента, по формуле:

r n - t =, (2.4.4) 1 - rгде r - вычисленный выборочный коэффициент корреляции; n - объем выборки.

tф tкр 2) сравнивается с табличной, или критической, величиной, заP висящей от числа k = n - 2 и от заданной вероятности :

а) если, то можно сделать вывод о наличии связи;

tф t кр б) если, то гипотеза об отсутствии связи не отклоняется.

tф < t кр Пример 6.

Проверим значимость коэффициента корреляции, вычисленного в пяtф том примере. Вычислим по формуле (2.4.4):. Зададим вероt 5,ф ятность P = 0,99, найдем для этой вероятности табличное значение tкр = 3,36, получаем tф > tкр.

Таким образом, с вероятностью 99% связь между доходностью и размерами помещичьих имений существует.

Зависимость между тремя и большим числом признаков изучается методами многомерного корреляционного анализа с помощью вычисления частных и множественных коэффициентов корреляции8.

2.5. Регрессионный анализ Анализ статистической зависимости предполагает не только оценку тесноты связи между признаками, но и выявление ее формы. Эта задача решается методами регрессионного анализа.

Регрессионный анализ – это совокупность методов математической статистики, позволяющих определить форму связи между результативным и факторным признаками, установленной корреляционным анализом. Корреляционная связь описывается с помощью уравнения регрессии.

Уравнение регрессии – это описание корреляционной связи с помощью подходящей функции.

Простейшее уравнение линейной регрессии имеет вид:

y = ax + b, (2.5.1) где x - факторный признак; y - результативный признак; a и b - параметры уравнения, которые могут быть найдены методом наименьших квадратов по формулам:

n n n n xi yi - xi yi i=1 i=1 i=a =, b = y - ax, (2.5.2) n n n xi2 - ( xi ) i=1 i=xi, yi - i -е значение признаков x и y соответственно; - средние x, y где арифметические признаков x и y; n - число значений признаков x и y.

О множественной и нелинейной корреляции см.: Количественные методы в исторических исследованиях. М., 1984. Гл. 6. §2, 4.

Коэффициент a называется коэффициентом регрессии. Он показывает, на какую величину в среднем изменяется результативный признак y при изменении факторного признака x на единицу.

Если коэффициент регрессии положительный, то между результативным и факторным признаками наблюдается прямая зависимость: с ростом значения факторного признака значение результативного признака растет, и, наоборот, с уменьшением значения факторного признака значение результативного признака уменьшается. Если же коэффициент регрессии отрицательный, между признаками наблюдается обратная связь: с ростом значения факторного признака значение результативного признака уменьшается, и, наоборот, с уменьшением значения факторного признака значение результативного признака растет.

Метод наименьших квадратов позволяет выбрать «наилучшую» среди всех возможных прямых в том смысле, что она проходит «ближе всего» к точкам диаграммы рассеяния - изображения объектов как точек на плоскости двух признаков.

Пример 7.

Найдем уравнение линейной регрессии, описывающее корреляционную связь между размерами и доходом помещичьего имения по данным примера 5. Запишем промежуточные вычисления в таблице:

xi yi xi yi xi1 240 1,50 360,00 2 255 1,25 318,75 3 265 1,55 410,75 4 270 1,40 378,00 5 285 1,45 413,25 6 295 1,60 475,00 7 310 1,80 558,00 8 320 1,80 576,00 9 325 1,85 601,25 10 330 1,90 627,00 2895 16,1 4715,0 Вычислим параметры a и b по формулам (2.5.2):

10 4715 - 289516,a = = 0,00606, b=1,61–0,00606·290= –0,1474.

10 847025 - Уравнение линейной регрессии примет вид: y=0,00606x–0,1474. Коэффициент регрессии в этом уравнении, равный 0,00606, означает, что при возрастании размеров имения на единицу, т.е. на 1 десятину, доход имения возрастает на 0,00606 тыс. рублей, или на 6,06 рублей. С помощью уравнения регрессии можно предсказать примерный доход имения любых размеров.

Изобразим графически диаграмму рассеяния по данным десяти имений и прямую регрессии, описываемую полученным уравнением линейной регрессии (рис. 3).

1,1,1,1,1,1,1,1,1,240 255 265 270 285 295 310 320 325 размеры имения (в дес.) Рис. 3. График зависимости дохода помещечьего имения от его размеров Прямая регрессии показывает тенденцию в изменении дохода имения в зависимости от его размеров.

Мы рассмотрели лишь наиболее простую форму связи между двумя признаками - линейную. Однако, во-первых, зависимости между признаками могут принимать самые разнообразные формы, а, во-вторых, при более полном анализе взаимосвязей необходимо учитывать, что на результативный признак обычно влияет не один фактор, а несколько. Выявить форму связи между результативным признаком и несколькими факторными признаками позволяет множественный регрессионный анализ9.

Подробнее о методах регрессионного анализа см.: Количественные методы в исторических исследованиях. Гл. 6. §3, 4.

имения ( тыс руб доход в.

.) 2.6. Кластерный анализ Важнейшей задачей исторической науки является классификация изучаемых объектов и явлений. Традиционно такая классификация сводится к группировке объектов на основе одного (двух-трех) признаков. Однако современные методы многомерного статистического анализа и компьютерные технологии позволяют учитывать при группировке все существенные структурно-типологические признаки (их может быть несколько десятков).

Методы, на основе которых все схожие объекты можно собрать в одну группу, и при этом объекты из разных групп будут существенно отличаться, составляют совокупность методов автоматической классификации (кластерного анализа, таксономии).

Кластерный анализ – совокупность методов, составляющих раздел многомерного статистического анализа, с помощью которых осуществляется построение многомерной классификации объектов. Основная идея кластерного анализа заключается в последовательном объединении группируемых объектов по принципу наибольшей близости – схожести свойств. Процедура построения классификации состоит из последовательности шагов, на каждом из которых производится объединение двух ближайших групп объектов (кластеров10).

Рассмотрим агломеративно-иерархический метод кластерного анализа.

Пусть существует n объектов, каждый из которых характеризуется набором из m признаков. Каждый из этих объектов может быть представлен точкой в m-мерном пространстве признаков. О сходстве объектов можно судить по расстоянию между соответствующими точками: чем ближе точки расположены друг к другу, тем более схожи их свойства. Евклидово расстояние между точками определяется формулой:

m dij = (i, j = 1,2,…,n), (2.6.1) (x - x )ik jk k =dij xik где - евклидово расстояние между i-м и j-м объектами; - значение k-го признака для i-го объекта.

Подсчитав значения расстояний для всех пар объектов, получим квадратную симметричную матрицу D размером nn (dij = d, dii =0). На осji нове матрицы D можно вычислить расстояния между кластерами. Близость двух кластеров определяется как среднее значение расстояния между всеми такими парами объектов, где один объект пары принадлежит к одному кластеру, а другой - к другому:

Кластер (англ. cluster - гроздь, скопление) – группа объектов, характеризующихся общими свойствами.

dij Dpq =, (2.6.2) n nq iX jX p p q Dpq X где - мера близости между p-м и q-м кластерами; - p–й кластер;

p X np, nq - q-й кластер; - число объектов в p-м и q-м кластерах соответq ственно.

На первом шаге процедуры построения классификации в матрице расстояний D выбирается минимальное расстояние между объектами и объекты, находящиеся друг от друга на этом расстоянии, объединяются в один кластер. В матрице вычеркиваются строка и столбец, соответствующие первому из этих объектов, а расстояния от полученного кластера до всех остальных объектов вычисляются по формуле (2.6.2) и заносятся в строку и столбец матрицы расстояний, соответствующие второму объекту из первого кластера.

На втором шаге в матрице, содержащей уже n-1 строк и столбцов, снова выбирается минимальное расстояние и формируется новый кластер.

Этот кластер может быть построен в результате объединения либо двух объектов, либо одного объекта с первым кластером. В матрице вычеркиваются строка и столбец и пересчитываются расстояния до второго кластера, и т.д.

Таким образом, процедура агломеративно-иерархического метода кластерного анализа состоит из n-1 аналогичных шагов, на каждом из которых происходит объединение двух ближайших кластеров (на первых шагах – объектов). В конце этой процедуры, на (n-1)-м шаге, получается кластер, объединяющий все n объектов.

Pages:     | 1 |   ...   | 3 | 4 || 6 | 7 |   ...   | 10 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.