WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     || 2 | 3 | 4 | 5 |
Московский физико-технический институт (государственный университет) Н.И. Амелькин Кинематика и динамика твердого тела ~ r = r Москва 2000г.

ВВЕДЕНИЕ Настоящее пособие предназначается для студентов МФТИ, изучающих кинематику и динамику твердого тела в курсе теоретической механики.

Изложение раздела кинематики построено на использовании аппарата кватернионов – четырехмерных гиперкомплексных чисел со специальными правилами умножения. Кватернионы дают возможность в достаточно простой и удобной форме задавать повороты в трехмерном пространстве, что и обуславливает их применение для описания вращательного движения твердого тела.

Кватернионный способ имеет ряд преимуществ по сравнению с другими способами описания вращательного движения твердого тела. С помощью кватернионов эффективно решаются задачи на определение параметров конечного поворота твердого тела и задачи сложения поворотов. Кинематические уравнения движения твердого тела в кватернионах не вырождаются, как это имеет место при использовании углов Эйлера, и не содержат тригонометрических функций, а число этих уравнений существенно меньше, чем число уравнений в направляющих косинусах (четыре против девяти).

Предлагаемый вариант изложения кинематики твердого тела с помощью кватернионов аппарата дает также и методические преимущества. В кватернионах это изложение получается наиболее полным и компактным, являясь одновременно достаточно простым и доступным для изучения.

Раздел динамики твердого тела наряду с освещением традиционных вопросов содержит подробное изложение теории волчка Лагранжа.

Автор выражает благодарность В.Ф. Журавлеву за оказанное содействие в работе.

4 1. Алгебра кватернионов Кватернионы были введены в математику В.Р.

Гамильтоном в 1843 году. Они представляют собой обобщение аппарата комплексных чисел на четырехмерный случай и записываются выражениями следующего вида:

= 0 i0 + 1 i1 + 2 i2 + 3 i3, (1.1) где – произвольные действительные числа, 0,1,, 2 называемые компонентами кватерниона, а i0, i1, i2, i3 – кватернионные единицы.

Кватернионное сложение определяется по правилам обычной векторной алгебры, т. е. при сложении двух кватернионов и складываются их соответствующие k µk компоненты и ( k = 0, 1, 2, 3 ).

Кватернионное произведение обозначается знаком « » и определяется следующими правилами умножения кватернионных единиц:

i0 i0 = i0, i0 ik = ik i0 = ik, ik ik = -1, k = 1, 2, 3.

i1 i2 = i3, i2 i3 = i1, i3 i1 = i2, (1.2) i2 i1 = -i3, i3 i2 = -i1, i1 i3 = -i2.

В соответствии с приведенными правилами сложения и умножения можно использовать такую интерпретацию кватернионов, при которой элемент i0 отождествляется с вещественной единицей, а элементы i1, i2, i3 – с единичными векторами i1, i2, i3, образующими в трехмерном пространстве правую ортогональную тройку.

Тогда кватернион можно записать в виде формальной суммы скалярной части 0 и векторной части :

= 0 + 1 i1 + 2 i2 + 3 i3 = 0 +, (1.3) а правила (1.2) умножения базисных элементов кватерниона запишутся через скалярное и векторное произведение следующей формулой:

ik ij = -(ik,ij ) + ik ij, k, j = 1, 2, 3. (1.2*) Отсюда, аксиоматизируя дистрибутивность умножения по отношению к сложению, получаем формулу для кватернионного произведения векторов и µ :

µ = -(, µ) + µ, (1.4) а также формулу для произведения двух кватернионов с ненулевой скалярной частью = 0 + и = µ0 + µ :

= 0µ0 - (, µ) + 0µ + µ0 + µ. (1.5) Приведенные правила сложения и умножения полностью определяют алгебру кватернионов и все вытекающие из нее свойства. При рассмотрении кватернионов с нулевыми векторными частями ( = 0 ) получаем алгебру вещественных чисел. Если же векторная часть кватернионов представлена одним измерением ( = 0 + 1 i1), то получается алгебра комплексных чисел. Поэтому алгебра кватернионов включает в себя алгебру вещественных и комплексных чисел.

Укажем основные свойства умножения кватернионов.

1. Умножение кватернионов обладает дистрибутивными по отношению к сложению свойствами, т. е.

( + ) = +.

2. Умножение кватернионов ассоциативно, т. е.

( ) = ( ).

3. Кватернионное умножение не обладает свойством коммутативности, т. е.. Это обусловлено / некоммутативностью векторного произведения µ, входящего в формулу (1.5) для произведения кватернионов.

Поэтому равенство = имеет место только в том случае, когда векторные части сомножителей коллинеарны, т. е. ( µ = 0).

4. Скалярная часть произведения кватернионов не изменяется при циклической перестановке сомножителей, т.

е.

sqal( ) = sqal( ).

Свойство 2 устанавливается непосредственной проверкой с использованием введенных аксиом сложения и умножения кватернионов, а свойство 4 следует из того, что в силу формулы (1.5) скалярная часть произведения двух кватернионов не зависит от порядка сомножителей. Поэтому получаем sqal[( ) ] = sqal[ ( )].

По аналогии с комплексными числами для кватерниона ~ = 0 + определяется сопряженный кватернион следующего вида:

~ = 0 -. (1.6) Нормой кватерниона называется произведение этого ~ кватерниона на его сопряженное значение. Поскольку ~ векторные части кватернионов и отличаются только знаком, то в соответствии с правилами умножения для нормы кватерниона получается следующее выражение:

~ 2 = = + (, ) =. (1.7) 0 k k =Таким образом, норма кватерниона является скаляром и инвариантна по отношению к выбору базиса i1, i2, i3, в то время как компоненты 1,2,3 векторной части кватерниона зависят от выбора базиса.

Кватернион называется нормированным, если = 1.

Правила вычисления сопряженного значения и нормы от произведения двух кватернионов легко устанавливаются с помощью формулы умножения (1.5). Так, для произведения ~ ~ двух кватернионов и имеем ~ ~ = (µ0 - µ) (0 - ) = ~ = 0µ0 - (,µ) - (µ0 + µ0 + µ) = ( ).

Отсюда получаем, что сопряженное значение от произведения двух кватернионов равно произведению их сопряженных значений, взятых в обратном порядке:

~ ~ ~ (1.8) ( ) =.

Полученное соотношение позволяет в свою очередь найти выражение для нормы произведения двух кватернионов:

~ ~ = =, (1.9) т. е. норма произведения двух кватернионов равна произведению норм сомножителей. Отсюда следует, что произведение нормированных кватернионов есть также нормированный кватернион.

Методом индукции легко показать, что правила (1.8) и (1.9) распространяются на случай произвольного числа сомножителей, т. е.

~ ~ ~ (1... n ) = n... 1,... =....

1 n 1 n Операция деления кватернионов определяется как операция умножения на обратный кватернион.

Кватернионом, обратным к, называется кватернион -1, определяемый из условия -1 = 1. (1.10) Выражение для обратного кватерниона можно найти непосредственно из этого определения, рассматривая его как уравнение относительно неизвестного -1. Умножая обе ~ части (1.10) на слева и используя соотношение (1.7) для нормы, получаем ~ -1 =, ( 0). (1.11) Отсюда следует, что если кватернион является нормированным, т. е.

=1, то обратным к нему ~ кватернионом будет его сопряженное значение.

Используя приведенные выше правила вычисления сопряженного значения и нормы от произведения кватернионов, получаем, что норма обратного кватерниона равна, а кватернион, обратный произведению -1 = кватернионов, вычисляется по формуле -(1... n )-1 = -1... 1. (1.12) n Обратим внимание, что свойства сложения и умножения кватернионов аналогичны свойствам сложения и умножения матриц. Как следствие этого, правила решения кватернионных уравнений аналогичны правилам решения матричных уравнений.

Кватернионное уравнение эквивалентно четырем скалярным уравнениям. Одно из них получается приравниванием скалярных составляющих правой и левой частей кватернионного уравнения, а остальные три – это равенство компонент векторных составляющих в некотором ортогональном базисе трехмерного пространства.

Тригонометрическая форма записи кватернионов. Пусть – нормированный кватернион. Вводя новые переменные с помощью равенств 0 = cos, = sin, где e – e единичный вектор, коллинеарный вектору, получаем тригонометрическую форму записи кватерниона = cos + e sin. (1.13) Для ненормированного кватерниона имеем = (cos + e sin ), (1.14) где – модуль кватерниона.

= Форма кватерниона (1.14) аналогична тригонометрической записи комплексных чисел. Из этого представления следует, что любой кватернион однозначно определяется значением модуля, единичным вектором e и углом. Выбор же e и для заданного является двухзначным, т. к. одновременная замена знака при e и на обратный не изменяет к ватерниона. Заметим также, что если векторная часть кватерниона равна нулю, то sin = 0, и тогда e – любой единичный вектор из трехмерного пространства.

Два кватерниона 1 и 2 будем называть коллинеарными, если коллинеарны их векторные части, т. е.

1 2 = 0.

Использование тригонометрической формы кватернионов дает простую формулу для произведения двух коллинеарных кватернионов. Так, если 1 = 1 (cos1 + e sin1), 2 = 2 (cos2 + e sin2), то для произведения этих кватернионов получаем 1 2 = 1 2 (cos(1 +2) +e sin(1 +2)), (1.15) т. е.. при умножении коллинеарных кватернионов аргументы складываются, а модули перемножаются.

Из (1.15) получаем для к-й степени кватерниона = (cos +e sin) следующую формулу:

k k = (cosk + e sin k ), (1.16) которая аналогична формуле Муавра для комплексных чисел.

Последняя формула дает возможность легко находить решения степенных кватернионных уравнений вида k =. (1.17) Представляя и в тригонометрической форме = (cos + sin ), = (cos + e sin ), получаем в качестве (1.17) следующее уравнение:

k (cos + sin) = (cos + e sin ).

Отсюда следует + 2 i k =, = e, =, (1.18) k i = 0, 1, …, k -1.

Полученные соотношения определяют k разных решений уравнения (1.17) в том случае, когда единичный вектор e, входящий в представление кватерниона, определен однозначно. Если же векторная часть равна нулю, то e – любой единичный вектор. В этом случае (1.18) могут определять бесконечное множество решений, если среди решений (1.18) найдутся такие значения, для которых sin 0.

При k = 2 решение уравнения = можно записать в алгебраической форме, если представить и в виде = x0 + x, = 0 +.

Тогда получаем уравнение x0 - x + 2x0x = 0 +.

С учетом соотношения для нормы x0 + x = имеем 2x0 = + 0, 2x0x =. Отсюда следует решение:

+ = 2 = ±, если ( 0 + ) > 0. (1.19) 0 + Если же 0 + = 0, а это возможно только в случае = 0 0, то решение имеет вид 2 = - 0 e, (1.19*) где e – произвольный единичный вектор.

Упражнения 1. Показать, что для скалярной и векторной частей произведения векторов справедливы соотношения sqal(1 2... n ) = (-1)n sqal(n n-1... 1);

vect(1 2... n ) = (-1)n+1 vect(n n-1... 1).

2. Найти все решения кватернионных уравнений:

a) + + = 0.

b) - =.

n m c) - =, где m и n – целые числа.

2. Кинематика твердого тела 2.1. Способы задания положения твердого тела Твердым телом называется такая система материальных точек, для которой расстояние между любой парой точек не меняется с течением времени.

Из приведенного определения следует, что для векторов rJ и r, соединяющих произвольную точку О тела с точками J и K, выполняются условия:

rJ2 = const, r = const, (2.1) (rJ - r )2 = rJ2 + r - 2(rJ, r ) = const.

Отсюда получаем соотношение (rJ,r ) = const, (2.2) которое описывает условие неизменности скалярного произведения векторов, соединяющих любые пары точек в теле. В силу произвольности точек J и K из условия (2.2) следуют все равенства (2.1), поэтому условие (2.2) эквивалентно исходному определению твердого тела.

Отметим, что приведенное определение твердого тела не является полным. Легко убедиться, что всевозможные зеркальные отражения пространства удовлетворяют этому определению, но они не включаются в математическую модель твердого тела. Поэтому данное определение дополняется условием неизменности смешанного произведения векторов:

(r rJ,r ) = const. (2.3) Условия (2.2) и (2.3) полностью определяют математическую модель твердого тела. Из условия (2.2) следует, что если в какой-то момент времени с некоторыми точками тела связать ортонормированный базис Oe1e2e3, то этот базис будет оставаться ортонормированным в любой последующий момент, а разложение вектора rJ произвольной точки тела в этом базисе неизменно. Условие (2.3) дополнительно означает неизменность взаимной ориентации базисных векторов в том смысле, что правая тройка векторов остается правой, а левая – левой.

Рассмотрим произвольное движение твердого тела относительно некоторой системы отсчета i1i2i3 (рис. 1).

Свяжем с телом некоторый базис Oe1e2e3 и зададимся координатами rk (k = 1, 2, 3) произвольной точки тела в этом базисе. Тогда положение этой точки в системе i1i2i3 в любой момент времени дается соотношением R = R + r = R + ek, (2.4) r k k =и в силу неизменности координат rk для однозначного его определения достаточно любой момент времени задать в положение базиса Oe1e2e3 относительно базиса i1i2i3.

e e i3 R r e2 i e3 e R i i2 e ei iРис. 1 Рис. Таким образом, задача определения положения твердого тела сводится к задаче определения взаимного расположения двух базисов, начала которых в общем случае не совпадают.

Введем систему отсчета Oi1i2i3, оси которой параллельны одноименным осям исходной системы i1i2i3. Тогда движение базиса Oe1e2e3 относительно исходной системы отсчета i1i2i3 может быть полностью описано движением точки (радиус-вектор R ) и движением базиса Oe1e2e относительно Oi1i2i3 (рис. 2). Последнее представляет собой движение твердого тела с неподвижной точкой.

Описанная схема лежит в основе всех существующих способов задания положения твердого тела, а разница в способах заключается только в р ом выборе параметров, а зн задающих положение базиса Oe1e2e3 относительно базиса Oi1i2i3.

В дальнейшем при рассмотрении различных способов задания положения твердого тела с неподвижной точкой будем считать базисы Oi1i2i3 и Oe1e2e3 правыми ортонормированными тройками векторов.

Направляющие косинусы kj = (ik,ej ) представляют собой коэффициенты в разложении ортов ej базиса Oe1e2e по ортам ik базиса Oi1i2i3 :

ej = ik, j = 1,2, 3.

Pages:     || 2 | 3 | 4 | 5 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.