WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 2 | 3 || 5 |

Каждое конкретное решение уравнений Пуассона получается из общего решения (2.33) заданием начальных условий. Если, например, положить (0) = 1, то решение (t) будет определять текущее положение твердого тела относительно его начального положения в момент t = 0.

Простейшим движением твердого тела является вращение вокруг неподвижной оси, т.е. когда вектор угловой скорости имеет вид = e (t), где e – неизменный единичный вектор. В этом случае решение уравнения (2.14), удовлетворяющее условию (0) = 1, находится следующим образом t (t) (t) (t) = cos + e sin, где (t) = )d.

( 2 В некоторых случаях проинтегрировать кинематические уравнения Пуассона удается с помощью метода сложного движения, представляя движение твердого тела в виде комбинации нескольких простых интегрируемых движений.

Рассмотрим для примера случай прецессионного движения твердого тела, определяемый как такое движение твердого тела с неподвижной точкой, при котором некоторая ось e тела совершает движение по поверхности неподвижного кругового конуса (рис. 11). В этом случае, как нетрудно убедиться, вектор угловой скорости твердого тела раскладывается на ось конуса i и ось тела e следующим образом = 1 + 2 = 1(t) i + 2 (t) e.

Составляющие 1 и 2 называются, соответственно, угловой скорость прецессии и угловой скоростью собственного вращения. Они равны соответствующим производным от углов Эйлера 1 =, 2 = (рис.3), если систему отсчета и связанный с телом базис выбрать так, что i3 = i, e3 = e. Угол нутации между осями i и e при этом не меняется.

Если составляющие 1 и i e 2 постоянны, то такое движение называется регулярной прецессией.

1 Введем вспомогательный базис, который Рис. 11 вращается относительно неподвижного базиса с угловой скоростью 1. Тогда положение базиса относительно задается кватернионом t 1 1 = cos + i sin, 1 = ( )d, i = 1.

2 Связанный с телом базиса движется относительно с угловой скоростью 2 = 2e. Так как ось e в базисе неподвижна, то кватернион 2, задающий положение базиса относительно, имеет вид t 2 2 = cos + e sin, 2 = ( )d, e =1.

2 Применяя теперь формулу сложения поворотов (2.17), находим кватернион, задающий положение относительно :

= 1 = (cos1 + i sin1) (cos2 + e0 sin2 ), 2 2 2 0 ~ где e = 1 e 1 – отображение вектора e из базиса в базис, представляющее собой начальное положение оси e в момент t = 0.

Упражнения 1. Пусть R = r0 + r – некоторый кватернион. Показать, что преобразование R = R -1 не изменяет скалярной части кватерниона R, а его векторная часть поворачивается вокруг оси на угол = 2arccos( ).

2. Показать, что преобразование r = e r e, e = представляет собой зеркальное отражение вектора r относительно плоскости, перпендикулярной e. Показать также, что последовательность двух зеркальных отражений относительно двух плоскостей эквивалентна повороту вокруг линии пересечения этих плоскостей на двойной угол между ними.

3. Перемещение твердого тела с неподвижной точкой задается двумя последовательными поворотами вокруг осей и. Показать, что перемещение будет тем же самым, 1 если вначале выполнить второй поворот вокруг оси, а затем первый вокруг оси, полученной из вторым 1 поворотом.

4. С твердым телом связана правая прямоугольная тройка векторов e1,e2,e3. Перемещение тела задается тремя последовательными поворотами: вокруг оси e1 на угол 1, вокруг оси e2 на угол 2 и вокруг оси e3 на угол 3.

Найти ось и угол результирующего поворота твердого тела.

5. Последовательными поворотами вокруг собственных осей тело повернули на угол 1 вокруг оси e1 и на угол вокруг оси e2. Другое тело из того же начального положения повернули сначала вокруг оси e2 на угол 2, а затем вокруг оси e1 на угол 1. Определить относительное положение тел в параметрах Родрига-Гамильтона.

6. Показать, что из постоянства направления вектора угловой скорости твердого тела в неподвижной системе координат следует постоянство направления этого вектора в связанной с телом системе координат и наоборот.

7. Показать, что если движение твердого тела относительно некоторой системы отсчета является прецессией, то движение этой системы отсчета относительно тела также является прецессией. Найти связь между параметрами этих прецессий.

3. Динамика твердого тела.

Геометрия масс твердого тела. Тензор инерции и эллипсоид инерции. Получим формулу для момента импульса (кинетического момента) твердого тела относительно произвольного полюса. В соответствии с определением имеем = miVi, (3.1) r i i где Vi – скорость i-й точки тела относительно рассматриваемой системы отсчета, а ri – вектор, соединяющий полюс с i-й точкой тела (рис. 12).

miVi ri i C rC Рис. Обозначим через VO скорость той точки тела, которая в данный момент совпадает с полюсом. Тогда, используя формулу Эйлера для распределения скоростей в твердом теле Vi = VO + ri, получаем O = m rC VO + ri ( ri ), (3.2) m i i где m – масса тела, а rC – радиус-вектор центра масс C.

Если с т связать некоторый ортонормированный елом базис exeyez и рассматривать ri и как векторыстолбцы с компонентами xi, yi, zi и x,,z, то y выражение под знаком суммы можно записать с помощью матричных операций следующим образом m ri ( ri ) = m (ri,ri ) - miri (ri,) = i i i i (3.3) = (ri ri - ri ri ) = JO, m i i где – единичная матрица, – знак транспонирования, а Jxx Jxy Jxz JO = (ri ri - ri ri ) = J J J (3.4) – m yx yy yz i i Jzx Jzy Jzz тензор инерции твердого тела относительно выбранного базиса exeyez. Элементы этого тензора инерции определяются следующими выражениями:

J = ( yi2 + zi2 ), J = J = - xi yi, m m xx i xy yx i i i J = (zi2 + xi2 ), J = J = - yi zi, m m yy i yz zy i i i J = (xi2 + yi2 ), J = J = - zi xi.

m m zz i zx xz i i i Из приведенных соотношений следует, что тензор инерции является симметричной матрицей, зависящей от расположения точек тела относительно выбранного базиса.

Диагональные элементы этой матрицы представляют собой моменты инерции относительно осей Oex,Oey,Oez, а остальные называются центробежными моментами инерции.

Заметим, что если в определяющем тензор инерции соотношении (3.3) заменить вектор на любой другой вектор µ, то получим аналогичное равенство:

m ri (µ ri ) = JO µ. (3.5) i i Поэтому тензор инерции можно рассматривать как матричный оператор, который задает преобразование любого вектора µ по формуле (3.5).

Через тензор инерции JO можно определить момент инерции тела относительно любой оси, проходящей через точку. Обозначая через e единичный вектор, указывающий направление оси, получаем JOe = (ri e,ri e) =.e, ri (e ri ) m m i i i i Отсюда в силу (3.5) следует формула JOe = e JO e. (3.6) Определим закон преобразования тензора инерции при повороте базиса. Поворот от базиса к другому базису представляет собой ортогональное преобразование, при котором каждый вектор ri преобразуется в вектор ri по формуле ri = S ri, где S – ортогональная матрица.

Подставляя эти выражения в (3.4), получаем JO = (ri S Sri - Sri ri S ) = S JO S m i i Отсюда находим искомый закон преобразования тензора инерции твердого тела при повороте базиса:

JO = S JO S. (3.7) Из полученного выражения следует, что при повороте базиса формула преобразования тензора инерции совпадает с формулой преобразования матрицы квадратичной формы r J r. Поэтому на основе известного факта из курса линейной алгебры о приводимости любой квадратичной формы к диагональному виду заключаем, для любой точки твердого тела существует базис e1e2e3, в котором тензор инерции твердого тела имеет диагональный вид:

0 JO = 0 0. (3.8) 0 0 C Оси указанного базиса e1,e2,e3 называются главными осями инерции твердого тела для рассматриваемой точки, а моменты инерции,,C относительно главных осей – главными моментами инерции.

Заметим, что направления главных осей инерции твердого тела относительно некоторого базиса определяется собственными векторами тензора инерции, записанного в этом базисе, а главными моментами инерции являются соответствующие собственные числа тензора инерции.

Главные моменты инерции твердого тела положительны (кроме случая, когда тело представляет собой совокупность точек, лежащих на одной прямой, а рассматриваемая точка принадлежит этой прямой; в этом случае один из главных моментов инерции равен нулю). Поэтому тензор инерции является положительно-определенной матрицей.

Для каждой точки твердого тела вводится понятие эллипсоида инерции, который определяется как множество точек, удовлетворяющих уравнению r JO r = 1. (3.9) Уравнение (3.9) определяет поверхность второго порядка, которая действительно является эллипсоидом в силу положительной определенности тензора инерции. При этом главные оси эллипсоида инерции совпадают с главными осями инерции твердого тела для рассматриваемой точки.

Поскольку эллипсоид инерции неподвижен в теле, то анализ движения тела можно свести к анализу движения его эллипсоида инерции. Этот прием используется в некоторых задачах для геометрической интерпретации движения тела.

Определим расстояние rOe от центра эллипсоида до его поверхности в направлении, задаваемом н единич ым вектором e. Записывая вектор r в виде r = rOee и подставляя это выражение в (3.9), получаем с учетом (3.6) следующее соотношение rOe e JO e = 1. rOe =, (3.10) JOe т.е. размер эллипсоида в заданном направлении обратно пропорционален квадратному корню от момента инерции твердого тела относительно этого направления.

Определим теперь закон преобразования тензора инерции при параллельном переносе базиса. При этом рассмотрим случай, когда первый базис C exeyez имеет начало в центре масс т вердого тела, а положение параллельного ему базиса O exeyez задано вектором O = -rC (рис. 12), определяющим положение точки O в базисе C exeyez.

Тогда, обозначая через i = ri + O радиус-вектор i-й точки тела в базисе C exeyez, получаем из (3.4):

JO = (i i - i i ) +m(O O - O O )m i i - (i O - i O ) - (O i - O i ).

m m i i i i Последние две суммы в полученном выражении равны нулю в силу определения центра масс твердого тела, а первая сумма является по определению тензором инерции твердого тела относительно центрального базиса C exeyez. Поэтому формула преобразования тензора инерции при параллельном переносе базиса из центра масс приобретает вид JO = JC + m(O O - O O ). (3.11) Полученный результат уместно назвать теоремой Гюйгенса-Штейнера для тензора инерции, поскольку из (3.11) следует известная теорема Гюйгенса-Штейнера для осевых моментов инерции. Формулу (3.11) легко запомнить, если обратить внимание, что второе слагаемое в этой формуле представляет собой тензор инерции точки с массой m, находящейся в положении.

Вернемся теперь к вычислению кинетического момента твердого тела. Из соотношений (3.2) и (3.3) получаем, что кинетический момент твердого тела относительно произвольного полюса определяется следующей формулой:

O = mrC VO + JO. (3.12) Если точка твердого тела неподвижна или совпадает с центром инерции, то формула (3.12) приобретает вид O = JO. (3.13) Обозначая через p,q,r – проекции угловой скорости твердого тела на главные оси инерции e1,e2,e3, получаем из (3.13) следующее выражение для кинетического момента тела относительно неподвижной точки или центра инерции:

O = pe1 + qe2 + Cre3. (3.14) Для вычисления кинетической энергии твердого тела рассмотрим сначала случай, когда некоторая точка тела неподвижна в системе отсчета. Тогда имеем 2 = (Vi,Vi ) = ( ri, ri ) = m m i i i i =, ri ( ri ) = O = JO.

m i i Отсюда получаем для кинетической энергии твердого тела с неподвижной точкой следующую формулу 1 = JO = (p2 + q2 + Cr2 ), (3.15) 2 где,,C – главные моменты инерции твердого тела для неподвижной точки, а p,q,r – проекции угловой скорости твердого тела на главные оси инерции.

Кинетическая энергия твердого тела может быть найдена также по теореме Кенига, в соответствии с которой 2 отн T = mVC + T, отн где T – кинетическая энергия тела относительно системы Кенига (системы с началом в центре масс тела, движущейся поступательно относительно исходной системы отсчета).

Поскольку движение твердого тела относительно системы Кенига представляет собой движение с неподвижной точкой C, то применяя формулу (3.15), получаем 1 1 = m VC + JC, (3.16) 2 где JC – тензор инерции твердого тела для центра масс.

Динамические уравнения твердого тела. Динамические уравнения твердого тела легко получить из теоремы об изменении кинетического момента, которая в любой инерциальной системе отсчета имеет следующий вид пол O = + mVC VO, (3.17) O где – момент внешних сил относительно полюса, а O пол VC и VO – скорость центра масс и скорость полюса относительно рассматриваемой системы отсчета. Если полюс неподвижен в системе отсчета или совпадает с центром масс, теорема принимает упрощенный вид:

O =. (3.18) O С другой стороны для случая, когда полюс совпадает с неподвижной точкой тела или с центром инерции, для кинетического момента относительно этого полюса имеет место формула (3.13), которая в главных осях инерции имеет вид (3.14). Подставляя эту формулу в (3.18), получаем pe1 + qe2 + Cre3 + pe1 + qe2 + Cre3 =.

O Единичные векторы e1,e2,e3 главных осей инерции жестко связаны с твердым телом. Поэтому их производные выражаются через угловую скорость тела формулами ek = ek. С учетом этого последнее уравнение переписывается в виде pe1 + qe2 + Cre3 + =.

O O Проектируя это уравнение на главные оси инерции e1,e2,e3, получаем динамические уравнения Эйлера p + (C - )qr = q + (A - C)rp = (3.19) Cr + (B - A) pq =, где,,C – главные моменты инерции тела для рассматриваемой точки, p,q,r – проекции угловой скорости тела на главные оси инерции, а,, – 1 2 проекции момента сил относительно точки на главные оси инерции.

Обратим внимание, что динамические уравнения Эйлера (3.19) получены для случая, когда рассматриваемая точка твердого тела остается неподвижной в инерциальной системе отсчета или совпадает с центром масс твердого тела.

Поэтому полученные на основе этих уравнений результаты для движения тела с неподвижной точкой будут распространяться и на движение тела относительно системы Кенига с началом в центре масс, движущейся поступательно относительно инерциальной системы отсчета.

Pages:     | 1 |   ...   | 2 | 3 || 5 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.