WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 7 | 8 || 10 | 11 |   ...   | 32 |

Для описания характеристик фрактальных объектов или процессов вводится степенная с дробным показателем функция вида U(t)=At-, 0<<1. (2.98) После подстановки выражения (2.98) в уравнение (2.97) получаем соотношения, связывающие масштабирующие параметры с дробным показателем =lnN/lnrL. Нетрудно заметить, что при функция (2.98) приобретает характер медленно убывающего процесса или, как говорят, протяженной зависимости, кардинально отличающей ее от обычных моделей с короткопротяженными зависимостями.

Описывающая масштабно-инвариантные свойства фракталов, убывающая с дробным показателем степенная функция в последнее время широко используется при анализе объектов природного и искусственного происхождения. В дальнейшем при изучении фрактальных процессов в вычислительных сетях рассматриваются зависящие от временного аргумента t и обладающие вышеуказанными свойствами следующие характеристики:

импульсная переходная функция, корреляционная функция, дисперсия и спектральная плотность. Базовыми для формирования этих характеристик служат ранее рассмотренные точечные и винеровские процессы. С более подробным изложением свойств характеристик и параметров моделей фрактальных процессов можно ознакомиться в работе [20].

2.5.1. ФРАКТАЛЬНЫЙ ТОЧЕЧНЫЙ ПРОЦЕСС При анализе моделей процессов в вычислительных сетях используются статистики числа отсчетов (приращений) точечного процесса на интервалах заданной длительности T (счетные статистики). Обозначим число выпавших на интервале (tn-T,tn) точек через Xn. Сместим этот интервал на kT (k1) и обозначим число выпавших на интервале (tn+k-T,tn+k) точек через Xn+k. Корреляционная функция числа отсчетов в разнесенных на время, равное kT указанных интервалах определяется соотношением C(k;T)=M{XnXn+k}-(T)2, (2.99) где - интенсивность пуассоновского точечного процесса.

Дисперсия числа отсчетов равна при k=D(T)=C(0;T). (2.100) Процедуры определения статистических характеристик (2.99) и (2.100) опираются на интегральные соотношения, связывающие искомые функции и процессы с известными статистическими характеристиками. Предварительно получим выражение статистик для непрерывного времени. Пусть (t) стационарный в широком смысле случайный процесс с известными математическим ожиданием m1 и корреляционной функцией k2(u). Математическое ожидание и корреляционная функция интеграла от этого процесса на t заданном интервале xT (t) = (t)dt, (t-T,t) соответственно равны t -T t mx = M{xT (t)} = M{ (t)}dt = m1T, t -T t t + kx () = M{[xT (t) - mx ][xT (t + - mx ]} = k (u1 - u2)du1du2.

t -T t -T + Соотношение, связывающее на основании формулы ХинчинаВинера (1.18) корреляционную функцию и спектральную плотность, имеет вид k2(u1 - u2) = F() exp{ j(u1 - u2)}d.

После подстановки полученного выражения в kx() и интегрирования, имеем t t kx () = F()d exp{- ju2}du2 exp{ ju1}du1 = - t -T t -T + 1 2[1- cosT ] = F() exp{ j}d =.

1 sinT / = F() exp{ j}d.

2 / Как следует из полученного выражения, интегралу от процесса (t) с известной корреляционной функцией k2() соответствует процесс с корреляционной функцией kx() и спектральной плотностью sin T / Fx () = F().

/ Подставив в соотношение для kx() выражение F() = (u)exp{- ju}du, получим k 1 sinT / kx () = k2(u)du exp{- j( - u)} d.

/ После замены -u= (>u) интеграл в квадратных скобках оказывается табличным и равным T- при T.

Присоединяя к полученному результату значение этого интеграла для области u>, получаем окончательное выражение для корреляционной функции и дисперсии T kx () = - | |)k2( - )d, (T -T T T Dx = kx (0) = - | |)k2( - )d = 2 - )k2( )d.

(T (T -T При определении статистических характеристик числа отсчетов на интервалах заданной длительности T исходное интегральное соотношение для дискретного времени t1,t2,...,tn,... имеет вид tn N X = n (t)dt, где N(t) - случайная интенсивность или случайный tn -T импульсный поток (2.84) с известными математическим ожиданием, корреляционной функцией k2() и спектральной плотностью F().

Интервал между отдельными отсчетами оказывается кратным длительности T и равным kT, где k - параметр смещения.

На основании изложенного, учитывая обозначения для счетных статистик, имеем mx =T, (2.101) T C(k;T ) = - | |)k2(kT - )d, (2.102) (T -T T D(T ) = 2 - )k2( )d. (2.103) (T При анализе процессов в вычислительных сетях используются следующие статистические характеристики стационарного точечного процесса Характеристики первого порядка:

- интенсивность точечного процесса (средняя скорость счета точечного процесса).

Характеристики второго порядка:

- моментная функция второго порядка случайной интенсивности GN();

- спектральная плотность, соответствующая этой функции FN();

- корреляционная функция числа отсчетов C(k;T);

- нормированная корреляционная функция числа отсчетов (коэффициент корреляции) r(k;T) ;

- нормированная дисперсия числа отсчетов (фактор Фано) F(T).

Моментная функция второго порядка случайной интенсивности точечного процесса по определению равна M{NtNt + } GN ( ) = lim, t tгде Nt характеризует появление по крайней мере одной точки в бесконечно малом интервале (t-t,t), - интервал времени между событиями появления точек.

На основании соотношений (1.9) и (2.88) эта функция через рассмотренную в разд. 2.4.4.1 корреляционную функцию случайной интенсивности k2() выражается следующим образом GN()=m2()=k2()+2=()+g2()+2=()+RI(), (2.104) где составляющую RI()=g2()+2 можно интерпретировать как моментную функцию модулирующего точечный процесс сигнала I(t).

Особенностью этого сигнала является то, что он порождает корреляционные функции с протяженной зависимостью, приводящие к большому числу комбинаций фрактальных процессов со свойствами самоподобия. В силу указанной интерпретации такие процессы также называют двойным стохастическим пуассоновским процессом или точечным процессом с двойной случайностью (одна случайность порождена пуассоновским процессом, другая – сигналом I(t)). Отметим, что модуляция точечного процесса другими сигналами, например, марковскими с экспоненциальной корреляционной функцией, имеющей короткопротяженную зависимость, порождает модели процессов, не обладающие фрактальными свойствами и поэтому не адекватные процессам в вычислительных сетях.

Форму записи функции корреляции плотности g2() или, что тоже самое, корреляционной функции модулируемой сигналом I(t) составляющей случайной интенсивности, можно получить разными методами. Согласно одному из них эту функцию определяют через интеграл свертки N I(t) = g(t - ) ( )d, (2.105) где g(t)=Kt(/2)-1 - импульсная переходная функция степенного вида; N(t) - воздействующий стационарный импульсный пуассоновский процесс с интенсивностью ; - фрактальный параметр (0<<1) *).

На основании теоремы Кембелла о суперпозиции независимых случайных воздействий (разд.3.3.3) для области t>0 (t->0) эта функция с учетом (2.105) определяется из выражения 2 2 2 / 2)-g2 ( ) = M{I (t)I(t + )}- = g(t)g(t + )dt =K (t +t)( dt.

После замены z=t/ приходим к табличному интегралу. В результате получаем ( / 2)(1-) 2 -1 2 -g2( ) =K z( / 2)-1dz =K, (2.106) (1- / 2) *) Наряду с параметром для описания фрактальных процессов используют параметр Херста: H=(1+)/2 (1/2

где () - гамма-функция.

Принимая во внимание, что корреляционная функция является четной функцией своего аргумента и присоединяя к (2.106) результат интегрирования по области t<0 (t-<0), получаем окончательно - | | g2( ) =, (2.107) (1- / 2) где 0 -1 =.

K ( / 2)(1- ) Статистические характеристики второго порядка числа отсчетов определяются следующим образом. Фактор Фано вычисляется на основании формул (2.103), (2.104) и (2.107) T F(T ) = D(T )(T )-1 = 2(T )-1 - )k2( )d = (T T = 2(T )-1 - )(GN ( ) - )d = (2.108) (T T T -= 2(T )-1 - ) ( )d +.

(T (T - ) d 0 -1 Первый интеграл в (2.108) на основании фильтрующих свойств дельта-функции равен T/2. После вычисления второго интеграла T +получаем. Выражение для фактора Фано принимает (1+ ) окончательный вид T F(T ) = 1+, (2.109 ) T где (1+ ) T0 =. (2.110 ) 20Приведем также выражение для дисперсии числа отсчетов T D(T ) =TF(T ) =T 1+. (2.111) T Выражение для корреляционной функции числа отсчетов вычисляется при k1 с учетом (2.104) и (2.107) из соотношения (2.102) T T C(k;T ) = - | |)k2(kT - )d = - | |)[GN (kT - ) - ]d = (T (T -T -T T T = (T - ) (kT - )d + (T -1)k2(kT +1)d1 + -T -T T T -1 -+ (T - )(kT - ) d + (T -1)(kT +1) d1, 0 -1 -T -T где 1=-.

Первые два интеграла J1 и J2 на основании фильтрующих свойств дельта-функции равны нулю. Третий J3 и четвертый Jинтегралы соответственно равны T -J3 = (T - )(kT - ) d = 0 --T (2.112) T +1 1 1 [(k -1) +1 - k +1] = [k - (k -1) ] + (k -1) +, (1+ ) 0 -1 T -J4 = (T -1)(kT -1) d = 0 --T (2.113) T +1 1 1 [(k +1) +1 - k +1] = [(k +1) - k ] + (k +1) +.

(1+ ) 0 -1 Корреляционная функция числа отсчетов на основании (2.110), (2.112 ) и (2.113) принимает окончательный вид C(k;T ) = J1 + J2 + J3 + J4 = (2.114) 1 T = T [(k +1) +1 - 2k +1 + (k -1) +1].

TОтметим, фактор Фано является удобной для подтверждения фрактальных свойств сетевого трафика при обработке экспериментальных данных характеристикой. Действительно, при T>>T0 зависимость F(T) в двойном логарифмическом масштабе представляет собой приблизительно прямую с положительным наклоном, равным фрактальному параметру (для пуассоновского процесса наклон равен нулю). Таким образом, определяя выборочные значения D(T) и T как функции текущего интервала T, можно оценить фрактальный параметр.

Спектральная плотность случайной интенсивности, соответствующая моментной функции GN() (2.104) с учетом (2.107), определяется через Фурье-преобразование (формула ХинчинаВинера) и после вычислений равна | FN () = +, (2.115) N G ( ) exp{- j}d = 2 2 () + | где.

0 = 2 cos ()0- (2.116) () - дельта-функция, () - гамма-функция.

Рассматриваемую спектральную плотность можно представить также в виде FN()=FI()+. (2.117) Здесь FI () = RI ( ) exp{- j}d = 2 () + | | спектральная плотность модулирующего сигнала I(t).

Приведем еще одно выражение спектральной плотности FN()=22()+F(), (2.118) | | где F() = + - спектральная плотность центрированной составляющей случайной интенсивности.

Обратим внимание на своеобразный характер поведения спектральной плотности F() для фрактальных процессов: ее неограниченное увеличение при 0: F()~-.

Используя формулы (2.110) и (2.116), получаем соотношение, связывающее параметры T0 и 0:

0 T0 = cos( / 2)( + 2). (2.119) Введем нормированную корреляционную функцию (коэффициент корреляции) приращений точечного процесса (числа отсчетов) C(k;T ) T r(k;T ) = = [(k +1) +1 - 2k +1 + (k -1) +1], D(T ) (2.120) 2(T + To ) | r(k;T ) | 1.

Представим выражения (k+1)+1 и (k-1)+1 при k>>1 в виде трех членов разложения (k +1) +1 k +1 + ( +1)k + (1+)k -1, (k -1) +1 k +1 - ( +1)k + (1+ )k -1.

После подстановки полученных выражений в соотношение (2.120) и упрощений приходим к коэффициенту корреляции, поведение которого (точнее поведение его «хвоста») аппроксимируется выражением ( +1) r(k;T ) ~ k -1. (2.121) T 21+ T Полученное соотношение ясно указывает на атрибуты фрактального процесса – протяженную зависимость и самоподобие (масштабируемость). Причем эти свойства проявляются тем интенсивнее, чем больше интервал отсчета T по отношению к фрактальному времени установки T0. В этом случае принято говорить об асимптотическом самоподобии в том смысле, что коэффициент корреляции сохраняет свою структуру при T>>T0 и зависит от убывающего с дробным показателем степени масштабируемого параметра k r(k;T ) ~ ( +1)k -1. (2.122) Нетрудно заметить, что если в уравнении (2.97) для этого случая время заменить на параметр смещения k, то соответствующие параметры функционального уравнения равны rL=N-1/, =1-=lnN/lnrL.

Ввиду того, что спектральная плотность случайной интенсивности является степенной функцией || с показателем, равным фрактальному параметру, взятым с обратным знаком, спектральная плотность числа отсчетов (приращения точечного процесса) на основании (2.118) также оказывается степенной функцией || и при 0 неограниченно увеличивается как FT()~||-. (2.123) Свойство самоподобия обнаруживается у агрегированного счетного процесса. Указанный процесс формируется как последовательность средневзвешенных величин из отсчетов Xn на m одинаковых неперекрывающихся интервалах длительностью T X1 +...+ Xm Xkm+1 +... + X(k +1)m (m) X = {Xk, k = 0,1,...} =,...,, (2.124) m m где m и k соответственно параметры агрегирования и смещения, (k +1)m ( Xkm) = Xn, m=1,2,...

m n=km+Для агрегированного процесса статистики второго порядка имеют вид mT C(m)(k;T ) = m-(mT - | |)(G(kTm - ) - 2)d =, (2.125) -mT = m-2C(k, mT ) r(m)(k;T ) = [(k +1) +1 - 2k +1 + (k -1) +1]. (2.126) T 21+ mT При m коэффициент корреляции практически инвариантен к параметру агрегирования и сохраняет в асимптотическом смысле свою структуру. Последнее означает, что исходный и агрегированный процессы имеют одинаковую форму коэффициента корреляции r(m)(k;T ) ~ [(k +1) +1 - 2k +1 + (k -1) +1].

Дисперсия агрегированного счетного процесса при больших m изменяется по медленно затухающему закону m-1. Действительно, при k=0 с учетом (2.111) и (2.125) имеем mT mT T D(m)(T ) = 1+ =T m-1 + m -1 ~ m -1. (2.127) T Tm2 Для сравнения обратим внимание на то, что для обычных короткопротяженных зависимостей дисперсия агрегированного процесса D(m)(T)~m-1. (2.128) 2.5.2. ФРАКТАЛЬНЫЙ ВИНЕРОВСКИЙ ПРОЦЕСС Наряду с точечными процессами при анализе моделей сигналов в вычислительных сетях используют непрерывный с вероятностью единица фрактальный винеровский процесс. Для описания непрерывного обладающего фрактальными свойствами процесса в работе [21] было введено обобщенное броуновское движение или, как теперь его будем называть, фрактальный винеровский процесс BH(t), который записывается в форме дробного интеграла t BH (t) = g(t - )dB( ), (2.129) (H + ) 2 где B() - винеровский процесс, () - гамма функция, H - параметр Херста, H=(+1)/2.

Импульсная переходная функция равна (t - )H -1/ 2, 0 < t, g(t - ) = (2.130) -1/ - (- )H -1/ 2, < 0.

Pages:     | 1 |   ...   | 7 | 8 || 10 | 11 |   ...   | 32 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.