WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 | 2 || 4 | 5 |

Поэтому с учетом правил кватернионного умножения векторов формула (2.20) записывается в виде ~ V =V + r =V + 2( )r =V + r, (2.21) ~ где = 2 (2.22) – вектор угловой скорости твердого тела относительно системы Ai1i2i3, или системы i1i2i3 (в силу коллинеарности указанных систем выражения (2.22), вычисленные в этих системах, тождественно совпадают).

Покажем, что вектор угловой скорости не зависит от выбора базиса в теле. Для этого свяжем с телом другой базис с началом в точке и ортами e1,e2,e3. Пусть кватернион C задает положение базиса относительно. Поскольку взаимная ориентация базисов и не изменяется с течением времени, то отображение C кватерниона C на базис будет являться постоянным кватернионом в базисе (C = 0 ). Поэтому, записывая кватернион, задающий положение относительно, в виде = C, получаем ~ ~ ~ ~ = 2 = 2 C C = 2 =.

Угловая скорость тела одинакова также для разных систем отсчета, взаимная ориентация которых остается неизменной.

Пусть взаимное положение базисов и неизменно.

Тогда кватернион C, задающий положение относительно является постоянным (C = 0 ), а производные по времени от любого вектора в этих базисах совпадают. Так как кватернионы и, определяющие положение тела относительно и, связаны равенством = C, то по аналогии с предыдущим случаем получаем, что угловая скорость тела относительно базиса совпадает с угловой скоростью тела относительно базиса.

Таким образом, угловая скорость является дифференциальной характеристикой движения твердого тела как целого и не зависит от выбора каких-либо точек в теле.

Поэтому лишены смысла формулировки типа “угловая скорость точки”, или “угловая скорость тела относительно точки”, а можно говорить только об угловой скорости твердого тела относительно какой-то системы отсчета.

Полученный результат составляет содержание теоремы об угловой скорости твердого тела. Теорема утверждает, что при произвольном движении твердого тела всегда существует единственный вектор, который связывает скорости любых двух точек тела формулой (2.21). Угловую скорость можно трактовать также как вектор, с помощью которого производная по времени от радиуса-вектора r, соединяющего любые две точки твердого тела, записывается в виде r = r. (2.23) Поясним смысл вектора угловой скорости. Пусть движение тела относительно системы i1i2i3 представляет собой вращение вокруг неподвижной оси. Тогда, обозначая через угол поворота тела вокруг этой оси, получаем = cos + sin, 2 = (-sin + sin ); ( = 0), 2 2 и в соответствии с формулой (2.22) вектор записывается в ~ виде = 2 =, т.е. угловая скорость направлена по оси поворота тела и по величине равна производной по времени от угла поворота.

Чтобы выяснить смысл вектора в случае произвольного движения твердого тела, рассмотрим два бесконечно близких положения связанного с телом базиса (t0 ) и (t0 + dt). В силу теоремы Эйлера базис (t0 + dt) получается из базиса (t0 ) бесконечно малым поворотом вокруг некоторой оси e, проходящей через точку, на бесконечно малый угол. Этот поворот задается кватернионом = cos + e sin, 2 а для (t) имеем (t) = (t0 ). Отсюда на основании формулы (2.22) получаем для угловой скорости выражение ~ = 2( () = e +e sin (cos -e sin).

) 2 2 Из этого выражения в силу бесконечной малости угла следует = e, т.е. угловая скорость направлена по оси бесконечно малого поворота тела и по величине равна производной по времени от угла бесконечно малого поворота.

Ось бесконечно малого поворота называется мгновенной осью вращения тела. Скорости точек тела, находящихся на этой оси, равны скорости полюса и равны нулю, если этот полюс неподвижен относительно системы отсчета.

Движение твердого тела с угловой скоростью, равной нулю, называется поступательным движением. В этом случае производная, определяемая из (2.22) уравнением =, (2.24) равна нулю, т.е. – постоянный кватернион, что соответствует неизменной ориентации связанного с телом базиса относительно базиса. В силу (2.21) скорости всех точек тела при поступательном движении одинаковы.

Уравнения (2.24) являются кинематическими уравнениями вращательного движения твердого тела, записанными в кватернионах, и называются уравнениями Пуассона.

Интегрирование этих уравнений дает кватернион (t), определяющий ориентацию тела.

При практическом использовании кинематических уравнений (2.24) кватернион целесообразно задавать компонентами в системе отсчета, т.е. параметрами Родрига-Гамидильтона. В этом случае 3 = 0 + ik, = 0 + ik.

k k 1 Представляя вектор также его компонентами в базисе, т.е. = ik и выполняя умножение в формуле k (2.24), получим четыре скалярных дифференциальных уравнения, которые связывают параметры РодригаГамильтона, задающие положение тела, с компонентами угловой скорости тела в базисе.

Однако во многих практических задачах угловая скорость задается компонентами на связанный с телом базис (например, в системах ориентации космических аппаратов датчики угловых скоростей измеряют проекции угловой скорости на связанные с аппаратом оси). В этих случаях уравнение (2.24) не может быть непосредственно использовано, т.к. и заданы в разных базисах. Но эта проблема легко решается использованием формул преобразования базисов (2.5), с помощью которых вектор записывается в виде 3 ~ ~ = ek = ( ik ) =, k k 1 где = ik – вектор, представляющий собой k отображение вектора из базиса в базис.

Подставляя это выражение в (2.24), получим вторую форму кинематических уравнений Пуассона:

=. ( 2.25) Поскольку теперь и записаны в ортах одного и того же базиса, то уравнение (2.25) связывает параметры Родрига-Гамильтона с компонентами угловой скорости тела на оси связанного с телом базиса.

Обратимся теперь к формуле (2.21). Эта формула называется формулой Эйлера для распределения скоростей точек твердого тела. Дифференцирование ее по времени с учетом (2.23) дает формулу распределения ускорений в твердом теле W = W + r + ( r ), (2.26) где = – угловое ускорение твердого тела, а r – вектор, соединяющий точку с рассматриваемой точкой.

В соответствии с (2.26) ускорение W произвольной точки тела может быть вычислено как сумма ускорения WO вр некоторого полюса, а также вращательного W и ос осестремительного W ускорения рассматриваемой точки, где вр ос W = r, W = ( r ).

Формулы (2.21) и (2.26) являются основными рабочими формулами при решении задач на определение скоростей и ускорений точек твердого тела. Из них следует, что скорость и ускорение любой точки тела могут быть найдены, если известны скорость и ускорение какой-либо одной его точки, а также угловая скорость и угловое ускорение тела.

В свою очередь формула (2.21) может быть использована для определения угловой скорости тела по известным скоростям его точек. Заметим при этом, что в общем случае (при пространственном движении твердого тела) скоростей двух точек тела недостаточно для однозначного определения его угловой скорости, т.к. векторное уравнение (2.21), рассматриваемое как уравнение относительно неизвестного вектора, определяет только два независимых скалярных уравнения (система (2.21) вырождена).

Из формулы (2.21) следует также, что проекции скоростей двух точек твердого тела на направление, соединяющее эти точки, одинаковы. Этот результат получается скалярным умножением на r левой и правой части уравнения (2.21).

Рассмотрим теперь метод сложного движения.

Формулировка задачи на сложное движение твердого тела состоит в следующем. Пусть задано движение связанного с твердым телом базиса относительно базиса, и задано движение базиса относительно системы отсчета (рис. 8). Требуется найти движение базиса относительно.

В этой задаче движение базиса относительно называется относительным движением, а движение базиса относительно – переносным движением тела.

Движение базиса относительно задается скоростью V и ускорением W точки относительно пер системы, а также угловой скоростью и угловым пер ускорением базиса относительно. Пусть, в отн отн свою очередь, V и W задают скорость и ускорение отн отн точки в системе, а и – угловую скорость и угловое ускорение связанного с телом базиса относительно.

r R R Рис. Чтобы найти движение тела относительно системы отсчета, нужно найти скорость V и ускорение W точки в этой системе, а также найти угловую скорость и угловое ускорение базиса относительно.

Найдем сначала скорость и ускорение точки в системе. Записывая вектор, определяющий положение точки k в базисе, в виде = ik и дифференцируя вектор R = R + по времени в системе, получаем 3 k k V = R + = V + ik + ik (2.27) 1 k Замечая далее, что вектор ik = V отн представляет собой относительную скорость точки в системе, а пер ik = ik, имеем пер V = Vотн + V + = Vотн + Vпер, (2.28) пер где Vпер = V + – переносная скорость точки. В соответствии с полученной ранее формулой распределения скоростей в твердом теле (2.21) вектор Vпер равен скорости той точки системы, рассматриваемой как твердое тело, в которой в данный момент находится точка. Эта скорость получается “замораживанием” относительного движения точки в системе.

Выражение для ускорения точки в системе получается дифференцированием вектора скорости этой точки (2.27) по времени в системе :

3 3 d k k nep k W = W + ik + 2 i + ( ik ) = k dt 1 1 nep nep nep = [ W + + ( ) ]+ nep k + ik + 2 V отн.

В полученном выражении первое слагаемое, выделенное скобками, дает в соответствии с формулой (2.26) ускорение той точки системы, как твердого тела, в которой в рассматриваемый момент находится движущаяся относительно этой системы точка. Указанное слагаемое называется переносным ускорением точки, обозначается пер W и вычисляется “замораживанием” точки в системе.

отн k Второе слагаемое W = ik представляет собой относительное ускорение точки в системе, а третье кор nep отн слагаемое WO = 2 VO называется кориолисовым ускорением точки. Таким образом, формула для ускорения точки записывается в виде:

пер отн кор W = W +W +W. (2.29) Формулы (2.28) и (2.29) дают правило вычисления скоростей и ускорений точек методом сложного движения.

Формула (2.29) для ускорений называется формулой Кориолиса.

Чтобы найти угловую скорость твердого тела в системе, запишем скорость произвольной точки тела в этой системе. С одной стороны, в силу формулы распределения скоростей в твердом теле (2.11) скорость точки может быть записана через искомую угловую скорость в виде V = V + r (рис. 8). С другой стороны, скорость V можно вычислить по правилам сложного движения точки:

пер отн nep V = V + V = V + ( + ri ) + отн отн nep + V + r = V + + Vотн + nep отн nep отн + ( + ) r = V + ( + ) r.

Отсюда в силу произвольности r получаем для угловой скорости тела в системе формулу пер отн = +. (2.30) Формулу сложения угловых скоростей (2.30) можно установить также, используя формулу (2.22), которая определяет угловую скорость одного базиса относительно другого как функцию кватерниона, задающего взаимную ориентацию этих базисов. Обозначим через и базисы с началом в точке и ортами, параллельными одноименным ортам базисов и, соответственно (рис.8). Пусть кватернион задает положение базиса относительно, а кватернионом – положение относительно. Тогда по формуле сложения поворотов (2.17), получаем, что положение базиса относительно определяется кватернионом =, где ~ = – отображение кватерниона из его собственного базиса в базис. При этом угловая скорость базиса относительно в соответствии с (2.22) записывается в виде ~ ~ = 2 = 2( + *)* = (2.31) ~ ~ ~ = 2 +2 * *.

С другой стороны, заданные угловые скорости переносного и относительного движения имеют следующий вид ~ ~ пер отн = 2, = 2, где – производная от кватерниона, вычисленная в системе :

3 ~ = µ0 + ik = (µ0 + ik ) = µ µ k k 1 ~ ~ ~ отн =, = 2.

Отсюда следует, что выражение (2.31) представляет собой формулу сложения угловых скоростей (2.30).

Для вычисления углового ускорения тела относительно системы нужно продифференцировать вектор угловой пер отн скорости = + в системе. При этом отн следует учитывать, что вектор представляет собой отн производную от вектора, вычисленную в системе, отн отн отн отн т.е. если = ik,, то = ik. Поэтому k k 1 отн производная от, вычисленная в системе, равна 3 отн пер отн отн отн отн = = +.

ik + i k k k 1 Отсюда следует формула для углового ускорения :

пер отн пер отн пер отн = + = + +. (2.32) Полученные формулы (2.27) – (2.32) дают возможность вычислять все кинематические параметры результирующего движения твердого тела через заданные кинематические параметры переносного и относительного движения.

Исследуем свойства решений кинематических уравнений Пуассона. Вычислим производную по времени от. Из уравнения (2.24) с учетом вытекающего из этого уравнения ~ ~ ~ следствия = = -2 получаем ~ ~ + = 2 - 2 = 0.

Отсюда следует, что уравнение (2.24) имеет первый интеграл = const.

Пусть (t) и (t) – два решения уравнения (2.24).

Записывая (t) в виде (t)= (t) (t) и подставляя это решение в уравнение (2.24), получаем + = 2, = 2.

Отсюда следует = 0, т.е. =C – постоянный кватернион. Таким образом, общее решение уравнения (2.24) имеет вид (t) = (t) C, (2.33) где (t) – любое частное решение, а C – кватернионная константа.

Полученный результат следует трактовать таким образом, что общее решение уравнения (2.24) определяет положение твердого тела относительно любого неподвижного базиса, а положение относительно конкретного базиса определяется частным решением (t). При этом взаимная ориентация базисов и задается постоянным кватернионом C (рис. 9).

C Рис. 9 Рис.Общее решение (2.33) можно трактовать и таким образом, что оно определяет положение любого связанного с телом базиса относительно системы отсчета, а частное решение (t) описывает положение связанного с телом базиса (рис.10). При этом в силу формулы сложения поворотов (2.17) имеем (t) = (t), где – отображение кватерниона из его собственного базиса в базис. В силу неизменности взаимной ориентации базисов и кватернион является постоянным.

Поэтому, полагая = C, приходим к решению (2.33).

Pages:     | 1 | 2 || 4 | 5 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.