WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 3 | 4 ||

Динамические уравнения (3.19) связывают в дифференциальной форме угловую скорость твердого тела с моментом действующих на тело сил. В совокупности с кинематическими уравнениями, записанными в той или иной форме, они образуют замкнутую систему уравнений вращательного движения твердого тела. Интегрирование этой системы дает закон движения твердого тела в зависимости от момента действующих на тело сил и начальных условий движения.

Рассмотрим сначала случай Эйлера, который определяется условием = 0, и называется движением твердого тела O по инерции. В этом случае правые части в динамических уравнениях Эйлера равны нулю, и эти уравнения имеют два интеграла движения (закона сохранения). Один является следствием сохранения кинетического момента и имеет вид 2 2 2 p2 + q2 + C r2 = = const.

O Второй описывает сохранение кинетической энергии:

p2 + q2 + Cr2 = 2 = const.

Приведенные два закона сохранения позволяют выразить две компоненты угловой скорости через третью, затем подставить полученные выражения в соответствующее уравнение Эйлера и получить решение для компонент угловой скорости в виде квадратуры. Далее полученное решение для угловой скорости поставляется в кинематические уравнения, решение которых в рассматриваемом случае тоже удается свести к квадратурам.

Таким образом, в рассматриваемом случае Эйлера уравнения вращательного движения твердого тела интегрируются при любых начальных условиях. Однако получаемое при этом решение является достаточно сложным для понимания закономерностей движения твердого тела, поскольку оно представляется сложным образом через эллиптические интегралы. Для восполнения указанного недостатка используются геометрические интерпретации рассматриваемого движения, наиболее известными из которых являются геометрические интерпретации Пуансо и Мак-Куллага. Указанные интерпретации основываются на использовании записанных выше законов сохранения и подробно изложены в монографии В.Ф.Журавлева «Основы теоретической механики».

Анализ движения твердого тела существенно упрощается, если имеет место динамической симметрии твердого тела, под которой понимается равенство двух главных моментов инерции твердого тела: = C. В этом случае вектор угловой скорости твердого тела всегда можно разложить на направление кинетического момента O и направление оси динамической симметрии e3 следующим образом ( pe1 + qe2 ) + Cre3 + (A - C)re =.

(A - C) O == + re3, (3.20) а скорость оси симметрии подчиняется уравнению O e3 = e3 = e3. (3.21) В рассматриваемом случае Эйлера вектор кинетического момента сохраняется и по величине и по направлению. Не меняется также и проекция r угловой скорости тела на ось динамической симметрии, что следует из третьего уравнения системы (3.19), которое в рассматриваемом случае приобретает вид Cr = 0. Наконец, остается постоянным угол между осью динамической симметрии и вектором кинетического момента, поскольку выполняется равенство,e3 = Cr = cos = const.

O O Из установленных фактов заключаем, что исследуемое движение представляет собой регулярную прецессию вокруг направления кинетического момента (рис. 13), параметры которой определяются соотношениями Cr А-С 1 =, 2 = re3, cos =.

А O Данное движение твердого тела представляется в виде комбинации двух вращений. Первым является вращение вокруг неподвижного направления кинетического момента с постоянной угловой скоростью прецессии 1. Второе представляет собой вращение вокруг неподвижной в теле оси динамической симметрии с постоянной по величине угловой скоростью собственного вращения 2.

e Рис. В большинстве прикладных задач, связанных с движением динамически симметричного твердого тела с неподвижной точкой, главным является вопрос о движении оси динамической симметрии e3, которую в дальнейшем будем обозначать символом e без индекса.

Для получения уравнения движения оси динамической симметрии обозначим через экваториальную составляющую угловой скорости твердого тела, т.е.

= pe1 + qe2. Тогда имеем e = e = e, откуда в силу ортогональности и e получаем = e e, а вектор кинетического момента тела относительно неподвижной точки (или центра масс) записывается в виде O = + Cre = e e + e, = Cr.

Отсюда по теореме об изменении кинетического момента получаем уравнение движения оси динамической симметрии:

e e + e + e =. (3.22) Полученное уравнение, как и динамические уравнения Эйлера, применимо как для движения твердого тела с неподвижной точкой, так и для его движения относительно системы Кенига, движущейся поступательно относительно инерциальной системы отсчета. В последнем случае движение центра масс тела относительно инерциальной системы может быть совершенно произвольным, т.е. уравнения движения твердого тела относительно системы Кенига не зависят от движения центра масс тела и совпадают с уравнениями движения твердого тела с неподвижной точкой C.

Рассмотрим теперь случай Лагранжа, в котором изучается движение динамически симметричного тела (волчка) с неподвижной точкой в однородном поле тяжести (рис. 14).

При этом предполагается, что центр тяжести волчка лежит на оси симметрии на расстоянии l от неподвижной точки.

Для этого случая уравнение (3.22) принимает вид e e + e + e = mgl i e. (3.22*) Это уравнение имеет следующие интегралы движения:

= Cr = const, e e,i + e,i = O,i = const. (3.23) (e e)2 + 2mgl i,e = 2 + 2 = const.

Первый из записанных интегралов движения получается скалярным умножением уравнения (3.22*) на e и означает неизменность проекции кинетического момента на ось симметрии.

i e C mg Рис. Второй получается скалярным умножением уравнения (3.22*) на i и означает неизменность проекции кинетического момента на вертикаль. Третье соотношение описывает закон сохранения полной энергии и получается скалярным умножением уравнения (3.22*) на e e. При этом в нем фигурирует только та часть кинетической энергии волчка, которая отвечает экваториальной составляющей угловой скорости :

2 = = (e e)2 = (e)2.

Эта часть кинетической энергии может изменяться во время движения волчка, в то время как слагаемое Cr неизменно.

С учетом первого из интегралов (3.23) уравнение движения оси волчка принимает вид e e + e = mgl i e. (3.22*) Интегралы движения (3.23) будем использовать для анализа движения оси динамической симметрии. Константы в правых частях уравнений (3.23) определяются начальными условиями движения.

Положение оси e зададим углами и (рис. 14), где – угол отклонения оси e от вертикали (угол нутации), а – угол поворота вокруг вертикали (угол прецессии).

Рассмотрим случай, когда волчок начинает движение из положения, а ось e неподвижна (e(0) = 0 ). Тогда интегралы движения (3.23) запишутся в виде ( 2 + 2 sin2 ) = 2mgl(cos0 - cos ), (3.23*) sin2 = (cos0 - cos ).

Выразив из второго уравнения и подставив в первое, получим уравнение движения по углу нутации:

u2 + (cos0 - u)2 - (1- u2)(cos0 - u) = 0, (3.24) 2mgl где u = cos, =, =.

Из этого уравнения следует, что движение может происходить только для тех значений угла, которые удовлетворяют неравенству (cos0 - u)2 - (1- u2 )(cos0 - u) 0. (3.25) f (u) –1 0 u1 u2 +1 u Рис. Левая часть полученного неравенства представляет собой многочлен третьей степени относительно u = cos, [-1,+] график которого изображен на рис. 15. На отрезке возможных значений u многочлен имеет два вещественных корня, один из которых u2 = cos0 соответствует наибольшему значению u, а второй корень u1, отвечающий наименьшему значению u, является левым корнем уравнения u1 = cos0 - (1-u1 ).

(3.26) [ ] На границах отрезка u1,u2 скорости u и равны нулю, а во всех внутренних точках этого отрезка отличны от нуля. При этом для второй производной на границах отрезка выполняются неравенства u(u2 ) < 0, а u(u1) > 0.

Поэтому движение волчка происходит таким образом, что косинус угла нутации периодически изменяется между минимальным значением u1 и максимальным значением u2.

Поскольку в силу (3.23) угловая скорость прецессии является однозначной функцией угла, то она также является периодической функцией с тем же самым периодом, что и для угла. Поэтому поведение оси волчка имеет вид, изображенный на рис. 16,а траекторией конца единичного вектора e на единичной сфере. В верхних точках заострения траектории ось останавливается, а в нижних точках траектории скорость оси максимальна и обусловлена только угловой скоростью прецессии, поскольку в этих точках (u ) = 0.

Если начальные условия движения задать так, что при (0) = 0, (0) = 0, (0) 0, то получающиеся при этом траектории оси динамической симметрии изображены на рис.

16,в и 16,с. В случае в), который соответствует условию (0) > 0, траектория является гладкой кривой, причем для каждой точки этой траектории скорость прецессии положительна. В случае с), для которого (0) < 0, траектория является петлеобразной, а скорость прецессии во время движения меняет знак, так что в нижних точках траектории скорость прецессии положительна, а в верхних точках отрицательна.

i i i а) в) с) Рис. Для начальных условий, заданных соотношениями ± -4mgl cos (0) = 0, (0) = 0, (0) =, 2 cosтраектория оси симметрии превращается в окружность на единичной сфере, соответствующую углу нутации = 0.

При этих условиях скорость прецессии остается постоянной (t) = (0), а движение волчка представляет собой регулярную прецессию вокруг вертикали.

Неравенство (3.25) позволяет определить условие устойчивости вертикального положения волчка. В этом случае cos0 = 1 и неравенство (3.25) принимает вид (1- cos )2 (1- (1+ cos )) 0.

Отсюда следует, что при выполнении условия 2 1, т.е.

4mgl неравенство выполняется только при cos = 1, т.е. единственно возможным является вертикальное положение волчка.

Более детально можно проанализировать движение «быстрого» волчка, который определяется условием <<1, т.е. >> 2mgl. Предполагая снова, что волчок начинает движение из состояния покоя ( = 0, = 0 ), получаем, что нижняя граница значений u = cos приближенно оценивается величиной u1 cos0 - sin20, т.е.

движение происходит в узком диапазоне значений угла нутации, определяемом неравенством cos0 - sin2 0 cos cos0.

Дифференцируя уравнение (3.24) по времени с последующим сокращением на u и отбрасывая члены второго порядка малости, получаем линеаризованное уравнение u + (u - cos0) + sin2 0 = 0.

Отсюда с учетом начальных условий получаем cos - cos0 = sin2 0 (cos t -1).

На основе полученного решения из второго уравнения системы (3.23*) находим приближенное решение для угловой скорости прецессии:

mgl = (1- cos t) = (1- cos t).

2 Из последнего уравнения следует, что среднее значение угловой скорости прецессии дается равенством = mgl, а среднее движение оси волчка определяется уравнением = mgl i e =.

O (3.27) Соотношение (3.27) объясняет основное допущение приближенной теории «быстрого» волчка (гироскопа), в соответствии с которым кинетический момент гироскопа считается сосредоточенным на оси симметрии ( O e ).

Это предположение эквивалентно отбрасыванию первого слагаемого в уравнении (3.22*), определяющем движение оси симметрии. В результате получается, что скорость оси симметрии направлена по моменту действующих сил и определяется уравнением (3.27). Однако из проведенного анализа ясно, что уравнение (3.27) описывает только среднее движение оси гироскопа, поскольку в отдельные моменты времени скорость оси может существенно отличаться от величины, определяемой уравнением (3.27).

Мы проанализировали движение «быстрого» волчка для случая, когда в начальный момент времени скорость оси волчка равна нулю. Результаты остаются в силе и при ненулевой начальной скорости оси волчка, если эта скорость удовлетворяет сильному неравенству e(0) <<. Это условие очевидно означает, что в начальный момент времени экваториальная составляющая кинетического момента мала по сравнению с его осевой составляющей.

Соотношение (3.27) объясняет присущее быстрому гироскопу свойство гироскопической «жесткости», которая проявляется в том, что при малых значениях возмущающего момента ось чувствительности гироскопа (ось симметрии) остается практически неподвижной. На этом свойстве основано применение свободного гироскопа (т.е. гироскопа с тремя степенями свободы) в качестве указателя неизменного направления в инерциальном пространстве.

Pages:     | 1 |   ...   | 3 | 4 ||



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.