WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 || 3 | 4 |   ...   | 5 |

kj k =В этом случае произвольное положение твердого тела с неподвижной точкой задается матрицей направляющих косинусов kj k, j =. В силу ортонормированности = базисов матрица А является ортогональной, т. е. она удовлетворяет условию =, где – единичная матрица, “Т” – знак транспонирования. Последнее условие определяет 6 независимых уравнений на коэффициенты kj.

Поэтому только три из девяти элементов матрицы направляющих косинусов являются независимыми.

Матрица направляющих косинусов удовлетворяет дополнительному условию det() = 1, вытекающему из того, что рассматриваемые базисы являются правыми тройками векторов. Для данного способа имеет место взаимно однозначное соответствие между положениями тела и элементами матрицы направляющих косинусов.

Если в начальный момент времени орты связанного с телом базиса совпадают с одноименными ортами системы отсчета, то положение каждой точки тела r (t) будет определяться через ее начальное положение r (0) формулой r (t) = (t) r (0). Отсюда в силу ортогональности матрицы следует, что любое движение твердого тела можно рассматривать как зависящее от времени ортогональное преобразование в трехмерном пространстве.

Положение твердого тела с неподвижной точкой можно задавать также различными системами углов – Эйлера, Крылова и др. Суть такого описания основывается н а том, что два правых ортонормированных базиса Oe1e2e3 и Oi1i2i3 можно совместить последовательными поворотами вокруг трех некомпланарных осей на некоторые углы.

Рассмотрим систему углов Эйлера (рис. 3). Пусть базис Oe1e2e3 занимает произвольное положение. Все векторы i k базиса Oi1i2i3 можно совместить с базисными векторами ek с помощью следующих трех поворотов:

1. Поворот вокруг оси i3 на угол до совмещения вектора i1 с линией узлов i1, т. е. поворот, переводящий вектор i1 в плоскость векторов e1,e2.

2. Поворот вокруг линии узлов i1 на угол до совмещения орта i3 с ортом e3.

3. Поворот вокруг оси e3 на угол до полного совмещения базисов.

i e3 = i3 e ie i i Рис. Совокупность указанных поворотов переводит базис Oi1i2i3 в базис Oe1e2e3 и представляет собой последовательность поворотов на эйлеровы углы (угол прецессии), (угол нутации) и (угол собственного вращения).

Кватернионный способ.

Теорема 1. Произвольное положение твердого тела с неподвижной точкой относительно базиса Oi1i2iзадается некоторым нормированным кватернионом по формулам ~ ek = ik ; k = 1, 2, 3. (2.5) При этом каждому положению твердого тела соответствуют два значения кватерниона, отличающиеся знаком.

Доказательство. Найдем кватернион из соотношений (2.5), рассматривая их как систему а ур внений относительно неизвестного. Так как базисы Oi1i2i3 и Oe1e2e3 являются правыми ортогональными тройками единичных векторов, то имеют место равенства e1 e2 = e3, i1 i2 = i3, (2.6) в силу которых любое из уравнений (2.5) может быть получено перемножением двух других уравнений. Это означает, что уравнения системы (2.5) зависимы, и решение может быть найдено на базе любых двух ее уравнений.

Будем использовать первые два уравнения системы (2.5).

Предположим сначала, что i1 = e1 и i2 = e2. Тогда из (2.5) получаем соотношения =1; i1 = i1; i2 = i2, из которых следует, что коммутативен с каждым из векторов i1 и i2, а это возможно только в случае, если = ±1.

Пусть теперь i1 e1. Будем искать решение в виде произведения двух единичных векторов x1 и x2 :

= x1 x2, причем (x2,i1) = 0.

В указанных предположениях уравнения приобретают вид e1 = x1 i1 x1; e2 = x1 x2 i2 x2 x1. (2.5*) Умножая первое уравнение на вектор i1 справа, получаем уравнение (x1 i1)2 = (e1 i1), из которого на основе формулы (1.19) находим решение x1:

e1 - ix1 = (e1 i1)2 (-i1) = ± ; (e1 i1). (2.7) e1 - i Аналогично из второго уравнения получаем решение x2 :

1 e2 - i2 x2 = (e2 i2 )2 (-i2) = ± ; (e2 i2 ), (2.8) e2 - i где e2 = x1 e2 x1.

Теперь нужно убедиться, что выполняются все предположения, использованные при построении решения.

Условие на x1 очевидно выполняется, так как в рассматриваемом случае i1 e1 и решение (2.7) является единичным вектором. Далее, кватернион e2 = x1 e2 x1, входящий в решение x2, также является единичным ~ вектором, поскольку e2 = -x1 e2 x1 = -e2. Поэтому для случая e2 i2 решение x2, определяемое выражением (2.8), также является единичным вектором, а проверка условия (x2,i1) = 0 сводится к проверке условия (e2,i1) = 0. Для проверки этого условия выразим вектор i1 из первого уравнения системы (2.5*) и вычислим произведение (e2 i1) :

(e2 i1) = x1 e2 x1 x1 e1 x1 = x1 e3 x1.

~ Отсюда следует (e2 i1 ) = -(e2 i ), т. е. (e2,i1) = 0.

Предположим теперь, что e2 = i2. В этом случае решение (2.8) находится из формулы (1.19*) и имеет следующий вид:

x2 = (-i2), где – произвольный единичный вектор.

В силу исходных предположений из всего множества этих решений нужно выбрать только те, которые являются векторами и удовлетворяют условию (x2,i1) = 0. Отсюда следует (,i2) = 0, ( i2,i1) = 0, т. е. = ±i1, x2 = ±i3.

Оставшийся нерассмотренным случай i1 = e1, i2 eсводится к рассмотренному выше случаю заменой индексов.

Из вида полученных решений следует, что решение системы (2.5) всегда является нормированным кватернионом, который имеет 2 значения разных знаков. Теорема доказана.

В дальнейшем условимся считать начальным положением твердого тела такое его положение, когда орты связанного с телом базиса (Oe1e2e3) совпадают с одноименными ортами системы отсчета (Oi1i2i3). Тогда в соответствии с (2.5) конечное положение r произвольной точки тела определяется через его начальное положение r формулой ~ r = r. (2.9) Теорема 2 (теорема Эйлера о конечном повороте). Любое положение твердого тела с неподвижной точкой может быть получено из начального положения одним поворотом вокруг некоторой оси на некоторый угол. При этом ось конечного поворота коллинеарна векторной части кватерниона = 0 +, а угол конечного поворота определяется формулой 2arccos0.

= Доказательство. Представим кватернион, задающий положение тела, в тригонометрической форме = 0 + = cos + sin; = 1 (2.11) и исследуем преобразование (2.9). Дополним вектор единичными векторами µ и до правой ортогональной тройки ( µ = ) таким образом, чтобы вектор r оказался в плоскости векторов и µ (рис. 4). Тогда, записывая вектор r в виде r = r ( cos + µ sin ) и используя условие ортогональности µ и, получаем ~ µ = µ, ~sin ~ r = r ( cos + µ ) = = r ( cos + 2 µ sin ) = r ( cos + + (µ cos2 + sin 2)sin ) = r ( cos + µ sin ).

r r О µ µ Рис. Из полученного выражения следует, что преобразование (2.9) представляет собой поворот вокруг оси на угол 2 = 2arccos0. Теорема доказана.

= В дальнейшем на основании на доказанной теоремы будем говорить, что кватернион задает поворот из базиса в базис, если этот кватернион связывает векторы этих базисов формулами (2.5). Обратное преобразование задается ~ обратным кватернионом, поскольку формулы этого ~ преобразования имеют вид ik = ek ; k = 1, 2, 3.

На основании формул преобразования базисов (2.5) можно установить связь между компонентами кватерниона в разных базисах. Пусть положение базиса относительно базиса задается кватернионом. Рассмотрим некоторый кватернион и обозначим через µk и µk его компоненты в базисе и соответственно. Тогда этот кватернион можно записать в виде следующих двух выражений:

3 = µ0 + ik = µ0 + µ µi.

k k k 1 ~ Из формул преобразования базисов ik = ik имеем 3 ~ = µ0 + ik = (µ0 +.

µ µi ) = ~ k k k 1 Кватернион = µ0 + µkik будем называть отображением кватерниона из базиса в базис. В соответствии с данным определением отображение имеет точно такие же компоненты в базисе, какие имеет исходный кватернион в базисе (рис. 5). При этом формула связи между кватернионом и его отображением имеет вид ~ =. (2.13) ~ µ ~ µ Рис. 5 Рис. В соответствии с формулой (2.13) и рис. 5 отображение получается из в результате обратного поворота из базиса в базис. Соотношение (2.13) представляет собой искомую формулу преобразования компонент неизменного кватерниона при замене базиса, поскольку в результате проектирования на базис оно определяет связь между компонентами µk кватерниона в базисе и его компонентами µk в базисе. Заметим, что компоненты кватерниона в разных базисах связаны обратным преобразованием по отношению к преобразованию базисов.

Формулы сложения поворотов.

Пусть кватернион задает поворот из базиса в базис, а кватернион – поворот из базиса в базис (рис. 6). Для нахождения кватерниона результирующего поворота из базиса в базис используем формулы (2.5), в силу которых имеем ~ ~ ik = ik ; ek = ik ; k = 1, 2, 3.

Отсюда получаем ~ ~ ~;

ek = ik = ik k = 1, 2, 3, т. е. кватернион определяется формулой =. (2.14) В случае n поворотов, задаваемых кватернионами 1,,...,n, формула сложения поворотов имеет вид =,..., 1. (2.15) n n-Эта формула легко доказывается методом индукции.

Использование формулы (2.15) не вызывает затруднений, когда кватернионы составляющих поворотов 1,,..., n заданы своими компонентами в одном и том же базисе. В этих случаях по формуле (2.15) вычисляются компоненты результирующего кватерниона в этом же базисе.

Если же кватернионы составляющих поворотов заданы в разных базисах, то необходимо использовать формулы (2.13) для представления всех кватернионов в ортах того базиса, в котором требуется найти результирующий кватернион.

Условимся называть собственным базисом кватерниона тот базис, поворот из которого задается этим кватернионом. Компоненты кватерниона в его собственном базисе называются параметрами Родрига– Гамильтона и обозначаются. Если, например, кватернион k задает поворот из базиса, то параметрами Родрига– Гамильтона являются проекции на базис, т. е.

I = 0, = k = (,ik ); k = 1,2,3. (2.16) 0 k Получим формулу сложения поворотов в параметрах Родрига–Гамильтона.

В рассмотренной задаче сложения двух поворотов (рис. 6) для кватернионов и параметрами Родрига– Гамильтона являются их компоненты в базисе, а для кватерниона – компоненты в базисе. Поэтому указанные кватернионы выражаются через параметры Родрига–Гамильтона следующими соотношениями:

3 3 = 0 + ik, =0 + ik, = µ0 + ik.

µ k k k k =1 k =1 k =Используя формулу (2.13), получаем из (2.14) следующее выражение для результирующего кватерниона :

= =, где = µ0 + µkik – отображение кватерниона из его собственного базиса в базис. В полученной формуле все кватернионы записаны в ортах одного и того же базиса, а их компонентами являются параметры Родрига–Гамильтона.

Поэтому данная формула связывает параметры Родрига– Гамильтона результирующего поворота и составляющих поворотов.

Если для кватернионов и определить их соответствующие отображения и на базис, то в силу очевидных равенств =, = формула сложения поворотов запишется в следующем виде:

= =. (2.17) В случае n поворотов формула сложения в параметрах Родрига–Гамильтона имеет вид = = 1 …, (2.18) 2 n где – отображение кватерниона k-о поворота k из его k собственного базиса на базис, относительно которого определяется положение тела.

Обратим внимание, что в формуле сложения поворотов (2.18) отображения перемножаются в обратном порядке по отношению к порядку умножения исходных кватернионов.

Используем полученные формулы (2.18) для определения связи между параметрами Родрига–Гамильтона, задающими положение твердого тела, и углами Эйлера (рис. 3).

1 О Рис. Конечное положение связанного с телом базиса получается из начального положения в результате трех поворотов (рис. 7). Первым является поворот из положения вокруг оси i3 на угол прецессии. Кватернион этого поворота 1 и его отображение 1 имеют вид 1 = cos + i3 sin = 1.

2 Второй поворот осуществляется из положения вокруг оси i1 на угол. Поэтому имеем 2 = cos + i1 sin. = cos + i1 sin.

2 2 2 Для третьего поворота, осуществляемого из положения вокруг оси i3 на угол, получаем,.

3 = cos + i3 sin = cos + i3 sin 2 2 2 Вычислив теперь в соответствии с формулой (2.18) произведение = 1, найдем связь между 2 параметрами Родрига-Гамильтона и углами Эйлера:

+ = cos cos, 1 = sin cos, 2 2 2 (2.19) - + = sin sin, = cos sin.

2 2 2 2 Соотношения (2.19) дают возможность определить ось и угол конечного поворота твердого тела как функции углов Эйлера, а именно, направление оси конечного поворота по отношению к неподвижному базису определяется компонентами 1,,, а угол конечного поворота 2 вычисляется по формуле + cos cos.(2.20) = 2arccos( ) = 2arccos 2 2.2. Угловая скорость твердого тела.

Кинематические уравнения движения твердого тела. Формулы распределения скоростей и ускорений точек твердого тела В предыдущем параграфе было установлено, что произвольное положение твердого тела относительно некоторой системы отсчета Ai1i2i3 может быть задано радиусом-вектором R некоторой точки этого тела и нормированным кватернионом, определяющим ориентацию связанной с телом системы Oe1e2eотносительно системы i1i2i3 с началом в точке и ортами, параллельными одноименным ортам исходной системы отсчета Ai1i2i3 (рис. 1).

Поскольку для произвольной точки тела положение вектора r в связанной с телом системе остается неизменным, т.е. компоненты rk в выражении r = rkek k =постоянны, то в силу формулы (2.4) положение R этой точки относительно системы отсчета Ai1i2i3 задается равенством R = R + r = R + rkek = k = ~ ~ = ( rkik ) = R + r, k = где r = rkik – постоянный вектор, который является k =отображением вектора r из связанного с телом базиса в базис и определяет начальное положение рассматриваемой точки тела в системе i1i2i3 (когда базисы и совпадают).

Найдем скорость произвольной точки тела в системе Ai1i2i3. Учитывая, что для нормированного кватерниона выполняются соотношения ~ ~ ~ =1, + = 0, (2.19) получаем ~ ~ 0 V = R + r = V + r + r = (2.20) ~ ~ = V + r - r, где V – скорость точки в системе Ai1i2i3, а – производная по времени от кватерниона в этой же системе:

= 0 + ik.

k ~ Выражение является вектором, т.к. в силу (2.19) и очевидной перестановочности операций сопряжения и дифференцирования имеем:

~ ~ ~ ~ ~ ( ) = ( ) = -( ), sqal( ) = 0.

Pages:     | 1 || 3 | 4 |   ...   | 5 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.